数学北师大高考第一二伦复习,各地2012年高考真题精品包-147

第2讲 合情推理与演绎推理随堂演练巩固1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,则这个数列的一个通项公式为( )A.13n n a -=B.3n n a =C.32n n a n =-D.1323n n a n -=+- 【答案】 A【解析】 123413927a a a a =,=,=,=.归纳推理:13n n a -=. 2.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故此奇数是3的倍数”,上述推理是( )A.小前提错B.结论错C.正确的D.大前提错【答案】 C【解析】 这是演绎推理的一般模式“三段论”.前提和推理形式都正确,因此结论也正确.3.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b ∥平面α,直线a ⊂平面α,则直线b ∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为 ( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】 A【解析】 由演绎推理的三段论可知答案应为A.4.观察下列各式:237497343=,=,47=2 401,…,则20117的末两位数字为( ) A.01 B.43 C.07D.49 【答案】 B【解析】 (方法一)由题意得2011502434502377(7)7⨯+,==⋅,由于472= 401末位为1,倒数第二位为0,因此2 502401的末两位定为01.又37=343,∴45023(7)7⋅的末两位定为43.(方法二)用归纳法:∵234749734372=,=,=54017,=16 68077,=117 76497,823=543,…,由上知末两位有周期性且T=4.又20115024377⨯+=,∴20117的末两位与37的末两位一样,为43.5.在等差数列{n a }中,若100a =,则有等式12a a ++…12n a a a +=++…19(19n a n -+<,且n ∈N )*成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{n b }中,若91b =,则有等式 成立.【答案】 12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…17n b -⋅【解析】 对于等差数列{n a },若有0k a =,根据等差中项的知识,有121222323n k n n k n n k n k a a a a a a a +--+--+--+=+=+=+k a =0,所以必有12a a ++…12n a a a +=++…n a ++12(n n a a ++++…2221)k n k n a a ----++(21n k n <-,∈N )*.∵此时有100a =,即k=10.∴12a a ++…12n a a a +=++…12(n n n a a a ++++++…181912)n n a a a a --++=++…19n a -+. 类似地:对于等比数列{n b },若1k b =,由等比中项的知识,有121222323n k n n k n n k n b b b b b b +--+--+--⋅=⋅=⋅=…=1k k b b ⋅=.∴12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…12(n n n b b b ++⋅⋅⋅…2221)k n k n b b ----⋅⋅.∵91b =,∴k=9.∴12b b ⋅⋅…12n b b b ⋅=⋅⋅…12(n n n b b b ++⋅⋅⋅…18218112)n n b b b b ----⋅⋅=⋅⋅…17n b -⋅.课后作业夯基基础巩固1.下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤【答案】 D【解析】 归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算 法则 :①“mn=nm”类比得到“a ⋅b=b ⋅a ”;②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a +b ) ⋅c=a ⋅c+b ⋅c ”;③“()()m n t m n t ⋅=⋅”类比得到“（a ⋅b ）⋅c =a ⋅（b ⋅c ）”;④“0t mt xt m x ≠,=⇒=”类比得到“p ≠0, a ⋅p =x ⋅p ⇒a =x ”;⑤“|m n ⋅|=|m|⋅|n|”类比得到“| a ⋅b |=|a |⋅|b | ”; ⑥“ac a =”类比得到“a c a ⋅=”. 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【答案】 B【解析】 ①②正确;③④⑤⑥错误.3.已知△ABC 中30A ,∠= 60B ,∠= ,求证:a<b .证明:∴a<b.框内部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【答案】 B4.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n 个图中有个点.( )A.21n +B.2n n -C.n+1D.21n n -+【答案】 D【解析】 第(2)个图形,中间有1个点,另外的点指向两个方向,每个方向一个点,共有2(21)1⨯-+ 个点;第(3)个图形,中间有1个点,另外的点指向三个方向,每个方向两个点,共有3(31)1⨯-+个点; 第(4)个图形,中间有1个点,另外的点指向四个方向,每个方向三个点,共有4(41)1⨯-+个点; 第(5)个图形,中间有1个点,另外的点指向五个方向,每个方向四个点,共有5(51)1⨯-+个点; ……由上面的变化规律,可猜测,第n 个图形中心有1个点,另外的点指向n 个方向,每个方向n-1个点,共 有n(n-1)211n n +=-+个点.5.下列推理是归纳推理的是( )A.A,B 为定点,动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则P 点的轨迹为椭圆B.由1131n a a n =,=-,求出123S S S ,,,猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C.由圆222x y r +=的面积π2r ,猜想出椭圆22221y x a b +=的面积S=πab D.以上均不正确【答案】 B【解析】 从123S S S ,,猜想出数列的前n 项和n S ,是从特殊到一般的推理,所以B 是归纳推理.6.如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥ 时,51-此类椭圆被称为 “黄金椭圆”,类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )1 1 【答案】 A【解析】 B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中, ∵FB AB ⊥, ∴0FB AB ⋅= .∴2b ac =.而222b c a =-,∴22c a ac -= .在等号两边同除以2a 得51e +=. 7.