2020版高考数学大二轮复习6.1直线圆学案理

第1讲 直线 圆考点1 直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B2. [例1] (1)[2019·重庆一中模拟]“a＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)[2019·河北衡水中学模拟]已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l 1与经过点P(0，－1)和点Q(a ，－2a)的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．－1或1【解析】 (1)由直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行，知a(a －1)＝2×3且a(7－a)≠3×2a，解得a ＝3或a ＝－2.所以“a＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的充分而不必要条件．故选A .(2)直线l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a.当a≠0时，直线l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l 2为y 轴，A(－2,0)，B(1,0)，则直线l 1为x 轴， 显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为0或1.故选C . 【答案】 (1)A (2)C(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.『对接训练』1．[2019·四川联合诊断]与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x －4y －5＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0解析：设所求直线上某点的坐标为(x ，y)，则其关于x 轴的对称点的坐标为(x ，－y)，且点(x ，－y)在已知的直线上，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D .答案：D2．[2019·四川凉山模拟]若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A .79B .13C .79或13D ．－79或－13解析：由点A 和点B 到直线l 的距离相等，得|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，化简得6a ＋4＝－3a －3或6a ＋4＝3a ＋3，解得a ＝－79或a ＝－13.故选D .答案：D考点2 圆的方程 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b)，半径为r 时，其标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F>0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[例2] (1)[2019·北京卷]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________；(2)[2016·天津卷]已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________________．【解析】 (1)因为抛物线的标准方程为y 2＝4x ，所以焦点F(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上， 设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM|＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.【答案】 (1)(x －1)2＋y 2＝4 (2)(x －2)2＋y 2＝9圆的方程的求法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.『对接训练』3．[2019·河南豫北名校联考]圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·13＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D . 答案：D4．[2019·湖北八校联考]已知圆C 的圆心在y 轴上，点M(3,0)在圆C 上，且直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，则圆C 的标准方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝18B ．x 2＋(y ＋3)2＝18C ．x 2＋(y －4)2＝25D ．x 2＋(y ＋4)2＝25解析：设圆C 的圆心坐标为(0，b)，则线段CM 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2， 因为直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点， 所以2×32－b2－1＝0，解得b ＝4，所以圆C 的圆心坐标为(0,4)， 半径r ＝|CM|＝(0－3)2＋(4－0)2＝5， 所以圆C 的标准方程是x 2＋(y －4)2＝25， 故选C . 答案：C考点3 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系判定(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．2．圆与圆的位置关系判定 (1)d>r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．[例3] (1)[2019·浙江卷]已知圆C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A(－2，－1)，则m ＝________，r ＝________；(2)[2019·江西师范大学附中期末]已知对任意实数m ，直线l 1：3x ＋2y ＝3＋2m 和直线l 2：2x －3y ＝2－3m 分别与圆C ：(x －1)2＋(y －m)2＝1相交于A ，C 和B ，D ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．解法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.解法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.(2)由直线l 1：3x ＋2y ＝3＋2m 和直线l 2：2x －3y ＝2－3m ，易得l 1⊥l 2，得S 四边形ABCD ＝12AC·BD.由题可知，l 1，l 2过圆心C ，所以AC ＝BD ＝2，所以S 四边形ABCD ＝2，故选B .【答案】 (1)－2 5 (2)B弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解.『对接训练』5．[2019·山东新泰一中月考]直线ax ＋by －a －b ＝0(a 2＋b 2≠0)与圆x 2＋y 2－2＝0的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离为|a ＋b|a 2＋b2，其中(a＋b)2≤2(a 2＋b 2)，所以圆心到直线的距离|a ＋b|a 2＋b2≤2，所以直线与圆相交或相切，故选C .答案：C6．[2019·江苏南师大附中期中]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A(0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为________________．解析：由x 2＋y 2－6x －6y ＝0得(x －3)2＋(y －3)2＝18，则该圆的圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，所以两圆的圆心连线必过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以其圆心也在直线y ＝－4上，易得圆心坐标为(－4，－4)，又点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0课时作业14 直线 圆1．