(江苏专用)届高考数学大一轮复习第九章第41课数列的递推关系与求和自主学习【含答案】
版高考数学一轮总复习数列与级数的递推公式与通项公式推导
版高考数学一轮总复习数列与级数的递推公式与通项公式推导版高考数学一轮总复习：数列与级数的递推公式与通项公式推导数列和级数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中常见的考点。
其中，数列的递推公式和通项公式是数列研究的关键。
本文将深入讨论数列和级数的概念，并推导数列的递推公式和通项公式，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数，其中每个数称为数列的项。
一般表示为{an}或an（n∈N*），其中an表示数列的第n个项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
例如，1，2，3，4，5就是一个有限数列；1，2，3，4，…则是一个无限数列，其中的省略号表示数列的继续。
二、等差数列的递推公式和通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差保持不变的数列。
记首项为a1，公差为d，那么等差数列的递推公式可表示为an = an-1 + d，其中n≥2。
递推公式可以通过当前项与前一项的关系得到下一项的值。
为了更方便地计算等差数列的项，我们需要推导出等差数列的通项公式。
设等差数列的第n项为an，那么通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
通项公式可以根据数列的首项和公差，直接计算出任意一项的值。
三、等比数列的递推公式和通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比值保持不变的数列。
记首项为a1，公比为q（q≠0），那么等比数列的递推公式可表示为an = an-1 * q，其中n≥2。
递推公式可以通过当前项与前一项的关系得到下一项的值。
为了更方便地计算等比数列的项，我们需要推导出等比数列的通项公式。
设等比数列的第n项为an，那么通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
通项公式可以根据数列的首项和公比，直接计算出任意一项的值。
四、级数的概念级数是指数列中各项相加所得到的和。
常见的级数有等差级数和等比级数。
等差级数的前n项和可以表示为Sn = n(a1 + an) / 2，其中a1为首项，an为第n项；等比级数的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
高考数学一轮总复习数列与递推关系
高考数学一轮总复习数列与递推关系高考数学一轮总复习 - 数列与递推关系数列与递推关系是高中数学中的重要内容，在高考中也经常成为考察的重点。
理解数列与递推关系的概念以及运用相关的公式和性质进行问题求解是高考数学一轮总复习中不可或缺的内容。
本文将从数列的基本概念、递推关系的性质以及常见题型的解题方法等方面进行阐述。
一、数列的基本概念数列是按照一定的顺序排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
常见的数列有等差数列和等比数列。
1.1 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项公式为an = a₁ + (n-1)d。
1.2 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项公式为an = a₁ * q^(n-1)。
二、递推关系的性质递推关系是指通过前一项或前几项来推导出后一项的关系式。
掌握递推关系的性质对于求解数列问题至关重要。
2.1 递推关系的表示递推关系可以用数学式或者描述式进行表示。
数学式表示中通常用an表示第n项，an-1表示第n-1项，如an = an-1 + 3；描述式表示中常用“前一项加（减）一个固定数”、“前一项乘（除）一个固定数”等方式进行表示，如第n项与前一项之和为6，可表示为an = an-1 + 6。
2.2 递推关系的初始条件递推关系中通常给出初始条件，即数列中的某一项或几项的具体值，通过这些给定条件可以确定数列的递推关系并求解数列中的其他项。
2.3 递推关系的性质根据递推关系的特点，我们可以得出以下性质：- 等差数列中，任意一项与前一项的差值都相等；- 等比数列中，任意一项与前一项的比值都相等。
三、常见题型的解题方法3.1 求等差数列的前n项和等差数列的前n项和可通过等差数列的通项公式和求和公式来求解。
设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的前n项和Sn可表示为Sn = n/2*(a₁ + an)。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
2021年高考数学大一轮复习 第七章 第41课 数列的递推关系与求和要点导学