观察下列等式: 33212(12)+=+,31+3323333223(123)1234(1234)+=++,+++=+++,…,根据上述规律,第四个等式为 .【答案】 33333212345(12345)(++++=++++或215)【解析】 332333212(12)123(123)+=+,++=++,…,所以333332225(15)12345(12345)[]152+++++=++++==. 8.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱 锥”形的展品,其中第1堆只有一层,就一个球;第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按如下图所示 方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n 堆第n 层就放一个乒乓球, 以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数,则f(3)= ;f(n)= (答案用n 表示).【答案】 10 (1)(2)6n n n ++【解析】 f(1)=1,由题图可得f(2)=3+1=42(21)(1)2f +=+, f(3)=6+3+1=103(31)(2)2f +=+. f(4)=10+6+3+1=204(41)(3)2f +=+. 可知,下一堆的球的个数是上一堆球的个数加上其第一层的球的个数,而第一层的球的个数满足1,3,6,10,…,其通项公式是(1)2n n +. ∴f(5)=f(4)+155(51)(4)2f +=+,…, f(n)=f (1)(1)2n n n +-+. ∴2(21)3(31)()(1)22f n f ++-=++…(1)2n n ++ 22332222++=++ (22)n n ++ 222232322n n ++++++=+ (1)(21)(1)1124n n n n n +++=+- (1)(2)16n n n ++=-.∴(1)(2)()6n n n f n ++=. 9.观察下列等式:1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律,第五个等式应为 .【答案】 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81【解析】 观察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然数的和,第一个数是2,第三行 是5个连续自然数的和,第一个数是3,第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4,第5行应该是连 续9个自然数的和,第一个数为5,∴第5行左侧:5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行 1=12,第二行9=32,第三行25=52,第四行49=72,则第5行应为81=92,∴第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.10.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论 有:设等比数列{n b }的前n 项积为n T ,则4T , , 1612T T ,成等比数列. 【答案】 84T 128T T 【解析】 对于等比数列,通过类比,可得8161244812T T T T ,,,成等比数列. 11.已知等式:sin 25 +23355354cos sin cos += ; 223154515454sin cos sin cos ++= ; 223306030604sin cos sin cos ++= ;…. 由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式,并予以证明. 【证明】 归纳已知可得:2sin θ+2cos (30θ+ )+sin θcos (30θ+ 3)4=. 证明如下:∵sin 2θ+cos 2(30θ+ )+sin θcos (30θ+ )=sin 2θ+cos 12θ-sin 2)θ+sin θcos 12θ-sin )θ=sin 2θ+cos 12θ-sin θcos 12θ+sin )θ =sin 234θ+2cos 14θ-2sin 34θ=. ∴等式成立.12.已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为PM k 、PN k 时,那么PM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线22221y x a b-=写出具有类似特性的性质,并加以证明. 【解】 类似的性质为:若M 、N 是双曲线22221y x a b-=上关于原点对称的两个点,点P 是双曲线上 任意一点,当直线 PM 、PN 的斜率都存在,并记为PM k 、PN k 时,那么PM k 与PN k 之积是与点P 的 位置无关的定值.证明:设点M 、P 的坐标分别为(m,n)、(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上, 所以22222b n m b a =-.同理22222b y x b a=-. 则2222PM PN y n y n y n k k x m x m x m -+-⋅=⋅==-+-22b a ⋅2222x m x m -=-22b a 定值). 13.已知等差数列{n a }的公差d=2,首项15a =.(1)求数列{n a }的前n 项和n S ;(2)设(25)n n T n a =-,求12345S S S S S ,,,,;12345T T T T T ,,,,,并归纳出n S 与n T 的大小规律.【解】 (1)(1)52(4)2n n n S n n n -=+⨯=+. (2)(25)[2(n n T n a n =-=2n+3)-5],∴24n T n n =+.∴2212354221843339T T T =,=⨯+=,=⨯+=, 224544468455105T T =⨯+=,=⨯+=.12352(24)123(34)21S S S =,=⨯+=,=⨯+=,454(44)325(54)45S S =⨯+=,=⨯+=.由此可知11S T =,当2n ≥时n n S T ,<.归纳猜想:当2n n ≥,∈N 时n n S T ,<.拓展延伸14.设2()41f n n n n =++,∈N *,计算f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用 n=40验证猜想是否正确.解:2(1)114143f =++=,2(2)224147f =++=,2(3)334153f =++=,2(4)444161f =++=,2(5)554171f =++=,2(6)664183f =++=,2(7)774197f =++=,2(8)8841113f =++=,2(9)9941131f =++=,2(10)101041151f =++=.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,∴归纳猜想:当n ∈N *时2()41f n n n ,=++的值都为质数.∵n=40时2(40)40404140(f ,=++=40+1)+414141=⨯,∴f(40)是合数.因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.。