2017-2018版高中数学第三章不等式1.1不等关系学案北师大版必修5
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案第一课时§3.1 不等关系（一）一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二、教学重点，难点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 (一)．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ (3)下表给出了三种食物X ,Y ,Z 的维生素含量及成本：维生素A (单位/kg) 维生素B (单位/kg) 成本(元/kg)X 300 700 5 Y 500 100 4 Z3003003某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X ,Y 这两种食物各取x kg ，y kg ，那么x ,y 应满足怎样的关系？ 2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ （二）．学生活动在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤． 在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22x x⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42xx +->， 化简，得2510 4.80x x -+<．在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩ 上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系. （三）．建构数学1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． （四）．数学运用 1．例题：例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．解：,x y 满足的条件为638471000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．例3．比较大小：（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；（2）a mb m ++与ab（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-<∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．（2）()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b +>+． 说明：不等式a m ab m b+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了． 例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+- =(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1） 当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +； （2） 当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3） 当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．（五）．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．（六）．课外作业：课本第68页 练习 第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．补充：1．比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小；2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较22a b b a+与a b +的大小．第二课时§3.1 不等关系（二）一、教学目标1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 二、教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第三章 不等式 1-
1.1不等关系1.2不等关系与不等式(一)[学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．知识点一不等关系与不等式1．不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4m；(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2000元．2．不等式(1)不等式的定义用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．知识点二比较大小的依据(1)比较实数a，b大小的文字叙述①如果a－b是正数，那么a＞b；②如果a－b等于0，那么a＝b；③如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．(2)比较实数a，b大小的符号表示①a－b＞0⇔a>b；②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a<b.思考(1)x＞1时，x2－x____0(填“＞”或“＜”)．(2)(6＋2)2____10＋43(填“＞”或“＜”)．答案(1)＞(2)＜解析(1)x2－x＝x(x－1)x＞1时，x－1＞0，x＞0，∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.(2)(6＋2)2＝8＋212＝8＋43＜10＋4 3.题型一用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，身高超过1.4米可表示为h＞1.4，身高不足1.1米可表示为h＜1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：量关系．不等式是不等关系的符号表示．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范．如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号．跟踪训练1如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L＋10)(W＋10)＝350，L＞4W，L＞0，W＞0.例2某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？解 设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ＋，y ≥2且y ∈N ＋.反思与感悟 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．跟踪训练2 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．请写出满足上述不等关系的所有不等式． 解 假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根．根据题意，应满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，3x ≥y ，x ∈N ，y ∈N .题型二 比较实数(式)的大小例3 (1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 (1)∵x 6＋1－(x 4＋x 2) ＝x 6－x 4－x 2＋1 ＝x 4(x 2－1)－(x 2－1) ＝(x 2－1)(x 4－1) ＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2； 当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2.综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时取等号． (2)∵(5x 2＋y 2＋z 2)－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．反思与感悟 比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负． 作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论．(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小． 作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论．(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断． 跟踪训练3 设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b ba ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b，当a ＞b ＞0时，ab ＞1，a －b ＞0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， 当b ＞a ＞0时，0＜ab ＜1，a －b ＜0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a＞1， 又∵a a b b ＞0，a b b a ＞0，∴a a b b ＞a b b a .1．下面表示“a 与b 的差是非负数”的不等关系的是( ) A ．a －b >0 B ．a －b <0 C ．a －b ≥0 D ．a －b ≤0答案 C2．某隧道入口竖立着“限高4.5m ”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h 满足关系为( ) A ．h <4.5 B ．h >4.5 C ．h ≤4.5 D ．h ≥4.5答案 C3．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x 人，瓦工y 人，则工人满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y ＜200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200 D ．5x ＋4y ≤200答案 D解析 据题意知，500x ＋400y ≤20000，即5x ＋4y ≤200，故选D. 4．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．与x 有关答案 A解析 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0.∴M ＞N .5．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12.1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．。