2021年高考数学大一轮复习第七章第41课数列的递推关系与求和要点导学数列的递推关系已知数列{an }中,其中Sn为数列{an}的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1.(1) 设bn =an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;(2) 设数列{cn }满足cn=(n∈N*),求证:数列{cn}是等差数列.[思维引导](1) 首先条件中Sn+1=4an+2如何处理,通常要归一,即一是转化为相邻三项的关系;二是转化为和之间的关系,这里是转化为相邻三项的关系,接下来根据等比数列的定义,易得数列{bn}是等比数列;(2) 根据等差数列的定义,结合(1)不难证明数列{bn}是等比数列.[证明](1) 因为Sn+1=4an+2,所以Sn+2=4an+1+2,两式相减得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),因为bn =an+1-2an,则有bn+1=2bn(n∈N*),又a1=1,S2=4a1+2a2=5,从而b1=a2-2a1=5-2=3≠0,由此可知,数列{bn}是公比为2的等比数列.(2) 由(1)知bn=3·2n-1,因为cn=,所以cn+1-cn=-==,将bn =3·2n-1代入得cn+1-cn==(n∈N*),由此可知,数列{cn }是公差为、首项c1==的等差数列.在数列{an }中,已知a1=1,an+1=,求an.[思维引导]对递推关系的两边取倒数,可以得到与之间的递推关系.运用累加法公式,先求出的通项公式,再求出an的通项公式,这体现了转化思想的运用.[解答]原式可化为-=n,所以-=n-1,-=n-2,…, -=1,累加得-=(n-1)+(n-2)+ (1)所以=+1,所以an=.[精要点评]求数列的通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除迭加、迭代、累乘外,还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列,然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.证明问题,可根据递推公式写出前几项,由此猜测归纳出通项公式,再证明.利用裂项相消法求数列的和在等比数列{an }中,已知S3=,S6=.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 记bn =log4a3+log4a4+…+log4an+2,且cn=,试比较与4的大小.[思维引导]构造方程求数列{an }的首项与公比,然后求通项公式;由an求bn,再求c n ,求cn的和时,因出现式子,故可用裂项相消法求和.[解答](1) 若q=1,则S6=2S3,这与已知S3=且S6=不符,所以q≠1.因此有3161(1-)7,1-2(1-)63,1-2a qqa qq⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化简得1+q3=9,即q=2,所以a1=,则数列{an}的通项公式为an=×2n-1=2n-2.(2) bn=log4a3+log4a4+…+log4an+2=(log2a3+log2a4+…+log2an+2)=(1+2+3+…+n)=,所以cn===4,则=4=4=.又-4=<0,所以.[精要点评]裂项求和法是求数列各项之和的常用方法.一般地,对于首项与公差均不为0的等差数列{an },有=,则==,以及有结论=.特别地,对于an=,有ai=;对于an=,有在等差数列{an }中,a7=4,a19=2a9.(1) 求{an}的通项公式;(2) 设bn =,求数列{bn}的前n项和Sn.[解答](1) 设等差数列{an }的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为所以解得a1=1,d=.所以{an }的通项公式为an=.(2) bn===-,所以Sn=++…+=.利用错位相减法求数列的和设数列{an }的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,….(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 若数列{bn }满足b1=1,且bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式;(3) 设cn =n (3-bn),求数列{cn}的前n项和为Tn.[思维引导]求通项公式时,要根据递推关系进行;再由an 求出bn的通项公式;对于cn ,由于cn=2n,是等差数列与等比数列乘积的形式,故可采取错位相减法求和.[解答](1) 当n=1时,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1.因为Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2.两式相减得an+1-an+Sn+1-Sn=0,即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an.因为an≠0,所以=(n∈N*).所以数列{an}是首项a1=1、公比为的等比数列,且an=(n∈N*).(2) 因为bn+1=bn+an,所以bn+1-bn=,从而有b2-b1=1,b3-b2=,b4-b3=,…,bn-bn-1=(n=2,3,…).