[2019·山东平度一中月考]若直线l 1：ax －y ＋1＝0与直线l 2：2x －2y －1＝0的倾斜角相等，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B . 答案：B2．[2019·安徽六安一中四模]直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c)，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意可得，－a 4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－5＝－1，a ＋4c －2＝0，2－5c ＋b ＝0，解得a ＝10，c ＝－2，b ＝－12.∴a＋b ＋c ＝－4.故选B .答案：B3．[2019·天津七校联考]经过点(0,1)与直线2x －y ＋2＝0平行的直线方程是( )A ．2x －y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：设所求直线的方程为2x －y ＋a ＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a ＝0，所以a ＝1，故所求直线方程为2x －y ＋1＝0.故选B .答案：B4．[2019·湖南衡阳八中月考]已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝12，则直线l 的方程为( ) A .3x －y －2＝0 B .3x ＋y －4＝0 C ．x －3y ＝0 D .3x ＋3y －6＝0解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B .答案：B5．[2019·安徽四校联考]直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：解法一 设直线l 的斜率为k(k<0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3k ＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A .解法二 依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A .答案：A6．[2019·河北九校联考]圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：由题意设所求圆的方程为(x －m)2＋y 2＝4(m>0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C .答案：C7．[2019·山东济宁期末]已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝9，过点M(1,1)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦长AB 最短时，直线l 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋2y －8＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：根据题意，圆C 的圆心C(2,3)，半径r ＝3.当CM 与AB 垂直时，即M 为AB 的中点时，弦长AB 最短，此时CM 的斜率k CM ＝3－12－1＝2，则AB 的斜率k AB ＝－12，所以直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，故选D .答案：D8．[2019·江西吉安五校联考]若直线mx ＋2ny －4＝0(m ，n∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)解析：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝9，∵直线mx ＋2ny －4＝0(m ，n ∈R ，m ≠n )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，∴圆心(2,1)在直线mx ＋2ny －4＝0上，得m ＋n ＝2，n ＝2－m ，∴mn ＝m (2－m )＝－m 2＋2m ＝－(m －1)2＋1，∵m ≠n ，∴m ≠1，∴mn <1.故选C.答案：C9．[2019·湖南雅礼中学月考]若圆x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0(a 是实数)的距离为1，则a ＝( )A ．±1B ．±24 C ．± 2 D ．±32解析：由题意知圆心为(3,1)，半径是2，因为圆上有且仅有三个点到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离是1，即|3a |a 2＋1＝1，得a ＝±24，故选B.答案：B10．[2019·湖南长沙一模]圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2 解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.答案：A11．[2019·湖南师大附中月考]点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为( )A ．3B ．7C ．－3D ．－7解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3，故选C.答案：C12．[2019·河南南阳期末]已知点M (－1,0)，N (1,0)．若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞) B．(－∞，－25]∪[25，＋∞) C ．[－25,25] D ．[－5,5]解析：由题意知，此题可转化为求直线3x －4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝1有交点时m 的取值范围，则|m |32＋(－4)2≤1，解得－5≤m ≤5，故m 的取值范围是[－5,5]．答案：D13．[2019·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．解析：当直线过原点时，直线斜率为3－02－0＝32，故直线方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，把(2,3)代入可得a ＝－1，故直线的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.答案：3x －2y ＝0或x －y ＋1＝014．[2019·天津七校联考]已知M (0,2)，N (2，－2)，以线段MN 为直径的圆的标准方程为________________．解析：由题意易得圆心的坐标为(1,0)，|MN |＝22＋(－2－2)2＝25，所以圆的半径为5，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5.答案：(x －1)2＋y 2＝515．[2019·山东实验中学质量检测]过直线l ：x ＋y ＋1＝0上一点P 作圆C ：x 2＋y 2－4x－2y＋4＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为________．解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(2,1)，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以|PA|·1＝3.连接PC，在直角三角形PAC中，由勾股定理可得，|PC|＝|PA|2＋|AC|2＝10.设P(a，－a－1)，则(a－2)2＋(－a－2)2＝10，解得a ＝－1或a＝1.答案：－1或116．[2019·北京大兴区期末]直线l：y＝kx＋k与圆C：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，k的值为________．解析：圆C的圆心C(1,0)，半径r＝1，设圆心C到直线的距离为d，则△ABC的面积S＝12×d×2×1－d2＝d2×(1－d2)≤(d2＋1－d2)24＝12，当且仅当d2＝12，即d＝22时，△ABC的面积最大，此时d＝|2k|1＋k2＝22，解得k＝±77.答案：±7 7。