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案
第三章 不等式 3.1.1 不等关系教学目标 1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系；教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学过程导入新课日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.则当天的气温t 应该满足： 2：对于数轴上任意不同的两点A 、B ，若点A 在点B 的左边，则x a x b .3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.则这个数x 可表示为 .4.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.可以表示为 推进新课实例5:当我们在路上看到这个路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 满足实例6:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%. 可以表示为 ［合作探究］1、2、3、4、及实例5、实例6的答案［过程引导］一、 什么是不等式呢?用不等号“≠，>，<，≥ ，≤ ”表示不等关系的式子叫不等式. 如：-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a +2≥0;3≠4.问题1： 设点A 与平面α的距离为d, B 为平面α上的任意一点.用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系借助图形来表示不等量关系,过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |.问题2： 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 答案：表示为)2.01.05.28(⨯--x x≥20或者表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20. 问题3： 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?解 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x反馈练习1.若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?2.锐角 ABC 中，B=2A,为了求A 的范围，应该怎样列出相应的不等式（组）？3.某种植物适宜生长在温度为1820oo CC 的山区。
高中数学必修五北师大版 不等关系与不等式 学案
第三章 不等式 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a ____b ； 如果a －b 等于____，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a ____b ，反之也成立． (2)符号表示a －b >0⇔a ____b ； a －b ＝0⇔a ____b ； a －b <0⇔a ____b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b ____a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a ____c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c ____b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____nb .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式答案知识梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a<b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.]4．C [∵1e<x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0.∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b.c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)，又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.。
高二数学北师大版必修5教学教案3-1-1不等关系Word版含解析
教学设计小组合作探究请学生思考并回答以下问题：问题一：不等关系如何表示？ （引出问题二）问题二：什么是不等式呢？问题三：2≥2，这样写正确吗？（“≥“的含义是什么？）这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a ≥b 表示a ＞b 或a=b ，同样a ≤b 即为a ＜b 或a=b 。
注：1.表示不等关系的语言，如：不超过，至多，不少于等等，以及它们对应的数学符号语言；2.不等关系与不等式的联系与区别：不等关系强调的是两个量之间的关系；而不等式则是表示两者的不等关系，即不等关系是通过不等式来体现。
学生思考并回答：用不等式表示；用不等号连接两个量或式子（以表示它们之间的不等关系）所得的式子，叫做不等式．不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．通过具体情境，了解不等式（组）的实际背景典型例题例1：路边常见的40Km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不小于40Km/h ，用不等式表示题中的不等关系为：______________ 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%5.2，蛋白质的含量p 应不少于%3.2，用不等式可以表示为：_______________变式训练：某钢厂要把长度为40000m 的钢管截成500m 和600m 两种，按照生产要求，600m 钢管的数 量不能超过500m 钢管的3倍，请写出满足上述 所有不等关系的不等式。
学生板演 40≥v ⎩⎨⎧≥≥%3.2p %5.2f 其他学生做本上，教师检查 审清题意，找准题目中的不等关系，同时如何将题目中表示不等关系的字眼转化为数学符号语言。
典型例题例2.某用户计划购买单价分别为60元。
70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元。
根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？学生先做，教师引导板演进一步掌握用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系时的方法。
18版高中数学不等式1.1不等关系学案北师大版5180223474
1．1 不等关系学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，发展符号化能力．知识点一不等关系思考1 限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？梳理常见不等关系的表示方法：(1)a大于b a____b；(2)a小于b a____b；(3)a不超过b a____b；(4)a不小于b a____b.知识点二不等关系在数学意义上的体现思考函数f(x)，g(x)的图像如图，试用不等式表示f(x)，g(x)的不等关系．梳理在数学意义上，不等关系可以体现：(1)常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2)变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；(3)函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)，即f(x)____g(x)；(4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元，即60x＋30y____2 000.类型一用不等式表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 根据《道路交通安全法》规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.某驾驶员血液中酒精含量为0.3 mg/mL.