将这n-1个等式相加,得bn-b1=1+++…+==2-2.又因为b1=1,所以bn=3-2(n=1,2,3,…).(3) 因为cn=n (3-bn)=2n,所以Tn=2. ①Tn=2. ②①-②,得Tn=2[+++…+]-2n.故Tn=4-4n=8--4n=8-(n=1,2,3,…).[精要点评](1) 考查了根据an 与Sn的关系求通项公式an.在已知Sn求an,或是由an与Sn 的关系式求an时,往往要先考虑n=1的特殊情况,然后再结合an=Sn-Sn-1求通项公式.(2) 考查了累加法求通项公式an .在出现关系an=an-1+2n或an=an-1+2n或类似关系时,常考虑累加法求通项,必要时还要考虑累乘法.(3) 在求数列的和时采取了错位相减法.当数列是由一个等差数列与一个等比数列进行对应相乘时,可采取这种方法求数列的和.(xx·淮安、宿迁摸底)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和S n =(an-1)(an+2),n∈N*.(1) 求数列{an}的通项公式;(2) 设bn=(-1)n an,求数列{bn}的前2n项和T2n.[规范答题](1) 当n=1时,S1=(a1-1)(a1+2),解得a1=-1或a1=2.因为a1>0,所以a1=2.(2分)当n≥2时,Sn=(an-1)(an+2),Sn-1=(an-1-1)(an-1+2).两式相减得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.(6分)又因为an>0,所以an+an-1>0,所以an-an-1=1.所以an=n+1.(8分)(2) T2n =-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+…+a2n-2a2n-1-a2n-1a2n+a2na2n+1=2(a2+a4+…+a2n).(11分)又a2,a4,…,a2n是首项为3、公差为2的等差数列,所以a2+a4+…+a2n==n2+2n.故T2n=2n2+4n(14分)1. 在数列{an }中,a1=1,an+1=(n=1,2,3,…),则a10=.[答案][解析]对an+1=取倒数,得=+1,即-=1,由此可知数列是以为首项、1为公差的等差数列,从而=+9×1=10,因此a10=.2. 已知等差数列{an }的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为.[答案][解析]由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)=n,所以==-,所以++…+=-+-+…+-=1-=.3. 在数列{an }中,a1=1,an+1=2an+2n,则数列{an}的通项公式是an=.[答案]n·2n-1[解析]因为an+1=2an+2n,同除以2n+1,得=+,即-=,所以数列是首项为、公差为的等差数列,所以=,所以an=n·2n-1.4. 已知正项数列{an }满足-(2n-1)an-2n=0.(1) 求数列{an }的通项公式an;(2) 令bn =,求数列{bn}的前n项和Tn.[解答](1) 由-(2n-1)an -2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以an=2n.(2) 由(1)知an=2n,故bn===,所以Tn===.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第81-82页).23919 5D6F 嵯}26067 65D3 旓32234 7DEA 緪,639100 98BC 颼k Z36783 8FAF 辯,)39016 9868 顨34466 86A2 蚢。
数列的递推关系课件-2024届高考数学一轮复习
知（ an ＋1－1）（ an －1）≠0，所以
－
＝2.又因为
＝1，
+ −
−
−
所以
−
是以1为首项，2为公差的等差数列.所以
＝2 n －1.所以
−
an ＝
返回目录
所以 an ＝ ＋ ×（－2） n －1.若选结论②.因为2 an ＝ an ＋1＋ an ＋2，
+
+ −+
+ −( −+ ）
所以 an ＋2＝2 an － an ＋1.所以
＝
＝
＝
−+
−+
+ −
＝－2.又因为 a 1＝1， a 2＝－1，所以 b 1＝ a 1－ a 2＝2.所以数列
− = ，
= ，
＝ − ，
an ＋2＝2 an ＋1＋3 an ，所以
解得
或
若x
=
，
＝
−
.
= ，
＝
－3，则 bn ＝ an ＋1－3 an .因为数列{ an }的各项都为正数，即 an ＞0，所以
bn 可能为零，此时{ bn }不是等比数列，不符合题意.所以当 x ＝1时，数
，
＝
＜
，所以满足不等式｜ Sn －6｜＜
的最小正
整数 n 是10.
返回目录
2025高考数学一轮复习-4.1.2-数列的递推公式【课件】
(2)通过公式 bn＝aan＋n1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前 4
项． [解]
(2)∵bn＝aan＋n 1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58.
