人教版九年级数学下册第二十八章 《锐角三角函数 复习》

┃习题讲练 图7
┃习题讲练
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解：过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 延长线于点 D.
由题意，BC＝600×5.5＝3300(米)．
在直角△ACD 中，
∵∠DCA＝45°，
∴∠CAD＝∠DCA＝45°，
∴AD＝CD.
图8
设 AD＝x 米，在直角△ABD 中，tanB＝ABDD，
∴(3300＋x)·tan15°＝x，
∴x＝ 3－1≈1.732－1＝0.732>0.7.
答：计划修筑的这条公路不会穿越公园．
┃ 习题讲练
15．一艘轮船自南向北航行，在 A 处测得北偏东 21.3°方向有一 座小岛 C，继续向北航行 60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮 船的北偏东 63.5°方向上．之后，轮船继续向北航行约多少海里，距 离小岛 C 最近？
图 16
┃ 习题讲练
解：∵AB∥DC，∴CADB＝DBOO. ∵△AOB 的面积等于 9，△AOD 的面积等于 6，∴SS△△AAOODB＝DBOO ＝23，∴CADB＝DBOO＝32. ∵AB＝7，∴C7D＝23，∴CD＝134.
┃ 习题讲练
14．去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成一所综合大学， 为了方便 A、B 两地师生的交往，学校准备在相距 2 千米的 A、B 两地之间修筑一条笔直的公路(如图 17 中的线段 AB)，经测量，在 A 地的北偏东 60°方向和 B 地的北偏西 45°方向的 C 处有一个半径为 0.7 千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿越公园？为什么？
图3
┃ 考点攻略 ► 考点二 特殊角的三角函数值的考查 例 2 计算： 2(2cos45°－sin60°)＋ 424－tan230°.
解：原式＝ 22× 22－ 23＋24 6－ 332＝2－ 26＋ 26－13＝35.
┃ 考点攻略 ► 考点三 解直角三角形
例 3 已知：如图 4 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝ 3.点 D 为 BC 边上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长．(结果保留根号)
.
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)， 就可以求出其余的3个未知元素．
┃ 知识归纳
解法：①一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知斜边， 再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再 用正弦或勾股定理求斜边．②知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角．③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线 转化为直角三角形问题．
a ＝b .
┃ 知识归纳
[易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中．
2．30°，45°，60°角的三角函数值
sin30°＝
1 2
，sin45°＝
2 2
3
，sin60°＝ 2
；
cos30°＝
3 2
2
，cos45°＝ 2
，cos60°＝
1 2
；
tan30°＝
3 3
，tan45°＝ 1
解得 x≈1208.2
答：飞机距地面的飞行高度约为 1208.2 米．
┃ 习题讲练
5．如图9，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙 上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角 为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕 上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE ＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD.(结果 保留根号)
┃ 习题讲练
(2)由(1)得，BC＝AC＝5 2 2(米)， 在直角三角形 ADC 中， CD＝taAn3C0°＝25 6(米)． 所以 BD＝CD－BC＝52( 6－ 2)≈2.5875≈2.59(米)， 因为 6－2.59＝3.41＞3， 所以这样改造是可行的．
┃ 习题讲练
7．如图 11，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，
┃ 考点攻略
方法技巧 解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)， 无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的图形，要 善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、公共边、相 等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起，从而达到解题的 目的．
┃ 考点攻略
► 考点四 解直角三角形在实际中的应用 例4 [2010·广州] 目前世界上最高的电视塔是广州新电视
＝45，则 AC＝____5____.
图12
┃ 习题讲练
10．如图 13，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，△DEF
的面积为 1，则△BCF 的面积为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
图13
┃ 习题讲练 11．已知如图 14，在△ABC 中，DE∥BC，△ADE 与梯形 BDEC
┃ 考点攻略
方法技巧 解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角三角 形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况的答案．
┃ 习题讲练 1. 12＋2sin60°＝___3__3___.