以每小时25%的速度减少，设他应至少经过x 小时才能开车，试用不等式表示x 应满足的关系．类型二 用不等式组表示不等关系例2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．请写出满足上述所有不等关系的不等式． 反思与感悟 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．跟踪训练2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( )A ．v ≤120或d ≥10B.⎩⎪⎨⎪⎧ v ≤120d ≥10C ．v ≤120D ．d ≥102．某种植物适宜生长的温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100 m ，气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为____________________．(不求解)3．如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍．写出L 与W 的关系．1．现实生活中存在着大量不等关系，用不等式表达这些关系时要准确理解题意，严格区分数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．2．建立不等关系模型时，首先要找到并设好基本量，再用这些基本量去表示其他量．关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，并注意变量的实际意义．答案精析问题导学知识点一思考 v ≤40.梳理 (1)＞ (2)< (3)≤ (4)≥知识点二思考 0≤x <a 时，f (x )<g (x )；x ≥a 时，f (x )≥g (x )．梳理 (3)> (4)≤题型探究例1 解 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.跟踪训练1 解 由题意知，血液中的酒精每小时减少25%，则一小时后剩余0.3×(1－25%)，两小时后剩余[0.3×(1－25%)]×(1－25%)＝0.3×(1－25%)2，∴x 小时剩余0.3×(1－25%)x .依题意有0.3×(1－25%)x ≤0.09，即为x 应满足的关系．例2 解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧ 500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.跟踪训练2 解 设软件数为x ，磁盘数为y ，据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ＋，y ≥2且y ∈N ＋.当堂训练 1．B 2.18≤22－0.55x 100≤20 3．解 由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ L ＋10W ＋10 ＝350，L ＞4W ，L ＞0，W ＞0.。
高中数学 第三章 不等式教案 北师大版必修5
第三章不等式§1不等关系1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解现实世界和日常生活中的不等关系．了解不等式(组)的实际背景，能用作差法比较大小．2．过程与方法通过一系列具体问题情境，使学生感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．3．情感、态度与价值观让学生体会数学源于生活，唤起学生的学习热情．●重点难点重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．难点：用不等式(组)正确表示出不等关系．(教师用书独具)●教学建议课本例1～例4让学生感受到不等关系反映在日常生活的方方面面．这几个例题分别把不等关系体现在常量与常量之间、变量与常量之间、函数与函数之间、一组变量之间．从中体会不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，了解不等关系、不等式（组）的实际背景及作差法比较大小⇒通过例1及变式训练，使学生掌握如何用等式（组）表示不等关系⇒通过例2及变式训练，使学生掌握比较两个数（式）的大小问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握实际生活中的不等关系的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第47页)【问题导思】某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.如何用不等式表示对脂肪含量的规定？如何用不等式表示酸奶质量的规定？【提示】 f ≥2.5%，⎩⎪⎨⎪⎧f ≥2.5%p ≥2.3%【问题导思】1．如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d ，ac >bd 成立吗？ 【提示】 a ＋c >b ＋d 成立，ac >bd 不一定成立． 2．如果a >b ，那么a 2>b 2成立吗？ 【提示】 不一定成立．(1)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d ；(2)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ； (3)如果a ＞b ＞0，那么a n＞b n(n ∈N ＋)；(4)如果a ＞b ＞0n ∈N ＋)．(对应学生用书第41页)某种杂志原以每本2.5 2 000本．若把提价后杂志的单价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？【思路探究】 解答本题需首先分析题中的不等关系，利用销售收入＝销售量×单价表示出销售总收入，最后列出不等式． 【自主解答】 ∵提价后杂志的定价为x 元， ∴销量减少x －2.50.1×0.2＝2x －5(万本)，∴销售总收入为[8－(2x －5)]·x ＝(13－2x )·x (万元)． 则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为： (13－2x )·x ≥20.1．解决本题的关键是由“若单价每提高0.1元，则销售量就可能相应减少2 000本．”得到单价为x 元时的销售总收入的表达式． 2．用不等式表示不等关系时，要注意以下两点：一是要恰当地进行语言转换，即自然语言、符号语言、图形语言之间的转换；二是要准确地使用不等号，同时要注意实际情境对表示各量的字母取值范围的限制．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再加入m 克糖(m >0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式．【答案】 a ＋m b ＋m >a b.已知x ∈R ，比较x 3－1与 【思路探究】 利用作差法比较两个数的大小．【自主解答】 (x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>0，∴当x >1时，(x －1)(x 2－x ＋1)>0， 即x 3－1>2x 2－2x ；当x ＝1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＝0， 即x 3－1＝2x 2－2x ；当x <1时，(x －1)(x 2－x ＋1)<0， 即x 3－1<2x 2－2x .1．本题解答的关键是对x 的讨论．2．数(式)大小的比较问题常用“作差法”，其过程可分三步：①作差；②变形；③判断差的符号．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等，变形的目的是有利于判断符号．已知a 、b 为正实数，试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． 【解】 (a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba－a ) ＝a －b b ＋b －a a ＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.∵a 、b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0.于是有（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴a b ＋ba≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号．7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【思路探究】 解答本题可先建立函数模型，然后用作差法加以比较即可．【自主解答】 设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ， y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x (1－n5)， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．1．解决实际问题的关键是理解好每一个名词的含义，留意每个数字出现的意义，注意实际意义对变量取值范围的限制．2．解决决策优化型的应用问题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后确定在各种决策下该量分别是多少，再用作差法(或作商法)比较它们的大小即可．将若干只鸡放入若干个笼，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放．设现有笼x 个，试列出x 满足的不等关系，并说明至少有多少只鸡多少个笼，至多有多少只鸡多少个笼．【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧5（x －2）＋1≤4x ＋1，4x ＋1≤5（x －1），x ∈N ＋，解得6≤x ≤10，x ∈N ＋.所以，至少6个笼，25只鸡；至多10个笼， 41只鸡．(对应学生用书第49页)错用不等式的性质致误已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab的取值范围． 