故{bn}的前 4 项依次为 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
1.已知数列{an}的首项 a1＝1，且满足 an＋1＝12an＋21n，此数
列的第 3 项是( )
A．1
B．12
C．34
D．58
C [∵an＋1＝12an＋21n，a1＝1，∴a2＝12a1＋2×1 1＝1，a3＝12a2＋2×1 2
＝12×1＋14＝34.故选 C.]
2.数列{an}满足 an＋1＝1－a1n，且 a1＝2，则 a2 021 的值为(
知识点 1 数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第 1 项(或前几项)； ②任一项_a_n__与它的前一项__a_n_－_1___(或前几项)间的关系可以用 一个_公__式_来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递__推__公式．
1.所有数列都有递推公式吗？ [提示] 不一定．例如 2精确到 1，0.1，0.01，0.001，…的近似 值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
3.数列 2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2) C [由条件可发现，n≥2 时，an－an－1＝2，即 an＝an－1＋2，又 a1D．1 A [由 an＋1＝1－a1n及 a1＝2，得 a2＝12，a3＝－1，a4＝2，至此可
如何总结高一数学的数列递推关系与应用
如何总结高一数学的数列递推关系与应用在高一数学的学习中，数列递推关系及其应用是一个重要且具有一定难度的知识点。
要想学好这部分内容，我们需要深入理解其概念，掌握常见的递推关系类型，并能够灵活运用它们解决各种实际问题。
首先，我们来明确一下什么是数列递推关系。
简单来说，数列递推关系就是通过已知的项，按照一定的规则推出后续的项。
比如，对于数列{aₙ}，如果给出了 a₁的值，以及一个关于 aₙ和 aₙ₋₁（或者其他前面的项）的关系式，那么就可以依次求出后面的项。
常见的数列递推关系类型有很多。
等差数列的递推关系是 aₙ ＝aₙ₋₁＋ d（d 为公差），等比数列的递推关系是 aₙ ＝ aₙ₋₁ × q（q为公比）。
除了这两种基本的数列，还有一些更复杂的递推关系，比如线性递推关系（形如 aₙ ＝ paₙ₋₁＋ q，其中 p、q 为常数）、非线性递推关系（如 aₙ ＝ aₙ₋₁²＋ 1 等）。
在学习数列递推关系时，理解其通项公式的推导过程是非常关键的。
以等差数列为例，我们知道 a₁的值，公差为 d，那么 a₂＝ a₁＋ d，a₃＝ a₂＋ d ＝ a₁＋ 2d，以此类推，可以得到 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d。
这个通项公式就是通过对递推关系的不断累加得到的。
对于等比数列，同样可以通过类似的方法推导出通项公式 aₙ ＝ a₁ × qⁿ⁻¹。
掌握了数列递推关系的类型和通项公式的推导，接下来就是要学会应用它们解决实际问题。
在数学竞赛或者高考中，经常会出现与数列递推关系相关的题目。
比如，让我们求数列的某一项的值，或者判断一个数列是否满足某种递推关系。
这时候，我们就需要根据已知条件，选择合适的递推关系类型，然后运用相应的方法进行求解。
例如，有这样一道题目：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ ＝2aₙ₋₁＋ 1（n ≥ 2），求 a₅的值。
首先，我们可以根据递推关系依次求出 a₂、a₃、a₄，最后求出 a₅。
高考数学课程一轮复习 第41课时 数列的综合应用
第41课时 数列的综合应用【考点点知】知己知彼，百战不殆根据新课标高考的趋势，高考对数列求和的要求是：①会用观察法写出一些简单的数列的通项公式；②能根据n a a 与n S 的关系求解n a a ；③会用构造法、累加法、累乘法等方法对递推公式进行转化求解通项公式；④会用倒序相加法、公式法、错位相减法、裂项法等方法求解特殊数列的和．递推数列也是新课标高考的重点，尤其是函数、不等式、导数与递推数列的综合题更是高考的热点．新课标对数列的应用的基本要求是：“认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何等知识解决一些数列综合题，并能在实际情形中运用数列知识解决实际问题．”因此，新课标高考将突出数列与其他知识的综合与交汇，方法灵活，难度较大的数列综合题往往成为高考的压抽题，当然，随着新课标对分析问题、解决问题能力的重视，也有可能出现数列的实际应用问题．考点一: 通项公式的求解1.观察法：观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系，从而确定出数列的通项.2.构造等差、等比数列法：构造法就是根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解.3.猜归法：猜归法就是由已知条件先求出数列的前n 项，一般是1234,,,a a a a 等，由此归纳猜想出n a ，然后用数学归纳法证明.4.累加法：如果已知数列｛n a a ｝的相邻两项1n a +a 与n a a的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项差的关系，然后把这n-1个式子相加，整理求出数列的通项.5.累积法：如果已知数列｛n a a ｝的相邻两项1n a +a 与n a a的商的关系，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n-1个式子相乘，整理求出数列的通项.6.待定系数法：如果已知数列｛n a a ｝的通项公式的结构形式，我们可以先设出通项公式，然后再由已知条件求出待定系数.考点二: 数列求和的方法1.公式法：直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.倒序相加（乘）法：如果一个数列｛n a a ｝，与首末两项等距离的两项之和（积）等于首末两项之和（积），可采用把正着写和倒着写的两个式子相加（乘），就得到一个常数列的和（积），进而求出数列前n 项和（积）.3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子12n n S a a a =++⋅⋅⋅+a 两边同乘以公比q ，得到12n n qS a q a q a q =++⋅⋅⋅+a ，两式错位相减整理即可求出n S .4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和变成首尾若干少数项之和.5.