新北师版八上第二章教学案
北师大版初中数学八年级上册第二章《2.1认识无理数》 教案
北师大版数学八年级上册《认识无理数（2）》教案一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是: 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.边长a 面积s 1<a <21<s<4 1.4<a <1.5[来源:学+科+1.96<s<2.25 1.41<a <1.42 1.9881<s<2.0164 1.414<a <1.415 1.999396<s<2.002225 1.4142<a <1.41431.99996164<s<2.00024449归纳总结:a 是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a =1.41421356…，b =2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础. 2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数. 即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).[来源:学.科.网Z.X.X.K]目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念. 第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力. 第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数例1填空: 0.351， 4.96••-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形； (D ） 面积为1.44的正方形. [来源:Z 。
2024年秋新北师大版八年级上册物理教学课件 第二章 机械运动 第五节 平均速度的测量
2.测量小车运动的平均速度。
实验原理：v s t
实验器材：小车、贴有刻度尺的斜面、木
块、金属片、停表
实验过程：如上图所示，将贴有刻度尺的斜面倾斜 适当角度后固定，然后从斜面顶部零刻度处将小车 由静止释放，并同时用停表开始计时，在下表中记 录小车沿斜面向下运动到30 cm刻度处时所用的时间。
仿照上述步骤，将同一小车在同一斜面的零刻 度处由静止释放，依次记录小车沿斜面向下运动到 60 cm和 90 cm刻度处所用的时间，最后计算出小车 在每一段路程中运动的平均速度。
与运动有关的信息。
示例:跑步者的速度约为3.2 m/s。 信息一:__骑__车__者__的__速__度__约__为__4_.7_5__m_/_s__。 信息二:__跑__步__者__比__骑__车__者__早__出__发__1_0_s__。
测量平均速度
路程s/m
20
40
60
时间t/s
平均速度v/(m/s)
通过实地测量，对本实验的改进提出意见和 建议，并与大家交流你的想法。
2.估测骑自行车行进的平均速度
路程和时间的测量方法有很多。随着科技的进步， 测量工具使用起来越简便和精确，人们可以从种类繁 多的工具中选择满足测量要求的测量工具来完成测量。 可是如果身边没有测量工具呢?试想一下，如果没有 刻度尺和停表，我们该如何测量骑自行车行进的速度 呢?你能尝试进行估测吗?请你设计实验方案，并进行 实际测量。
科学窗
实践活动
1.测量人正常行走、竞走或跑步的平均速度
活动器材:停表或手表、卷尺、小红旗。 活动地点:操场。 活动过程（每个实验组至少有5人）： (1)在操场上，测出60 m的路程，每隔20 m做一个记号。 (2)选出3位同学做计时员，分别站在20 m、40 m、60 m处。
北师大版八年级数学上册第二章《实数》教案
八年级数学第二章《实数》教案（1）北师大版教学过程一、创设情境，导入新课师：用课件出示下列内容：你能独立完成吗？1. _________和_________统称为有理数，如__________________,_________等都是有理数。
2.无理数是_________的小数，如_________，_________，_________等都是无理数。
3.把下列各数分别填入相应的集合内：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）生：独立思考并完成。
二、师生互动探究互动一、在实数概念基础上对实数进行不同分类师：上面的一系列数，它们都可以填进这两个圆中，你认为我们学过的数字，有没有不属于上面两种类型的呢？生：没有。
师：那么这节课的课题是实数，那么我们就把这两种类型就叫实数。
即有理数和无理数统称为实数。
生：也就是说实数可分为有理数和无理数。
师：对！你说的太对啦！实数从定义可分为有理数和无理数。
无理数和有理数一样，也有正负之分，那么按正负分实数还可以怎样分类？生：实数按正负分还可以分为正实数和负实数。
师：正数和负数能构成实数吗？还有别的数吗？生：还有0.师：所以实数还可以怎么分？生：实数可以分为正实数、0、负实数。
师：很好，在这里要特别提示大家分类可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。
互动二、了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义：师：－2的相反数是什么？生：（齐声）2师：的相反数是什么？生: 是-师：实数a的相反数是什么？生：思考并讨论后回答是-a。
师：同学们回答的非常好，－2的倒数是什么？生：是－。
师：的倒数是什么？生：思考回答。
师：实数a的倒数是什么？生：是。
师：－2的绝对值是什么？生：是2师：的绝对值是什么？生：是师：实数a的绝对值是什么？生：思考、交流，然后回答。
是|a|师：通过以上问题我们可以得哪些结论？生：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
北师大版-数学-八年级上册-上第二章第2节平方根(1) 教案
北师大版八年级上第二章第2节平方根（1）教案教学目标：(一)教学知识点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.(二)能力训练要求1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.(三)情感与价值观要求1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.课堂导入：上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.教学过程：1.问题的提出：(1)根据勾股定理，结合图形填空.x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________（2）x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？（3）怎样表示x，y，z，w呢？请大家仔细看书后回答.解：（1）x2=2, y2=3, z2=4, w2=5.