【错解】 ∵1<a <6，3<b <4， 两式相减－2<a －b <2， 两式相除13<a b <32.【错因分析】 错用了不等式的性质，同向不等式不能相减或相除，应将其转化成不等式相加和相乘运算． 【防范措施】 熟记不等式的性质可避免出现类似的错误． 【正解】 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3.即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63.即14<a b<2.∴a －b ，a b 的取值范围分别是(－3，3)，(14，2)．1．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)； (3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式． 2．比较两个数(式)的大小可以用作差法，也可用作商法．3．不等式的性质是不等式的基础，也是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化，才能正确地进行运用．(对应学生用书第49页)1．限速40 km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，写成不等式就是( ) A ．v <40 B ．v ≤40 C ．v >40 D ．v ≥40【解析】 不超过即小于或等于． 【答案】 B2．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax【解析】 ∵x <a ，x <0，a <0，∴x 2>ax ，ax >a 2. ∴x 2>ax >a 2. 【答案】 B3．已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba成立的条件是________． 【解析】b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ）， ∵a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0即a >b .【答案】 a >b4．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式．【解】 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根． 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N .(对应学生用书第105页)一、选择题1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为( ) A ．T <40 B ．T >40 C ．T ≤40 D ．T ≥40【解析】 “限重40吨”即为T ≤40. 【答案】 C2．(2013·临沂高二检测)设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．b ＋a <0 D ．a 2－b 2>0【解析】 利用赋值法，令a ＝1，b ＝0，排除A 、B 、C. 【答案】 D3．(2013·芜湖高二检测)对下面的推理过程，判断正确的是( ) 错误!)③,⇒)ac >bd ④,⇒)错误!>错误!. A ．仅③正确 B ．仅③④正确 C ．仅①②正确 D ．①②③④均错【解析】 ①②④均不满足不等式的乘法法则；根据不等式的传递性知③正确，故选A. 【答案】 A 4．若a <b <c ，则1c －b ＋1a －c的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 【解析】1c －b ＋1a －c ＝a －c ＋c －b （c －b ）（a －c ）＝a －b （c －b ）（a －c ）. ∵a <b <c ，∴c －b >0，a －c <0，a －b <0，∴a －b（c －b ）（a －c ）>0.【答案】 A5．(2013·驻马店高二检测)若m ≠2且n ≠－1，则M ＝m 2＋n 2－4m ＋2n 的值与－5的大小关系为( ) A ．M ＞－5 B ．M ＜－5 C ．M ＝－5 D ．不确定 【解析】 ∵m ≠2，n ≠－1， ∴M －(－5)＝(m －2)2＋(n ＋1)2＞0， ∴M ＞－5. 【答案】 A 二、填空题6．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则ab －a 2________b 2(填“<”、“>”、“＝”)．【解析】 ∵ab －a 2－b 2＝－(a －b 2)2－34b 2<0，∴ab －a 2<b 2. 【答案】 <7．如图3－1－1，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，上述不等关系可用W 表示为________．图3－1－1【解析】 仓库的长L ＝350W ＋10－10， ∴350W ＋10－10＞4W . 【答案】350W ＋10－10＞4W 8．(2013·威海高二检测)对于任意实数a 、b 、c 、d ，有以下说法：①若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc ；②若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；③若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；④若a ＞b ，则1a ＜1b；⑤若a ＞b ＞0，c ＞d ，则ac ＞bd .其中正确的序号为________．【解析】 ①中当c ＜0时不成立，①错；②中c ＝0时不成立，②错；③正确；④中a ＞0，b ＜0时不成立，④错；⑤中若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝bd ，⑤错．【答案】 ③ 三、解答题9．一房地产公司有50套公寓出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，欲增加月租金，但每增加50元，就会有一套租不出去，已知租出去的公寓每月需花100元的维修费．若将房租定为x 元，怎样用不等式表示所获得的月收入不低于50 000元？【解】 若房租定为x (x ≥1 000)元， 则租出公寓的套数为⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050，月收入为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050x －100元，则月收入不低于50 000元可表示为不等式⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1 00050x －100≥50 000. 10．若x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【解】 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y )．∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0， ∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a 元，二级小麦每千克b 元(b <a )．现有一级小麦m 千克，二级小麦n 千克，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？【解】 分级收购时，粮站支出(ma ＋nb )元， 按平均价格收购时，粮站支出（m ＋n ）（a ＋b ）2元．因为(ma ＋nb )－（m ＋n ）（a ＋b ）2＝12(a －b )(m －n )， 且b <a ，所以当m >n 时，粮站占便宜； 当m ＝n 时，一样； 当m <n 时，粮站吃亏．(教师用书独具)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．【思路探究】 用f (－1)，f (1)表示f (－2)，再利用f (－1)，f (1)的范围求f (－2)的范围． 【自主解答】 法一 由f (x )＝ax 2＋bx 得f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ，设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.∴f (－2)的取值范围为[5，10]．法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b f （1）＝a ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 即5≤f (－2)≤10.∴f (－2)的取值范围是[5，10]．1．本例中如果由1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4得到a 、b 的范围，再求f (－2)的范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a 、b 的范围与已知条件不是等价关系．2．不等式的性质是不等式变形的基础．是证明不等式的主要依据，应熟练掌握．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b的取值范围． 【解】 ∵15<b <36， ∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15， ∴－24<a －b <45. 又136<1b <115， ∴1236<a b <6015， ∴13<a b<4.§2一元二次不等式2．1 一元二次不等式的解法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系；会解一元二次不等式．2．过程与方法从二次函数、一元二次方程着手，让学生探索三者的联系，教师启发引导找到解一元二次不等式的方法．3．情感、态度与价值观创设问题，激发学生观察、分析、探索的学习激情，强化学生参与意识及主体作用．●重点难点重点：一元二次不等式的解法．