分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解.6.归纳法：先用不完全归纳法猜想出前n 项和，然后再用数学归纳法证明.考点三: 用数学模型解题的基本模式 1.模式2.常见的数列模型（1）等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题.（2）等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题.（3）递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解.①含有n S 、n a 、()f n 的递推数列，可利用1(2)n n n a S S n -=-≥先消去n S 求通项或者先消去n a 求出n S 后再求通项或者构造方程组消去()f n 、n S 得到1n a -、n a 、1n a +(2)n ≥的递推关系后再求通项.②已知数列{}n a 满足()1n n a a f n +=+，首项为1a ，则()()()()11(1),1231(2).n a n a a f f f f n n =⎧⎪=⎨+++++-≥⎪⎩③已知数列{}n a 满足1(0,1,0)n n a pa r p p r +=+≠≠≠，首项为1a ，则1111n n r ra a p p p -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭． 【小题热身】明确考点，自省反思1.（辽宁卷）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为_____． 2.（江西卷）等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-，则'(0)f = .3.（天津卷）设{}n a 是等比数列，公比q =，n S 为{}n a 的前n 项和．记2117n nn n S S T a +-=，n +∈N ，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = ．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.数列}{n a 中，S n 是前n 项和，若)1(31,111≥==+n S a a n n ，则n a = ． 思路透析:由题意:)1(311≥=+n Sn a n (1), 推得131-=n n S a (2),相减得n n n a a a 311=-+ 即,341=+n n a a 又由.3131,1121===a a a所以数列{}n a 从第2项后是从31为首项,以34为公比的等比数列, 则21,1,14(), 2.33n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩点评:已知数列{n a a }的第n 项n a a 与n S 的关系式时,可以利用公式⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n 求其通项公式,但是求解过程中要注意数列首项的代入验证,即在递推得214(),233n n a n -=⋅≥a 时,其前提条件为2n ≥,若此等式也满足1a a =1,则表达式可统一为一个单独的解析式,否则可以写为分段的形式.例2.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）思路透析:由图所示, 可得5)4(=f ，由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，14)6(=f ，可推得直线每增加1条,其与前面的每一条直线均增加一个交点,第n 条直线与前面的n-1条直线，则交点增 加了)1(-n 个，∴)1(432)(-++++=n n f (21)(2)2n n +--=1(1)(2)2n n =+-．点评:先通过几条特殊的直线相交一一数出交点的个数,再根据每增加一条直线交点个数的增加情况得出关于交点个数的一般关系式,求其通项即可.例 3.一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为２. 若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长依次为i a (i =1,2,…,n),则1a ＋2a ＋…＋n a ＝ .思路透析:由题意得准线:c a ca 2,222==即, (1) 又,4311=a c ⋅⋅⋅==121,413322a c a c 所以由121432a a ⋅=,得,231=a 21,4122222=⋅=a a a 得，,61,12123323=⋅=a a a 得┄综上知:321,,a a a ┄是以首项,231=a 公比为31的等比数列. 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⋅⋅⋅+++n n n a a a a )31(149311)31(123321 点评:本题考查了椭圆的离心率生成数列,首先根据椭圆的基本量关系确定数列的各相应的几前项,再根据数列的关系求得其通项公式.例4.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d （d >0），因此，历年所交纳的储务金数目a 1，a 2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r （r >0），那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1（1＋r ）a －1，第二年所交纳的储备金就变为a 2（1＋r ）a －2，……，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：T n ＝A n ＋B n ，其中｛A n ｝是一个等比数列，｛B n ｝是一个等差数列.思路透析:（Ⅰ）我们有1(1)(2)n n n T T r a n -=++≥． （Ⅱ）11T a =，对2n ≥反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)n n n n n n T T r a T r a r a ---=++=++++=12121(1)(1)(1)n n n n a r a r a r a ---=+++++++ ，①在①式两端同乘1r +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)n n n n n r T a r a r a r a r --+=++++++++②②-①，得121(1)[(1)(1)(1)]n n n n n rT a r d r r r a --=++++++++-1[(1)1](1)n n n dr r a r a r =+--++-． 