（2）x，y，w是无理数，z是有理数.因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.（3）x=2,y=3,z=4,w=5.2.算术平方根的概念：若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.特别地，规定0的算术平方根是0，即0=0.3. 算术平方根的性质： 算术平方根a 具有双重非负性：（1）被开方数a 是非负数，即a ≥0；（2）算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.4.例题讲解：［例1］求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)6449；(4)14. 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即900=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；(3)因为,6449)87(2=所以6449的算术平方根是87，即876449=； (4)设一个正数x ， 142=x ，14=∴x ，即14的算术平方根是14.通过上面的例题，我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.［例2］自由下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为h =4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将h =19.6代入公式 h =4.9t 2 得t 2=4, 所以t =4=2(秒)即铁球到达地面需要2秒.［师］非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4=－2对吗？或者4-=－2对吗？［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x 的平方等于a ，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，定义中的a 和x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a (a ≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.课堂练习：(一)P 39随堂练习1、2题.(二)补充练习.1．填空题（1）若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.（2）94的算术平方根是_________. （3）正数_________的平方为971,25144的算术平方根为_________. （4）(－1.44)2的算术平方根为_________.（5）81的算术平方根为_________，04.0=_________2．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1) (7.4)2 ； (2) (－3.9)2 ； (3) 2.25 ； (4) 241. 课后作业：P 40习题2.3活动与探究1. 一个圆的面积为原来的100倍时，它的半径变为原来的多少倍？2. 一个圆的面积变为原来的n 倍时，它的半径变为原来的多少倍？教学反思：要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．参考答案：课堂练习：(一) P 39随堂练习1．6，，43 17， 0.9， 210－ 2．10米．(二) 补充练习1．（1）5；（2）32；（3）512，34；（4）1.44；（5）3，0.2 2．（1）7.27.2)2＝（；（2） 3.93.9)2＝（－；（3） 1.52.25＝；（4）23412＝．课后作业：P 40习题2.31．11, ，53 1.4， 103 ； 2．0.3米 ； 3．2倍，3倍，10倍，n 倍 活动与探究：1．10倍； 2．n 倍。
北师大版数学八年级上册2《一次函数》教学设计4
北师大版数学八年级上册2《一次函数》教学设计4一. 教材分析《一次函数》是北师大版数学八年级上册第2章的内容，本节内容是在学生已经掌握了函数概念的基础上进行学习的。
一次函数是数学中的一种基本函数，它的一般形式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
本节内容主要让学生了解一次函数的定义、性质和图像，学会如何运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于函数的概念已经有了初步的了解。
但是，对于一次函数的定义、性质和图像，学生可能还比较陌生，需要通过实例和活动来加深理解。
此外，学生可能对于如何运用一次函数解决实际问题还有一定的困难，需要通过具体的案例和练习来进行引导和训练。
三. 教学目标1.了解一次函数的定义、性质和图像，掌握一次函数的解法。
2.能够运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数的图像。
3.如何运用一次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的案例，让学生了解一次函数的定义、性质和图像。
2.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对一次函数的理解。
3.问题解决法：引导学生运用一次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作一次函数的相关PPT，包括一次函数的定义、性质、图像和实际应用案例。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用一次函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生对一次函数的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一次函数的图像，引导学生思考一次函数的特点和性质。
2.呈现（15分钟）通过PPT呈现一次函数的定义、性质和图像，让学生初步了解一次函数的基本概念。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，根据一次函数的性质，尝试画出给定的一次函数的图像。
然后，让学生汇报自己的成果，互相交流和学习。
北师大版数学八年级上册2《平面直角坐标系》教学设计3
北师大版数学八年级上册2《平面直角坐标系》教学设计3一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版数学八年级上册第二章的教学内容。
本节课主要让学生了解平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征以及坐标轴上的点的坐标特征。