难点：三个“二次”关系的理解．(教师用书独具)●教学建议教学时不妨从考察二次函数y＝x2－2x－3与一元二次方程x2－2x－3＝0的关系出发，借助二次函数y＝x2－2x－3图像的直观性，引导学生观察二次函数y＝x2－2x－3图像上任意一点P(x，y)在图像上移动时，由点P横坐标x的变化引起点P的纵坐标y的变化情况，获得对一元二次不等式x2－2x－3<0及x2－2x－3>0的解集的感性认识．进一步让学生体会二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这三者的联系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，让学生认识一元二次不等式模型，理解“三个二次”的关系⇒通过例1及变式训练，让学生会解一元二次不等式⇒通过例2及变式训练，使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握三个二次关系的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第50页)【问题导思】对于两个不等式2x 2＋11x －6>0和10x 2＋9x －2≤0这两个不等式有哪些共同特点？x ＝12是它们的一个公共解吗？【提示】 共同特点：(1)含有一个未知数x .(2)未知数x 的最高次数为2.x ＝12不是2x 2＋11x －6>0的解，是10x 2＋9x －2≤0的解．二次不等式之间的关系 【问题导思】图3－2－1观察二次函数y＝x2－2x－3的图像，当x取何值时y＝0？y>0？y<0?【提示】当x＝－1或x＝3时，y＝0；当x>3或x<－1时，y>0；当－1<x<3时，y<0.(对应学生用书第51页)解下列不等式：(1)3x2＋5x－2≤0；(2)－x2＋2x－3＞0；(3)2x＞2－3x－3x2.【思路探究】解一元二次不等式应先化为标准形式，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图像写出解集．【自主解答】 (1)方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2，0)和(13，0)(如图所示)．观察图像可知，不等式的解集为 {x |－2≤x ≤13}．(2)∵－x 2＋2x －3＞0，∴x 2－2x ＋3＜0. ∵Δ＝4－12＝－8＜0， ∴方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．∴函数y ＝x 2－2x ＋3的图像是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图)， ∴原不等式的解集为空集．(3)原不等式移项整理，得3x 2＋5x －2＞0.∵Δ＝49＞0，∴方程3x 2＋5x －2＝0的两解为x 1＝－2，x 2＝13.然后，利用(1)中的函数图像可得不等式的解集为{x |x ＜－2，或x ＞13}．1．解一元二次不等式时，当二次项系数为负时，通常化为二次项系数为正的情形．2．在具体求解一个标准形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像，这种方法体现了“化归”的数学思想方法的运用，要注意体会．解下列不等式： (1)x 2－5x ＞14； (2)－7x 2＋7x ＞6.【解】 (1)方程x 2－5x －14＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝7，函数y ＝x 2－5x －14的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2，0)和(7，0)，如图所示，由图像知x 2－5x ＞14的解集为： {x |x ＜－2或x ＞7}．(2)原不等式可化为－7x 2＋7x －6＞0， 即7x 2－7x ＋6＜0.∵方程7x 2－7x ＋6＝0的判别式， Δ＝(－7)2－7×4×6＜0，∴函数y ＝7x 2－7x ＋6的图像与x 轴无交点，如图所示，由图知原不等式的解集为∅.解关于x 的不等式ax 2【思路探究】 对二次项系数a 分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论，并且对a >0这种情况还需分Δ>0，Δ≤0讨论． 【自主解答】 (1)当a ＝1时，(x ＋1)2<0，解集为∅； (2)当a ＝0时，不等式的解集为{x |x <－12}；(3)当a >0时，Δ＝4－4a ， ①Δ>0即0<a <1时，不等式的解集为{x |－1－1－a a <x <－1＋1－aa}；②Δ≤0即a ≥ 1时，不等式的解集为∅. (4)当a <0时，Δ＝4－4a >0，不等式的解集为{x |x <－1＋1－a a 或x >－1－1－a a}．1．熟练掌握一元二次不等式的解法是解决不等式问题的基础，所以应当能够熟练记住形如ax 2＋bx ＋c >0(<0)(a >0)的不等式在各种情况下解集的形式．2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.【解】 原不等式变形为(x －2a )(x ＋a )<0. (1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为 {x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为 {x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.已知ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－3<x <2}，试求a ，c 的值，并解不等式－cx 2＋2x －a >0.【思路探究】 先根据二次不等式与二次方程的关系求出a ，c 的值，再求解对应的一元二次不等式． 【自主解答】 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－13<x <12}，知a <0且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根为－13，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，∴a ＝－12，c ＝2.此时－cx 2＋2x －a >0可化为x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.∴所求不等式的解集为{x |－2<x <3}．1．一元二次不等式的解集的区间端点，是一元二次不等式对应的二次函数的零点，是一元二次方程的根．借助三个二次的关系可实现问题的相互转化．2．这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，巧妙运用根与系数的关系，将所解不等式的“多个参数”化为“一个参数”，从而求解．已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为2，－1，求不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集． 【解】 由已知得2，－1为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝1，c a ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a .由ax 2＋bx ＋c ＞0可得ax 2－ax －2a ＞0.当a ＞0时，x 2－x －2＞0，解得x ＞2，或x ＜－1. 当a ＜0时，x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2.因此，当a ＞0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)， 当a ＜0时，不等式的解集为(－1，2)．(对应学生用书第52页)解不等式x 2>x .【错解】 由x 2>x 两边同时约去x ，得x >1，所以原不等式的解集为{x |x >1}．【错因分析】 本题因不等式两边同时约去x 时，未考虑x 的取值(正负性)，机械应用不等式性质而出现失解现象，因此导致求解错误．【防范措施】 1.不等式两边同除以数(式)时一定考虑正负号情况．2．解一元二次不等式时，应将一元二次不等式化成标准形式，再由方程的根得出解集． 【正解】 法一 原不等式可化为x 2－x >0， 即x (x －1)>0.∵方程x (x －1)＝0的两根为x 1＝0，x 2＝1， ∴不等式x 2－x >0的解集为{x |x <0，或x >1}． 法二 原不等式可化为x (x －1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －1<0. 解得x >1或x <0，∴原不等式的解集为{x |x <0，或x >1}．1．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x 轴交点的横坐标，对应不等式的解集，就是使函数图像在x 轴上方或下方的部分所对应的x 的集合，而方程的根就是不等式解集区间的端点．2．解含参数不等式时，一般需对参数进行讨论，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ的符号”；③根的大小，但未必在这三个方面都进行讨论，是否讨论要根据运算需要而定．(对应学生用书第53页)1．不等式①x 2＞0；②－x 2－x ＜5；③ax 2＜2(a 是常数)；④x 2＋2x －y 2＜0.其中是一元二次不等式的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【解析】 由一元二次不等式的定义知①、②是． 【答案】 C2．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【解析】 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1＞0得(2x ＋1)(x －1)＞0，解得x ＞1或x ＜－12，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．【答案】 D3．若关于x 的不等式mx 2＋8mx ＋21＜0的解集为{x |－7＜x ＜－1}，则实数m 的值为________． 