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--．如果记12(1)nn a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r+=--，则n n n T A B =+．其中{}n A 是以12(1)a r dr r ++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，dr-为公差的等差数列．点评:数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题,该问题来源于生产实践之中,解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出,然后递得出将数列的递推关系式.适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项,可先应用不完全归纳法得出通项来,再进行进一步的论证.【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n =90n（21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) 月.A. 6B. 7C. 8D. 7或83.在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=( )A. 2-B. 2C. 3D. -34.已知函数f (x )=x 2-5x +10.当x ∈(,1]n n + ( n =1,2,3,…)时，函数f (x )的值域为D n ，将D n 中整数的个数记为n a a ，则数列{n a a }的通项公式为n a a =( )A.24n a n =-aB. 42n a n =-aC.2, 1,24, 2.nn a n n =⎧=⎨-≥⎩a D.2, 1,1, 2,24, 3.n n a n n n =⎧⎪==⎨⎪-≥⎩a【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.2.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为1049+n 元（n ∈N *），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了 天.3.某班在元旦游艺活动中进行了抽奖和表演节目，且表演节目的个数大于抽奖次数．活动开始时，先进行第一次抽奖，第一次抽奖后表演1个节目及余下节目的18；第二次抽奖后表演2个节目及余下的18；第三次抽奖后表演3个节目及余下的18；如此类推，且在最后一次抽奖和表演节目后，恰好所有节目表演完成,则这次活动进行的抽奖次数与,共表演的节目数分别为 .4. 若数列{}n a 的通项公式为a n =5(25 )2n-2-4(25 )n-1(n ∈N *),{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x y +等于 .5. 记n 项正项数列为n a a a ,,,21 ， n π为其前n 积”．如果有2005项的正项数列200521,,,a a a 的“叠加积”为20062，则有2006项的数列200521,,,,2a a a 的“叠加积”为 .6.将正偶数排列如下表：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……其中第i 行第j 个数表示为a ij (i ∈N +,j ∈N +)，例如a 32=10,若a ij =2006，则i =_______________，j =______________.二、解答题:7ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n, P n+3为线段P n P n+1的 中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足S n =2-a n n =1,2,3,··· （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11,b =且1 +=+n n n b b a ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设(3) =-n n c n b ，求数列{}n c 的前n 项和n T .第41课时 数列的综合应用参考答案【小题热身】 1. 2122. 1223. 4【即时测评】1. A2. D3. A4. D【课后作业】一、填空题:1. 56002. 3003. 7 494. 35. 20062 6. 45,13i j ==二、解答题:7.解析:(1)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ,得到321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ 所以{}n a 为常数列. 即.,21*∈==N n a a n (2)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又所以2214++++=n n n y y y , 即.414n n yy -=+（3）因为)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+=,41n b -又所以,041431≠-=-=y y b 所以{}n b 是公比为41-的等比数列.8.解析:（Ⅰ）1n = 时，11112a S a a +=+=, ∴11a =. ∵2n n S a =- 即2n n a S += , ∴112n n a S +++=, 两式相减：110n n n n a a S S ++-+-= 即 110n n n a a a ++-+= 故有 12n n a a +=, ∵a n ≠0∴112n n a a += ()n N *∈. ∴数列{}n a 为首项11a =，公比12的等比数列.11()2n n a -= ()n N *∈. （Ⅱ）∵ 1 (1,2,3)+=+=⋅⋅⋅n n n b b a n ∴111()2n n n b b -+-=,得211b b -=,3212b b -=,2431()2b b -=, … …211()2n n n b b ---= (n 2,3,)=⋅⋅⋅将这n -1个等式相加,得12321111()1111121()()()22()12222212-----=+++++==-- n n n n b b又 11,b =∴1132()2n n b -=- (1,2,3)=⋅⋅⋅n（Ⅲ） (3)n n c n b =-112()2n n -= .∴0221111112[()2()3()(1)()()]22222--=++++-+ n n n T n n ①而2311111112[()2()3()(1)()()]222222-=++++-+ n nn T n n ② ①-② 得：01211111112[()()()()]2()222222n nn T n -=++++-11()1244()1212nn n T n -=-⋅-81184()8(84)222n n n n n =--=-+ .。