通过本节课的学习，为学生进一步学习函数、几何等数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了坐标系的基本概念，对坐标系有了一定的了解。
但他们对平面直角坐标系的定义、各象限内点的坐标特征以及坐标轴上的点的坐标特征的理解还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，加深对平面直角坐标系的理解。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义，掌握各象限内点的坐标特征以及坐标轴上的点的坐标特征。
2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等途径，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，各象限内点的坐标特征以及坐标轴上的点的坐标特征。
2.难点：对平面直角坐标系的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组讨论法，引导学生主动探究、合作交流，从而达到对本节课内容的理解和掌握。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2.学具：练习本、铅笔、橡皮。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的坐标系图片，如地图、飞机导航等，引导学生关注坐标系在生活中的应用。
提问：“你们认为坐标系有什么作用？”让学生发表自己的看法，从而引出本节课的主题——平面直角坐标系。
2.呈现（10分钟）教师在黑板上画出平面直角坐标系，并标出坐标轴、象限等基本元素。
讲解平面直角坐标系的定义，以及各象限内点的坐标特征和坐标轴上的点的坐标特征。
在讲解过程中，引导学生注意坐标轴上的点的坐标特点，如原点的坐标为（0,0），x轴上的点的y坐标为0，y轴上的点的x坐标为0等。
新版北师大八年级上册第二章 《实数》教案
第二章实数2.1.1 认识无理数（第1课时）一、教学目标：①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；②能判断三角形的某边长是否为无理数；③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神；④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解；二、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置．第一环节：质疑内容：【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理．效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用第二环节：课题引入内容：1．【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？2．【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”．效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题．第三环节：获取新知内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】a ，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【议一议】：已知22【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？ 释2．满足22a =的a 为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性．第四环节：应用与巩固内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段： 1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1）2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解： （右2）仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！（右3）目的：进一步感受“新数”的存在，而且能把“新数”表示在数轴上效果：加深了对“新知”的理解，巩固了本课所学知识．第五环节：课堂小结内容：1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化．效果：学生总结、相互补充，学会进行概括总结．本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.2.1.2 认识无理数（第2课时）三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置.第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？1-，0，2，3，…) 有理数(如31，52-，119，0.5，… )2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数. 例1填空:0.351，4.96∙∙-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ）有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数整数分数无理数集合…(3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形；(D ） 面积为1.44的正方形.例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a 是有理数吗?解:由勾股定理得: 22235a =+，即2=34a .因为34不是完全平方数，所以a 不是有理数.强调:1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数qp形式（q ≠0， p ，q 为整数且互质），而无理数则不能.练一练：1.课本P 23 随堂练习.2.已知：在数43-，5， 1.42∙∙-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ，－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，巩固了对概念的理解.第五个环节：课堂小结内容：本节课你有哪些收获?51．无理数的定义.2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3．请把已学过的数怎样分类？目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.