【解析】 由题意知，x 1＝－7，x 2＝－1是方程mx 2＋8mx ＋21＝0的两根， 则(－7)×(－1)＝21m，∴m ＝3.【答案】 34．不等式(a ＋1)x 2＋ax ＋a >0对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 【解】 当a ＋1＝0，即a ＝－1时，原不等式化为－x －1>0，得x <－1，不合题意；当a ＋1≠0时，由题意，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，Δ＝a 2－4a （a ＋1）<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a >0或a <－43，⇒a >0. 故实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(对应学生用书第107页)一、选择题1．不等式5－x2＞4x的解集为( )A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)【解析】不等式可化为x2＋4x－5＜0，y＝x2＋4x－5的开口方向向上，又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.由图像知原不等式的解集为(－5，1)．【答案】A2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )A．{x|－7<x<－5} B．{x|3<x<5}C．{x|－5<x<3} D．{x|－7<x<5}【解析】S＝{x|－5<x<5}，T＝{x|－7<x<3}，∴S∩T＝{x|－5<x<3}．【答案】C3．(2013·西安高二检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|y＝log3(x＋2)}，则∁U(A∩B)＝( ) A．{x|x≤－4或x≥1} B．{x|x<－4或x>1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x≤－2或x≥1}【解析】由题意可得A＝{x|－4<x<1}，B＝{x|x>－2}，所以A∩B＝{x|－2<x<1}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或x≥1}．【答案】D4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )A．(0，2) B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)【解析】由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，∴x2＋x－2<0解得－2<x<1.【答案】B5．(2013·临沂高二检测)f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)＜0，则a的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a ＜－4C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－1＜0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，解得－4＜a ＜0，综上可知：－4＜a ≤0时，在R 上f (x )＜0. 【答案】 D 二、填空题6．{x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝________．【解析】 {x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝{x |－2<x <1}∩Z ＝{－1，0}． 【答案】 {－1，0}7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表；则不等式ax 2＋bx ＋c >0【解析】 法一 二次函数的两个零点是x 1＝－2，x 2＝3，又根据所给数值，函数值随着x 的增大，先减后增，故开口向上，如图所示，故不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |x >3或x <－2}．法二 由表中数据可求得a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，代入原不等式得x 2－x －6>0，所以可解得解集为{x |x >3或x <－2}． 【答案】 {x |>3或x <－2}8．(2013·福州高二检测)若2x 2＋1≤(14)x －2，则函数y ＝2x的值域是________．【解析】 ∵2x 2＋1≤(14)x －2＝2－2x ＋4，∴x 2＋1≤－2x ＋4，即x 2＋2x －3≤0.解得－3≤x ≤1，∴18≤y ≤2，∴函数y ＝2x的值域是[18，2]．【答案】 [18，2]三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x 2－3x －2>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0.【解】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程2x 2－3x －2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为{x |x >2，或x <－12}．(2)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x 2＋x －2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为{x |－23≤x ≤12}．10．解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1>0.【解】 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1)． (1)当Δ>0，即m >1＋52或m <1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的根是x ＝m ±m 2－m －1， 所以不等式的解集是{x |x <m －m 2－m －1或x >m ＋m 2－m －1}； (2)当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；(3)当Δ<0，即1－52<m <1＋52时，不等式的解集为R .11．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c >0.【解】 (1)由题意知，a >0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1.又1·b ＝2a，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c >0， 即(x －2c )(x －2)>0， 当2c >2，即c >1时，不等式的解集为{x |x <2或x >2c }； 当2c ＝2，即c ＝1时， 不等式的解集为{x |x ≠2}； 当2c <2，即c <1时，不等式的解集为{x |x >2或x <2c }． 综上：当c >1时，不等式的解集为{x |x <2或x >2c }； 当c ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}； 当c <1时，不等式的解集为{x |x >2或x <2c }．(教师用书独具)(2013·聊城高二检测)关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围． 【思路探究】 按a 2－1是否为零分类讨论，必要时结合图像解决． 【自主解答】 (1)若a 2－1＝0，即a ＝±1， 当a ＝1时，不等式变为－1<0，解集为R ， 当a ＝－1时，不等式变为2x －1<0， 解集为{x |x <12}，不符合条件，舍去．∴a ＝1时满足条件．(2)若a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝（a －1）2＋4（a 2－1）<0， 解得－35<a <1.综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式解集为R .1．本题易忽视对“a 2－1＝0”的讨论． 2．不等式的恒成立问题需注意：(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像恒在x 轴上方⇔f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像恒在x 轴下方⇔f (x )max <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m <x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1<0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1<0对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2－4m （m －1）<0， 可化为⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3m 2－4m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m <0，或m >43⇒m <0.综上，m 的取值范围为m ≤0.2．2 一元二次不等式的应用(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能会求解方程的存在性问题，会解简单的分式不等式和简单的高次不等式． 2．过程与方法培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力． 3．