┃ 习题讲练
2．计算1＋2sitnan304°5°－3cot60°的值为_2_－___3___．
参考数据：sin21.3°≈295，tan21.3°≈25，sin63.5°≈190，tan63.5°≈2
┃ 习题讲练
图19
┃ 习题讲练
解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D. 设 BD＝x，在 Rt△BCD 中，tan∠CBD＝tan63.5°＝CBDD，∴CD＝ x·tan63.5°. 在 Rt△ACD 中，tanA＝tan21.3°＝ACDD， ∵AD＝AB＋BD＝60＋x， ∴CD＝(60＋x)·tan21.3°. ∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°， ∵tan21.3°≈25，tan63.5°≈2， 解得 x≈15. 答：轮船继续向北航行约 15 海里，距离小岛 C 最近．
复习 ┃ 知识归纳
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数的定义 如图 1 所示：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边．
图1
┃ 知识归纳
(1)∠A 的正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝ac；
∠A的邻边 (2)∠A的余弦：cosA＝ 斜边
b ＝c；
∠A的对边 (3)∠A的正切：tanA＝ ∠A的邻边
1
的面积之比是 1∶8，则 AD 与 DB 的比值为____2____．
图 14
┃ 习题讲练
12．如图 15，已知△ABC∽△DBE，AB＝6，DB＝8，则SS△△ADBBCE
9
＝___1_6____.
图 15
┃ 习题讲练
13．如图 16，已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，△AOB 的面积 等于 9，△AOD 的面积等于 6，AB＝7，求 CD 的长．
┃ 习题讲练
【典型思想方法分析 】
转化思想 在解直角三角形和利用解直角三角形的边角关系解决实际问题 时，常常寻找已知量和未知量的关系建立方程，将几何问题转化为 代数问题求解，体现了数学的转化思想．
┃ 习题讲练
【针对训练 】
6.如图 10 所示，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑 滑板的倾角由 45°降为 30°，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、 B、C 在同一水平地面上．
┃ 习题讲练
3.如图 6，以直角坐标系的原点 O 为圆心，以 1 为半径作圆，若 P 是该圆上第一象限内的点，且 OP 与 x 轴正方向组成的角为 α，则
点 P 的坐标是___(_c_o_s_α__，__s_in__α_)___．
图6
┃ 习题讲练
4．歼 10 战斗机是我国自主研制的第三代战斗机．在某次军事 演习中，某飞行员驾驶一架歼 10 战斗机，沿水平方向向地面目标 A 的正上方匀速飞行．如图 7 所示，在空中 B 点测得目标 A 的俯角为 15°.经过 5.5 秒到达 C 点，在 C 点测得目标 A 的俯角为 45°，已知歼 10 战斗机的飞行速度为 600 米/秒．求飞机距地面飞行的高度．(结 果精确到 0.1 米，参考数据：sin15°≈0.017，tan15°≈0.268)
(1)改善后滑滑板会加长多少(精确到 0.01 米)? (2)若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑 板的前方有 6 米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由．(参考 数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
┃ 习题讲练 图10
┃ 习题讲练
解：(1)在直角三角形 ABC 中，sin45°＝AACB， 所以 AC＝AB·sin45°＝522(米)． 在直角三角形 ADC 中， 因为∠ADC＝30°， 所以 AD＝2AC＝5 2≈5×1.414(米)＝7.070(米)≈7.07(米)， 所以改善后滑滑板会加长 7.07－5＝2.07(米)．
图4
┃ 考点攻略
[解析] 要求△ABC的周长，先通过解Rt△ADC求出CD和AD 的长，然后根据勾股定理求出AB的长．
┃ 考点攻略
解：在 Rt△ADC 中， ∵sin∠ADC＝AACD， ∴AD＝sin∠ACADC＝sin630°＝2. ∴BD＝2AD＝4. ∵tan∠ADC＝ADCC， ∴DC＝tan∠ACADC＝tan630°＝1. ∴BC＝BD＋DC＝5. 在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝2 7. ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝2 7＋5＋ 3.
cos∠DCA＝45，BC＝10，则 AB 的值是( ) B
A．3 B．6 C．8 D．9
图11
┃ 习题讲练 8．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35，则 AB＝( A )