2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：数列的概念
第
三 部 分
课时精练
基础保分练
1.已知 an＝nn－ ＋11，那么数列{an}是
A.递减数列
√B.递增数列
C.常数列
D.摆动数列
an＝1－n＋2 1，将 an 看作关于 n 的函数，n∈N+， 易知数列{an}是递增数列.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数
列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N+)，则 a11＋a12＋a13＋…＋a21023 等于
√A.1
B.2
C.3
D.4
由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2). 又a1＝1， 所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋ (n－2)＋…＋2＋1＝nn＋2 1(n≥2)， 当n＝1时，a1＝1满足上式， 则a1n＝nn2＋1＝21n－n＋1 1.
3.在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝_3_4__.
通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项 之和，因此x＝13＋21＝34.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 由an与Sn的关系求通项公式
例1 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于
由∀n∈N+，an＋1>an可知数列{an}是递增数列， 又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正. 而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0， 所以an＝n－6，n∈N+(答案不唯一).
高考数学大一轮复习 第九章 第41课 数列的递推关系与求和自主学习
第41课数列的递推关系与求和(本课对应学生用书第88-89页)自主学习回归教材1. 递推数列(1) 概念:数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(a n+k-1,a n+k-2,…,a n)称为数列的递推关系.由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列.(2) 求递推数列通项公式的常用方法:迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法.2. 常用的一般数列的求和方法(1) 公式法:若可以判断出所求数列是等差(等比)数列,则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列,也不是等比数列,有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.(2) 分组转化法:把数列的每一项拆成两项的差(或和),或把数列的项重新组合,使其转化为等差或等比数列.(3) 裂项相消法:把数列的通项拆成两项的差(或和),使求和时出现的一些正负项相互抵消,于是前n项和变成首尾两项或少数几项和(差).(4) 倒序相加法:把S n中项的顺序首尾颠倒过来,再与原来顺序的S n相加.这种方法体现了“补”的思想,等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上,如果一个数列倒过来与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项和可求出来,那么这样的数列就可以用倒序相加法求和.(5) 错位相减法:数列{a n b n}的求和问题应用此法,其中{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.1. (必修5P55练习4改编)求和:101(2)kkk∑=+=.[答案]2 101[解析]1+2+…+10=55,2+22+…+210=2 046.2. (必修5P68复习题13(1)改编)数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ 的前n 项和S n = . [答案]1nn +[解析]1(1)n n +=1n -11n +,S n =1-11n +=1n n +.3. (必修5P41习题13改编)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n =n+a n-1(n ≥2,n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为 .? [答案]a n =(1)2n n +[解析]a n =n+a n-1可变形为a n -a n-1=n(n ≥2,n ∈N *),由此可写出以下各式:a n -a n-1=n,a n-1-a n-2=n-1,a n-2-a n-3=n-2,…,a 2-a 1=2,将以上等式两边分别相加,得a n -a 1=n+(n-1)+(n-2)+…+2,所以a n =n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=(1)2n n +.4. (必修5P68复习题12改编)数列1(1)2n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和T n = . [答案]3-32n n +[解析]由a n =(n+1)12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,得T n =2×12+3×212⎛⎫ ⎪⎝⎭+4×312⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+(n+1)12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ①12T n =2×212⎛⎫ ⎪⎝⎭+3×312⎛⎫ ⎪⎝⎭+4×412⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+(n+1)·112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭, ② 由①-②,得 12T n =1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(n+1)·112n +⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+-1111-4211-2n⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-(n+1)112n+⎛⎫⎪⎝⎭=32-132nn++.所以T n=3-32nn+.5. (必修5P63阅读改编)在斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…中,a n,a n+1,a n+2的关系是. [答案]a n+2=a n+a n+1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第41课数列的递推关系与求和
(本课对应学生用书第88-89页)
自主学习回归教材
1. 递推数列
(1) 概念:数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(a n+k-1,a n+k-2,…,a n)称为数列的递推关系.由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列.
(2) 求递推数列通项公式的常用方法:迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法.
2. 常用的一般数列的求和方法
(1) 公式法:若可以判断出所求数列是等差(等比)数列,则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列,也不是等比数列,有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.
(2) 分组转化法:把数列的每一项拆成两项的差(或和),或把数列的项重新组合,使其转化为等差或等比数列.
(3) 裂项相消法:把数列的通项拆成两项的差(或和),使求和时出现的一些正负项相互抵消,于是前n项和变成首尾两项或少数几项和(差).
(4) 倒序相加法:把S n中项的顺序首尾颠倒过来,再与原来顺序的S n相加.这种方法体现了“补”的思想,等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上,如果一个数列倒过来与原数列相加时,若有公因式可提,并且剩余的项和可求出来,那么这样的数列就可以用倒序相加法
求和.
(5) 错位相减法:数列{a n b n}的求和问题应用此法,其中{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.
1. (必修5P55练习4改编)求和:10
1
(2)k
k
k
∑
=
+
=.
[答案]2 101
[解析]1+2+…+10=55,2+22+…+210=2 046.
2. (必修5P68复习题13(1)改编)数列
1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ 的前n 项和S n = . [答案]1n
n +
[解析]1(1)n n +=1
n -11n +,S n =1-11n +=1n n +.
3. (必修5P41习题13改编)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n =n+a n-1(n ≥2,n ∈N *
),则数列{a n }的通项公式为 .? [答案]a n =(1)
2n n +
[解析]a n =n+a n-1可变形为a n -a n-1=n(n ≥2,n ∈N *
),由此可写出以下各式:a n -a n-1=n,a n-1-a n-2=n-1,a n-2-a n-3=n-2,…,a 2-a 1=2,将以上等式两边分别相加,得a n -a 1=n+(n-1)+(n-2)+…+2,所以a n =n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=(1)
2n n +.
4. (必修5P68复习题12改编)数列1(1)2n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩
⎭的前n 项和T n = . [答案]3-3
2n n +
[解析]由a n =(n+1)12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,得
T n =2×12+3×212⎛⎫ ⎪⎝⎭+4×312⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+(n+1)12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ①
12T n =2×212⎛⎫ ⎪⎝⎭+3×312⎛⎫ ⎪⎝⎭+4×412⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+(n+1)·1
12n +⎛⎫ ⎪⎝⎭, ② 由①-②,得 12T n =1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+…+12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(n+1)·1
12n +⎛⎫ ⎪⎝⎭
=1+
-1
11
1-
42
1
1-
2
n
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
-(n+1)
1
1
2
n+
⎛⎫
⎪
⎝⎭
=3
2-1
3
2n
n
+
+
.
所以T n=3-
3
2n
n+
.
5. (必修5P63阅读改编)在斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…中,a n,a n+1,a n+2的关系是. [答案]a n+2=a n+a n+1。