情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神，同时体会从不同侧面观察同一立场的思想． ●重点难点重点：熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法． 难点：分式不等式及简单高次不等式的解法的理解．(教师用书独具)●教学建议解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种： (1)f （x ）g （x ）>0⇔f (x )g (x )>0；(2)f （x ）g （x ）<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f （x ）g （x ）≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0；(4)f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0. 一元高次不等式f (x )>0用穿针引线法(或数轴穿根法，或根轴法，或区间法)求解，其步骤是： ①将f (x )最高次项的系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或一次因式与二次不可分解的因式的积；③将每一个使一次因式等于0的根标在数轴上，从最大根的右上方依次穿过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④根据曲线显现的f (x )的值的符号，写出不等式的解集．●教学流程创设问题，提出问题：分式不等式与高次不等式如何解？⇒通过引导学生回答所提问题，让学生掌握分式不等式与高次不等式的解法⇒通过例1及互动探究，使学生掌握分式不等式的解法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握简单高次不等式的解法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握一元二次不等式的实际应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第53页)【问题导思】 不等式x ＋2x －3>0①，x ＋2x －3≥0②. 不等式①与(x ＋2)(x －3)>0同解吗？不等式②与(x ＋2)(x －3)≥0同解吗？ 【提示】 同解，不同解． 1.f （x ）g （x ）＞0与f (x )·g (x )＞0同解． 2.f （x ）g （x ）＜0与f (x )·g (x )＜0同解． 3.f （x ）g （x ）≥0与f (x )·g (x )≥0且g (x )≠0同解． 4.f （x ）g （x ）≤0与f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0同解．【问题导思】对于函数f (x )＝x (x －1)(x －2)有几个零点？分别是什么？若x 分别属于下列区间，f (x )的符号怎样？ ①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)． 【提示】 三个，0，1，2.①f (x )<0 ②f (x )>0 ③f (x )<0 ④f (x )>0如果把函数f (x )图像与x 轴的交点形象地看成“针眼”，函数f (x )的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．(对应学生用书第54页)解不等式：(1)2x ＋11－x <0；(2)2x －3≤1.【思路探究】 (1)2x ＋11－x<0等价于哪个整式不等式？(2)x ＋12x －3≤1应如何变形？ 【自主解答】 (1)由2x ＋11－x <0，得x ＋12x －1>0，此不等式等价于(x ＋12)(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴原不等式的解集为{x |x <－12，或x >1}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0. ∴－x ＋42x －3≤0.即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)(x －32)≥0，且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为{x |x <32，或x ≥4}．1．本例(2)易出现把x ＋12x －3≤1直接变形为x ＋1≤2x －3这样的错误．2．解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．将本例(1)变为“>”，(2)改为x ＋1x －2≤2. 【解】 (1)由2x ＋11－x >0得x ＋12x －1<0等价于(x ＋12)(x －1)<0，解得－12<x <1.∴原不等式的解集为{x |－12<x <1}．(2)x ＋1x －2－2≤0即x －5x －2≥0等价于(x －5)(x －2)≥0且x ≠2， 解得x <2或x ≥5，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．解不等式3x 22x －1－x >0.【思路探究】 先把不等式通分化简，再用穿针引线法求解． 【自主解答】 原不等式可改写为3x 2－x （2x －1）2x －1＞0.即x （x ＋1）2x －1＞0，此不等式可转化成x (x ＋1)(2x －1)＞0，函数f (x )＝x (x ＋1)(2x －1)的函数值的符号如图所示．由图可知，不等式x (x ＋1)(2x －1)＞0，即原不等式的解集为{x |－1＜x ＜0，或x ＞12}．高次不等式的解法化成标准型p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0(或<0)．再利用穿针引线法写出解集，穿根的步骤：(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．解不等式x －8x<2.【解】 先化简不等式得x (x 2－2x －8)<0， 分解因式得x (x ＋2)(x －4)<0.如图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，4)．车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．图3－2－2(1)求矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，则AB 的长度应在什么范围内？ 【思路探究】 (1)利用三角形相似表示出AD ，写出面积S 关于x 的函数解析式． (2)将实际问题表示为不等式，解不等式可求． 【自主解答】 (1)根据题意，得△NDC 与△NAM 相似， ∴DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD 20， 解得AD ＝20－23x ，∴矩形ABCD 的面积S 关于x 的函数为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫20－23x x (0＜x ＜30)，即S ＝20x －23x 2(0＜x ＜30)． (2)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即 20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0.解得12≤x ≤18.∴AB 的长度取值范围为[12，18]．1．解答本题的关键在于求出用x 表示AD 的长度，还要注意x 的取值范围． 2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．一服装厂生产某种风衣，月产量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x (元)，假设生产的风衣当月全部售出．试问该厂的月产量为多少时，月获得的利润不少于1 300 元？【解】 设该厂月获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80)． 由题意知y ≥1 300，。
2018年高中数学北师大版必修五课件：第3章 §1-1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式
4.(1)若 1＜α＜3，－4＜β＜2，则 α＋|β|的取
值范围是( )
A．(－3，5)
B．(－3，7)
C．(1，7)
D．(1，5)
(2)设 x，y 为实数，满足 3≤xy2≤8，4≤xy2≤9，则xy43的最大值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
是________．
解析：(1)因为－4＜β＜2，所以 0≤|β|＜4，又 1＜α＜3，所以 1 ＜α＋|β|＜7.故选 C. (2)由 4≤xy2≤9，得 16≤xy24≤81. 又 3≤xy2≤8，
(1)运用不等式的性质判断真假的技巧 ①首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭 想当然随意捏造性质； ②解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注 意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要 简单，便于验证计算．
(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项 ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类 问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意 在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立 的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与 法则．
系是( )
A．P≥Q
B．P≤Q
C．P＞Q
D．P＜Q
解析：选 C.P2＝( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，Q2＝( a＋b)2＝a＋
b.因为 a，b＞0，所以 P2＞Q2.所以 P＞Q.