第六个环节：布置作业习题2.2 1.2.3.2.2.1 平方根（第1课时）一、教学目标：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．二、教学过程设计本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； (4)14的算术平方根是14．内容4：回解课堂引入问题22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)．即铁球到达地面需要2秒．说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则=+2)2(m ．二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1．三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3、2.2.２ 平方根（第2课时）一、教学目标①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．教学重点是①了解平方根、开平方的概念．②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．③了解平方根与算术平方根的区别与联系．教学难点是①平方根与算术平方根的区别和联系．②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．二、教学过程设计:本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业． 第一环节 复习旧知 引入新知内容:方法一 复习引入1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ． 52的平方等于 254 ，那么254 的算术平方根就是_____52_________． 展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米．2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？乘方有没有逆运算?平方与算术平方根之间的关系？已知折叠着的正方形ABCD 面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n 倍，则边长为____n ____．方法二 复习引入问题 平方等于9，254，49的数还有吗？目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash 情景引入，增加动画效果．效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．第二环节 : 新课学习内容 （一）探究新知填空32=(9 ) (－3)2=(9 ) ( )2=9 02=0(12)2=(14))214= (不存在)2=－4 (12-)2=(（二）形成概念(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a 的算术平方根．表达式为:若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根． 记作 a ±．例如:(±4)2=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．（三）探索平方与开平方的关系:给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．（四）概念辨析平方根与算术平方根的联系与区别联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．2．只有非负数才有平方根和算术平方根．3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．2．表示法不同：平方根表示为 a ± ，而算术平方根表示为a ．目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．第三环节 例题和新知巩固（一）例题示范求下列各数的平方根:(1)64；(2)49121；(3) 0.0004；(4)()225-；(5) 11解 （1）()2648=±，648∴±的平方根是，8=±即；（2）()24949771211211111,=∴±±的平方根为，711±=±即；（3）()20.0004,0.00040.020.02=∴±±的平方根是，0.02=±即；（4）()()()22,25252525=∴±±--2的平方根是， 25±=±即；（5）11的平方根是目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言．（二）思考提升1．()25-的平方根是 ，的算术平方根是_____，49的平方根是_____；2．2= ，= ，= ，=_______；3= ，20a≥=当 ．（三）巩固练习1 ．下列说法正确的是①3-②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．2．下列说法不正确的是( ) ．(A)0的平方根是0 (B)22-的平方根是2±(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．(A) a +1(C) 2a +1(D)4．x为何值，有意义？ 答 因为02x -≥，所以0x ≤ 目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达． 第四环节 课堂小结内容 引导学生总结本课时的知识、方法．目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如平方根的概念 若2x a =，则x 叫a的平方根，x =平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．平方与开方之间的关系；求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．第五环节 提高训练内容1.5的小数部分为a，5b ，求a b +的值．2．已知实数a ，b满足296b b =①若a ，b 为ABC ∆的两边，求第三边c 的取值范围；②若a ，b 为ABC ∆的两边，第三边c 等于5，求ABC ∆的面积．目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．第六环节 作业布置 习题2．４2.３．立方根一 、教学目标①了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；区分立方根与平方根的不同；②经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识．