2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)学案北师大版选修2_1

1 4 用向量讨论垂直与平行（一） 学习目标 1.会用待定系数法求平面的法向量.2.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一 空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行 l∥m⇔________⇔a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔__________ 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔____________

知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？

梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.

类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 2

引申探究 若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.

反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).

(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB→，AC→.

(3)列方程组：由 n·AB→＝0，n·AC→＝0，列出方程组.

(4)解方程组： n·AB→＝0，n·AC→＝0. (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量.

类型二 利用空间向量证明平行问题 例2 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； 3

(2)平面ADE∥平面B1C1F. 反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题. 跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面

ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使

CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.

1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2.已知直线l1的方向向量为a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量为b＝(－4，x，y)，若l1∥l2，则x，y的值分别是( ) A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A.(0，－3,1) B.(2,0,1) C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)

4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，12，2，则m为( ) A.－4 B.－6 C.－8 D.8 4

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________. 1.应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2

⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).

提醒：完成作业 第二章 §4(一) 5

答案精析 问题导学 知识点一 a∥b a·μ＝0 μ＝kv(k∈R)

知识点二 思考 (1)由直线方向向量的定义知，若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2

⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).

(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行. 题型探究 例1 解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则 D(0，3，0)，E(0，32，12)，B(1,0,0)，

C(1，3，0)，

于是AE→＝(0，32，12)，AC→＝(1，3，0). 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则 n·AC→＝0，n·AE→＝0，即 x＋3y＝0，32y＋12z＝0，

所以 x＝－3y，z＝－3y， 令y＝－1，则x＝z＝3. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3). 引申探究 解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，3，0)， 6

所以PC→＝(1，3，－1)， 即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).

因为D(0，3，0)，所以PD→＝(0，3，－1).

由 n·PC→＝0，n·PD→＝0，即 x＋3y－z＝0，3y－z＝0，

所以 x＝0，z＝3y，令y＝1，则z＝3. 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0,1，3). 跟踪训练1 解 因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB. 又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB. 以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).

由题意得F(0,0,0)，P(0,0，32)， D(－1，32，0)，

C(0，32，0)，E(0，34，34).

所以FE→＝(0，34，34)，FD→＝(－1，32，0). 设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z). 7

则 m·FE→＝0，m·FD→＝0，即 34y＋34z＝0，－x＋32y＝0， 所以 z＝－y，x＝32y，令y＝2，则x＝3， z＝－2.

所以平面DEF的一个法向量为m＝(3，2，－2). 例2 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，

F(0,0,1)，B1(2,2,2)，

所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，

则n1⊥DA→，n1⊥AE→，

即 n1·DA→＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，

得 x1＝0，z1＝－2y1， 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1. 又因为FC1⊈平面ADE，所以FC1∥平面ADE.

(2)因为C1B1→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，

得 n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝0，

得 x2＝0，z2＝－2y2. 8

令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 跟踪训练2 解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0). 设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)， PD→＝(0,2，－1).

∵PE→∥PD→， ∴y(－1)－2(z－1)＝0. ①

∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又CE→＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB， ∴CE→⊥AD→，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0， ∴y＝1，代入①得z＝12，∴E是PD的中点， ∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 当堂训练 1.A 2.A 3.D 4.C 5.(1,1,1)(答案不唯一)