学生在经历用类比的方法学习立方根的有关知识过程中，领会类比思想；③立方根概念、符号、运算及性质的探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神；二、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设问题情境；第二环节：复习引入、类比学习；第三环节：初步探究；第四环节：尝试反馈，巩固练习；第五环节：深入探究；第六环节：课时小结；探究与思考；第七环节：作业布置及课外探究．第一环节：创设问题情境内容：某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？ （球的体积公式为334R ＝v ，R 为球的半径） 提问：怎样求出半径R ？学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案．有关体积的运算和面积的运算有类似之处，让我们用上节课解决问题的方法来学习新知识 ．目的：通过实际情境引入，让学生感受新知学习的必要性，激发学生的求知欲望．效果：在思考问题的同时，学生既感受了数学的应用价值，激发了学生的学习热情，又很快将问题归结为如何确定一个数，它的立方等于4，从而顺利引入新课．第二环节：复习引入、类比学习内容：提问：（1）什么叫一个数a 的平方根？如何用符号表示数a （a ≥0）的平方根?（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？（3）平方和开平方运算有何关系？（4）算术平方根和平方根有何区别与联系？强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0．（5）为了解决前面情景中的问题，需要引入一个新的运算，你将如何定义这个新运算？1．一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）．2．一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根．目的：学生通过回顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫，同时突出平方根与立方根的对比，以利于弄清两者的区别和联系．效果：复习引入既复习了平方根的知识，又利于学生用类比学习法学习立方根知识．第三环节：初步探究内容：1做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？（1）001.0 3＝）（ ； （2）6427 3＝－）（ ； （3）0 3＝）（．。
北师大版数学八年级上册2《平面直角坐标系》教案2
北师大版数学八年级上册2《平面直角坐标系》教案2一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版数学八年级上册第二章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基础知识，以及初中阶段所学的几何图形的性质的基础上进行的。
本节课的主要内容有：建立平面直角坐标系，确定原点、坐标轴和坐标单位，利用坐标表示点的位置，以及点的坐标与图形性质之间的关系。
这些内容对于学生理解和掌握坐标系的运用，以及解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经对坐标系有了初步的了解，掌握了坐标系的基本概念，能够利用坐标表示点的位置。
但是，对于平面直角坐标系的建立和坐标轴的确定，以及点的坐标与图形性质之间的关系，还需要进一步的引导和讲解。
此外，学生对于实际问题中的坐标系的运用，还需要通过实例进行讲解和练习。
三. 教学目标1.理解平面直角坐标系的建立和坐标轴的确定方法。
2.学会利用坐标表示点的位置，掌握点的坐标与图形性质之间的关系。
3.能够运用平面直角坐标系解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立，坐标轴的确定，点的坐标表示方法。
2.难点：点的坐标与图形性质之间的关系，平面直角坐标系在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，从而掌握平面直角坐标系的知识；通过案例分析，让学生了解平面直角坐标系在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题，用于讲解和练习。
2.准备平面直角坐标系的图示和模型，用于展示和解释。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾坐标系的基础知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：“你们已经学习了坐标系，那么坐标系有什么作用呢？坐标系是如何帮助我们表示点的位置的呢？”2.呈现（10分钟）通过展示实际问题，引导学生思考平面直角坐标系的建立和坐标轴的确定方法。
北师大版八年级上册 第二章 2.7.1 二次根式 教案
2.7.1二次根式教学目的知识与技能：1.理解二次根式和最简二次根式的概念.2.探究二次根式的性质,并能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.过程与方法：在探究二次根式性质的根底上,能利用性质将二次根式化为最简二次根式的形式.情感态度与价值观：在探究二次根式性质的过程中,体会由特殊到一般的数学思想.教学重难点【重点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【难点】利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.教学准备【老师准备】预设学习过程中学生会遇到的问题.【学生准备】复习平方根和开平方的概念,计算器的使用.教学过程一、导入新课导入一:问题1：√5,√11,√7.2, √49,√(c+b)(c-b)(其中b=24,c=25),121上述式子有什么共同特征?【问题解决】都含有开平方运算,并且被开方数都是非负数.二次根式的定义:一般地,形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,a 叫做被开方数.强调条件:a≥0.问题2：二次根式有哪些性质呢?这是我们本节课要解决的新问题.[设计意图]通过问题,回忆旧知识,为学习新知识打好根底.导入二:电视塔高h km,电视节目信号的传播半径为r km,那么它们之间存在近似关系r=√2Rℎ,其中R是地球半径,R≈6400 km.假设某个电视塔高为200 km,你能求出从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少吗?【问题探究】由于R≈6400 km,h=200 km,所以r=√2×6400×200.那么如何快速计算√2×6400×200呢?二、新知构建〔1〕活动探究【做一做】：(1)计算以下各式,你能得到什么猜测?√4×9=√4×√9=;√49=,√4√9= ; √2549= ,√25√49= .(2)根据上面的猜测,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进展交流.√6×7与√6×√7, √67与√6√7.问题1：观察上面的结果,你得出什么结论?问题2：从上面得出的结论中,你发现了什么规律?能用字母表示这个规律吗?【问题解决】 √ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0).积的算数平方根,等于算数平方根的积; 商的算数平方根,等于算数平方根的商.[设计意图] 最终归纳出√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0). 说明:公式中字母a ≥0,b ≥0(或b >0)这一条件是公式的一局部,不可忽略. 〔2〕例题讲解化简.(1)√81×64; (2)√25×6; (3) √59.〔解析〕直接运用两个公式√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0, b >0)进展计算. 解:(1)√81×64=√81×√64=9×8=72. (2)√25×6=√25×√6=5√6.(3) √59=√5√9=√53. 观察:化简以后的结果中的被开方数又有什么特征?[设计意图] 由于如今还没有最简二次根式的概念,学生实际上并不知道化简的方向,因此这里以例题的形式呈现了有关结论.例1的化简结果5√6,√53中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.化简.(1)√50; (2) √27; (3) 1√3.解:(1)√50=√25×2=√25×√2=5√2. (2) √27=√2√7=√2×√7√7×√7=√147.(3) √3=√3√3×√3=√33.[设计意图]例2是在学习了最简二次根式之后设计的,旨在学生能分辨出哪些是最简的,哪些不是最简的,然后利用所学公式灵敏的化为最简二次根式.【议一议】(1)你是怎么发现√50的被开方数含有开得尽方的因是最简二次根式的?数的?你是怎么判断√147(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经历与体会?与同伴进展交流.策略:对于较大的数,我们一般采取小学学过的短除法的形式来判断,如50=2×5×5,从而发现√50含有开得尽方的因数,14=2×7,故判断√14是最简二次根式.7说明:含有根号的数与一个不含根号的数相乘,一般把不含根号的数写在前面,并省略乘号.反思:以上化简过程的规律是:根号里面的数有一局部移到了根号外面,详细来说是能开得尽方的因数,开方后写到了根号外面.从而明确:被开方数假设有开得尽方的因数,一般需要进展化简.[知识拓展]对于二次根式应注意以下几点:(1)二次根式从形式上看,必须含有二次根号“√〞.(2)在二次根式√a中,字母a必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数,这是定义的一个重要组成局部,不可省略,因为负数没有平方根,所以当a<0时,√a没有意义.(3)在二次根式√a中,被开方数a可以是数,也可以是代数式,如√2,√x-y(x≥y),√a2+1等都是二次根式.(4)二次根式√a(a≥0)是非负数a的算术平方根,即√a(a≥0)是非负数,也就是说,式子√a包含两个非负数:①被开方数a,即a≥0(这是使√a有意义的条件);②√a本身,√a≥0(这是由算术平方根的意义所决定的).√5的形式,也就是说,当根号前(5)书写二次根式时不能写成223的系数是带分数时,要改写成假分数,这和代数式的书写要求是一致的.(6)要使√ab有意义,那么被开方数ab≥0,因此a与b同号或至少有一个为零.(7)假如一个二次根式的被开方数中的因数或因式是完全平方数或完全平方式,那么可以利用性质√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)及√a2=a(a≥0)将这些因数(式)开出来,从而将二次根式化简.三、课堂总结掌握并会运用公式√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab =√a√b(a ≥0,b >0). 四、课堂练习1.化简.(1)√45; (2) √89; (3) √12516.解:(1)√45=√9×5=√9×√5=3×√5=3√5. (2) √89=√8√9=√4×23=√4×√23=2×√23=2√23. (3)√12516=√125√16=√25×54=√25×√54=5×√54=5√54. 2.以下式子中,属于最简二次根式的是 ( )A .√9B .√7C .√20D .√13解析:A .√9 =3,C .√20 = 2√5,D . √13= √33.应选B .3.一个直角三角形的两边长为4和5 ,那么另一边长是多少? 解:当另一边为斜边时,其边长为√42+52=√41,当另一边为直角边时,其边长为√52-42=3.故边长为√41或3. 五、板书设计2.7.1 二次根式1.√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0), √ab=√a√b(a ≥0,b >0). 2.最简二次根式. 例1 例2 六、布置作业 〔1〕、教材作业【必做题】教材第64页随堂练习. 【选做题】教材第65页习题2.9第3,4题. 〔2〕、课后作业【根底稳固】1.化简以下各式.(1)√4×36; (2)√75;(3) √12; (4)√12.2.化简√(-3)2的结果是 .3.假设√20n 是整数,那么正整数n 的最小值为 . 【才能提升】4.以下二次根式中, 已经化成最简二次根式的是 ( )A .√15B .√20C .2√2D .√1215.如下图,长方形内相邻两正方形的面积分别为2和4,求长方形内阴影局部的面积. 【拓展探究】6.观察以下各式: √2−25= √85= √4×25=2 √25; √3−310= √2710= √9×310=3 √310……猜测 √5−526等于多少,并通过计算验证你的猜测.【答案与解析】1.解:(1)√4×36=√4×√36=2×6=12. (2)√75=√25×√3=5√3. (3) √12=√2√2×√2=√22. (4)√12=2√3=√32×√3×√3=√36. 2.3(解析:√(-3)2=3.)3.5(解析:√20n =√4×5×n ,所以n 的最小值为5.)4.C(解析:根据最简二次根式的定义可得.)5.解:由题意,得AB =2,BE =CD =√2,所以阴影局部的面积=BE ×(AB-CD )=√2·(2-√2)=2√2-2.6.解: √5−526=5√526.验证: √5−526= √12526=√25×526=5√526.教学反思本节课经历从详细实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法那么,使学生清楚新旧知识的区别和联络.本节课对运算技能要求略高.根据新课标精神,对学生不能过分要求技巧,应关注学生对运算法那么的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否根据算理正确地进展计算,能否确认结果的合理性等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进展运算.教学设计中要考虑学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.教材习题答案随堂练习(教材第42页)解:(1)√32=√16×2=√16×√2=4√2. (2)√72=√36×2=√36×√2=6√2. (3)√127=√12×77×7=√4×21√72=2√217. (4)√1.5=√3 2=√64=√6√4=√62. (5)√5=√15=√525=√5√25=√55.习题2.9(教材第43页)1.解:(1)√9×49=√9×√49=3×7=21. (2)√16×7=√16×√7=4√7. (3)√1225=√4×3√25=2√35. (4)√27=√9×3=√9×√3=3√3. (5)√18=√9×2=√9×√2=3√2. (6)√313=√3×1313×13=√39√132=√3913. (7)√950=√18100=√18√100=3√210. (8)√2=√12=√22×2=√22.2.解:由勾股定理得另一条直角边的长=√152-102=√125=√25×5=√25×√5=5√5(cm).3.解:面积为8的正方形的边长为√8,面积为2的正方形的边长为√2.由图形可以看出面积为8的正方形的边长是面积为2的正方形的边长的2倍,所以有√8=2√2.4.解:如下图.线段AB的长等于√20,理由:因为AC=4,BC=2,所以AB=√AC2+BC2=√42+22=√20.素材如何快速而准确地将二次根式化成最简二次根式?可分为以下两种情况考虑.(1)假设被开方数是整数并且比拟大时,可用小学学过的“短除法〞先将被开方数分解成假设干个因数的乘积,两个一样的因数开出一个因数,如化简√1080,由于1080=2×2×2×3×3×3×5=22×32×2×3×5,所以√1080=√22×√32×√2×3×5=2×3×√30=6√30.(2)假设被开方数是分数,且分母是质数,那么利用分数的根本性质将分子、分母同时乘以分母,如化简√313=√3√13=√3×√13√13×√13=√3913;假设被开方数是分数,且分母不是质数,那么先将分母分解因数,再考虑分子、分母同乘以几,如化简√950=√9√50=√9×√2√25×2×√2=3√210.观察以下各个二次根式:①√52-42,②√172-82,③√372-122,④√652-162……(1)求①,②,③,④的值;(2)仿照①,②,③,④写出第⑤个二次根式;(3)仿照①,②,③,④,⑤写出第n个二次根式,并化简.〔解析〕(1)根据二次根式的性质进展计算即可;(2)根据(1)中的规律写出第⑤个二次根式即可;(3)根据(1)中的规律,用字母表示第n个二次根式,并化简.解:(1)①原式=√9=3;②原式=√225=15;③原式=√1225=35;④原式=√3969=63.(2)第⑤个二次根式为√1012-202.(3)第n个二次根式为√(4n2+1)2-16n2(n≥1,且n为整数).√(4n2+1)2-16n2=√(4n2-4n+1)(4n2+4n+1)=√(2n-1)2(2n+1)2=(2n-1)(2n+1)(n≥1,且n为整数).。
北师大版八年级上册第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案
第二章实数第七节二次根式第二课时二次根式及其性质教案二次根式的乘除运算教案一、教学目标1. 理解并掌握二次根式的乘除运算规则，理解其算术运算性质。
2. 学会对二次根式进行乘除运算，并能够应用于实际问题中。
3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点：二次根式的乘除运算规则及其算术运算性质。
2. 教学难点：二次根式乘除法的应用，以及运算符的使用。
三、教学过程1. 概念和定义：讲解二次根式的定义和相关概念，包括平方根、算术平方根等，使学生对二次根式有一个初步的认识。
2. 整数乘法口诀：回顾整数乘法口诀，引导学生总结规律，为后续学习打下基础。
3. 二次根式的乘除运算：通过具体的例子，讲解二次根式的乘除运算规则，并引导学生自己推导，加深理解。
4. 运算符的使用：强调运算符的优先级和运算顺序，通过练习题使学生掌握正确的运算方法。
四、教学方法和手段1. 利用多媒体讲解二次根式的乘除运算，形象生动，易于学生理解。
2. 通过小组讨论学习二次根式的乘除运算，互相交流，发现并解决问题。
3. 阅读相关题型进行练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 选择练习题进行课堂练习，检验学习效果，巩固所学知识。
2. 布置作业题，要求学生在规定时间内完成，培养学生独立思考和解决问题的能力。
3. 对学生的练习和作业进行评价，给予肯定和鼓励，同时指出不足之处，提出改进意见。
六、辅助教学资源与工具1. PPT讲解：通过PPT展示，帮助学生更好地理解二次根式的概念和性质。
2. 各类题型练习：提供多种类型的练习题，包括选择题、填空题和计算题等，以便学生进行巩固和拓展。
3. 参考书籍：推荐一些相关的数学参考书籍，供学生自行阅读和学习。
七、结论本节课旨在使学生掌握二次根式的乘除运算规则和方法，并通过实际问题的解决提高其数学应用能力。
通过课堂讲解、小组讨论和练习与作业等多种方式，学生对二次根式的乘除运算有了更深入的理解和掌握。
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****中学教案设计 上课时间： 年 月 日 学期总第 6 课时 授课教师： 审核：
课 题 认识无理数 课 型 新授
课 时 1 班 级 八年级
学习目标 1、通过拼图活动感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。 学习难点 对有理数不够用的理解 课前准备 四个一分米正方形 过程及内容 学法指导 【知识回顾】 1、有理数的概念： 和 ，统称为有理数 2、数的分类： 正整数 如------------------
整数 零 负整数 如---------------------- 有理数 正分数 如---------------------- 分数
负分数 如---------------------- 也可以这样分类：
------------------ 如1，21，2.5
有理数 --------------------- -------------------- 如-2，-3.5，65
看课本独立完成预习学案。 练习：把下列各有理数填在相应的大括号里 12，-3，+1，31，-1.5，0，0.2，413 ，534 正数： （ ） 负数： （ ） 整数： （ ） 分数： （ ） 正分数：（ ） 负分数：（ ）
【自主预学】 1、阅读教材第21页 活动： 做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？ 画出你的做法：
设大正方形的边长为a分米，a满足的条件为（ ） a是整数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- a是分数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- a是有理数吗？（ ），理由：---------------------------------------------------- 总结： 在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数 即时练习： 将上述活动中的小正方形的边长变为2分米，大正方形的边长是有理数吗？为什么？ （ ） 【典型例题】 例1： . 如下图，正方形ABCD的面积为|（ ） 设它的边长为b, 则b满足的条件为（ ） b是有理数吗？ ( )
2 1
A
B C
D 注意： 本题运用了（ ）定理 【即时性检测】 1、如下图，正三角形ABC的边长为2，高为h,则h满足的条件为（ ） h是有理数吗？ ( )
为什么？
2、边长为1的正方形的对角线长是（ ） A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 不是有理数 【基础练习】
1、下列正方形的边长不是有理数的是( ). A. 面积为25的正方形 B. 面积为425的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形
2、如图,是由16个边长为1的正方形拼成的,连接这些小正方形的若干顶点,得到五条线段CA,CB,CD,CE,CF,其中长度是无理数的有( ). A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【进阶练习】 3、请在方格纸上按照如下要求设计直角三角形并用字母表示： （1）使一边边长不是有理数 （2）使两边边长不是有理数 （3）使三边边长不是有理数
2 A B C h 【梳理小结】 现实生活中，除了有理数之外，还存在着不是有理数的数， 如：------------，-------------
作业 布置 【当堂检测】 1、长、宽分别为3、2的长方形，它的对角线的长 可能是整数吗？ （ ） 可能是分数吗？ （ ）
说明其对角线长不是有理数：
2、上图是4个边长为1的正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。 请写出2条长度是有理数的线段：--------------、------------------- 请写出2条长度不是有理数的线段：--------------、-------------------
【拓展阅读】 毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（约前580-约前500）为代表人物的一个学派。 毕达哥拉斯学派有一个信条：一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用有理数来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。
课后反思： ***中学教案设计 上课时间： 年 月 日 学期总第 7 课时 授课教师： 审核：
课 题 认识无理数（2） 课 型 新授
课 时 1 班 级 八年级
学习目标 1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。 2.会判断一个数是有理数还是无理数
学习难点 无理数的估算 课前准备 学案、计算器； 过程及内容 学法指导 【知识回顾】 1. 整数可以表示成（ ）限小数 如：3可以表示成小数3.0 2. 分数可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数
如：21可以表示成小数0.5
31可以表示成小数.3.0
总结： 有理数总可以表示成（ ）限小数或（ ）限（ ）小数 练习：把下列各数表示成小数
2=（ ） 54=（ ） 95=（ ） 458=（ ） 【自主预学】 解读教材： 阅读教材第22-23页：问，面积为2的正方形的边长a是多少？ 分析：由下图可知 面积：1 < 2 < 4 边长：( )< a < ( )
借助计算器探索a的整数部分、十分位、百分位„„分别是几？ 完成下列表格：
看课本独立完成预习学案。 边长a面积S整数部分为11
十分位为41.4
百分位为（ ）( )
千分位为（ ）( )
万分位为（ ）( )
问：边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？ 答：假设a算到某一位时，它的平方恰好等于2，这时a是一个有限小数，那么它的平方一定也是一个（ ）限小数，而不可能是2，这与假设矛盾，故假设不成立。 所以a不可能是（ ）限小数。 所以还可以继续算下去，而且不循环，即 a是一个（ ）限（ ）小数，a=1.41421356„„
【典型例题】 例1：借助计算器估计面积为5的正方形的边长b的值
边长b面积S
整数部分为22
十分位为（ ）( )
百分位为（ ）( )
千分位为（ ）( )
故b精确到十分位为（ ） 精确到百分位为（ ） 事实上，b也是一个（ ）限（ ）小数，b=2.236067978„„ 即时练习： 借助计算器估计体积为2的正方体的棱长c = ( )
【即时性检测】 已知直角三角形的两条直角边长分别是4和5,这个直角三角形的斜边长在两个相邻的整数之间,这两个整数是 和 . ；斜边是一个 （ ）数。 例2： 无限不循环小数叫做（ ） 如上面的数a,b,c =3.14159265„„是一个无限不循环小数，因此是一个（ ）理数
0.585885888588885„„（相邻的两个5之间8的个数逐次加1）是一个（ ）限（ ）小数，因此是一个无理数 即时练习： 下列说法中正确的是( ). A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数 D.π3是分数
【即时性检测】 在下列各数-0.333 033 303 33…；-π；1π；3.141 592 6；2.010 100 1…(相邻两个1
之间依次多1个0),0.123 456…(小数部分由相继的正整数组成)中,是无理数的有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【基础练习】
1、 在 73; －π； 0π ；0； 0.3 ； 3 ； 0.33 ； 0.3131131113„（两个3之间依次多一个1）；,75.0,34,14.3中 属于有理数的有：
属于无理数的有： 2、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ .18,71,,7.3,458.0
3、判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。 （1） 无限小数都是无理数；（ ） （2） 无理数都是无限小数（ ） （3） 有理数都可以表示成分数的形式。（ ）
（4） 有理数与无理数的差都是有理数. （ ）
（5） 两个无理数的和不一定是无理数（ ）
【梳理小结】 问题一：无理数的概念 _______________________小数叫做无理数． 无理数的三个特征：①无理数是______数；②无理数是______小数；③无理数是______小数．
问题二：有理数与无理数的区别 ①无理数是______________________小数，有理数是_________________小数；