已知 a＞b＞c，且 a＋b＋c＝0，则 b2－4ac 的值的符号为 ________． 解析：因为 a＋b＋c＝0， 所以 b＝－(a＋c)， 所以 b2＝a2＋c2＋2ac. 所以 b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2. 因为 a＞c，所以(a－c)2＞0. 所以 b2－4ac＞0， 即 b2－4ac 的符号为正． 答案：正
2018年秋新课堂高中数学北师大版必修五学案：第3章 §1 1.1 不等关系+1.2 不等关系与不等式
§1不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式学习目标：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．(难点)3.能用作差法比较大小．(重点)[自主预习·探新知]1．不等式中的数字符号阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”.思考：(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？[提示] v≤40 km/h.(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？[提示] a－b≥0.2．比较大小阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．(1)作差法比较两实数大小(2)①对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b.②传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c.③同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.④同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.⑤乘方法则：若a＞b＞0，则a n＞b n(n∈N＋，且n≥2)．⑥开方法则：若a＞b＞0，则na＞nb(n∈N＋，且n≥2)．⑦同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则1a＜1b.思考：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立吗？[提示] 不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，则ac＜bd.(2)“若a n＞b n，(n∈N＋，且n≥2)，则a＞b”一定成立吗？[提示] 不一定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2.[基础自测]1．判断正误(1)若a＞b，则ac＞bc.()(2)a2一定大于a.()(3)若a＞b，则1a＜1b.()[解析](1)错误，当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc；(2)错误，当0≤a≤1时，a2≤a；(3)错误，反例2＞－1，但12＞－1. [答案] (1)× (2)× (3)×2．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A ．1a ＜1b B ．－a ＜b C ．a 2＜b 2D ．|a |＞|b |A [A 正确，B 、C 、D 可举反例排除，如对B 、C ，设a ＝－9，b ＝1，对D ，设a ＝－1，b ＝2即可．]3．当x ＞2时，x 2与2x 的大小关系为________.【导学号：91022204】[解析] x 2－2x ＝x (x －2)，因为x ＞2，故x (x －2)＞0，即x 2＞2x . [答案] x 2＞2x[合 作 探 究·攻 重 难]产甲最多2 500件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4个A 、2个B ；组装一件乙需要6个A 、8个B .某个月，该厂能用的A 最多有1 4000个，B 最多有12 000个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来．[解] 设甲、乙两种产品产量分别为x 件、y 件，由题意列不等式组如下：⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 500，0≤y ≤1 200，4x ＋6y ≤14 000，2x ＋8y ≤12 000，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 500，x ∈N *，0≤y ≤1 200 ，y ∈N *，2x ＋3y ≤7 000，x ＋4y ≤6 000.[跟踪训练]1．如图3-1-1，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍．写出L 与W 的关系．图3-1-1[解] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(L ＋10)(W ＋10)＝350，L ＞4W ，L ＞0，W ＞0.(1)比较x 6＋1与x 4＋x 2的大小，其中x ∈R ；(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．[解] (1)∵x 6＋1－(x 4＋x 2)＝x 6－x 4－x 2＋1＝x 4(x 2－1)－(x 2－1)＝(x 2－1)(x 4－1)＝(x 2－1)2(x 2＋1)≥0.∴当x ＝±1时，x 6＋1＝x 4＋x 2；当x ≠±1时，x 6＋1＞x 4＋x 2. 综上所述，x 6＋1≥x 4＋x 2，当且仅当x ＝±1时取等号．(2)∵(5x 2＋y 2＋z 2)－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号． [规律方法] 比较大小的方法(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论.(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.作商法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论.(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断.[跟踪训练]2．已知x ＜1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小.【导学号：91022205】[解] (x 3－1)－(2x 2－2x )＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)， ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34＞0，∴当x ＜1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＜0， 即x 3－1＜2x 2－2x .[1．“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0，a ＋b ＞0”成立吗？反之成立吗？[提示] 成立，反之也成立，即若ab ＞0，a ＋b ＞0，则a ＞0，b ＞0. 2．“若a ＞1，b ＞1，则ab ＞1，a ＋b ＞2”成立吗？反之成立吗？ [提示] 成立，但反之不成立，即“若ab ＞1，a ＋b ＞2，则a ＞1，b ＞1”不成立，反例：a ＝4，b ＝12，满足ab ＞1，a ＋b ＞2，但不满足a ＞1，b ＞1.3．如何用a ＋b 和a －b 表示2a －3b? [提示] 设2a －3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即2a －3b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝－3，解得x ＝－12，y ＝52，故2a －3b ＝－12(a ＋b )＋52(a －b )．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． [思路探究] 用f (－1)，f (1)表示f (－2)，再利用f (－1)，f (1)的取值范围求f (－2)的取值范围．[解] 由f (x )＝ax 2＋bx 得f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ， 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围是[5,10]．母题探究：1.(变结论)例3的条件不变，求f (2)的取值范围． [解] 由例3的解答可知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 又f (2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝x (a －b )＋y (a ＋b )，即4a ＋2b ＝(x ＋y )a ＋(y －x )b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4－x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，则4a ＋2b ＝(a －b )＋3(a ＋b )，即f (2)＝f (－1)＋3f (1)，由1≤f (－1)≤2,6≤3f (1)≤12，两式相加得7≤f (－1)＋3f (1)≤14. 即f (2)的取值范围是[7,14]．母题探究：2.(变条件)把例3的条件换为“－π2≤α≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．[解] ∵－π2≤α≤β＜π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4， 将两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2， ∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4， ∴－π2≤α－β2＜π2，已知α＜β，∴α－β2＜0，故－π2≤α－β2＜0. [规律方法] 利用性质求范围问题的基本要求(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等.(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.[提醒]本例中如果由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f(－2)的取值范围，那么得到的结果不是正确答案.这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系.[当堂达标·固双基]1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A．5x＋4y＜200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200C[由题意得500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.]2．已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()【导学号：91022206】A．a＞b＞－b＞－aB．a＞－b＞－a＞bC．a＞－b＞b＞－aD．a＞b＞－a＞－bC[法一：∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＜0，∴a＞0，且|a|＞|b|，∴a＞－b＞b＞－a.法二：设a＝3，b＝－2，则a＞－b＞b＞－a.]3．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－ca>－db，则()A．bc<ad B．bc>adC．ac＞bd D．ac<bdA[∵ab>0，∴在－ca＞－db两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc<ad.]4．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系为________． [解析] M －N ＝x 2－(－x －1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，故M ＞N .[答案] M ＞N5．已知2＜a ＜4,3＜b ＜8，求a －b ，ab 的取值范围.【导学号：91022207】[解] ∵3＜b ＜8，∴－8＜－b ＜－3.又2＜a ＜4， ∴－6＜a －b ＜1.∵3＜b ＜8，∴18＜1b ＜13.又2<a <4，∴14<a b <43.综上，－6<a －b <1，14<a b <43.。
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1．1 不等关系
学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，发展符号化能力．
知识点一不等关系
思考1 限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
梳理常见不等关系的表示方法：
(1)a大于b a____b；
(2)a小于b a____b；
(3)a不超过b a____b；
(4)a不小于b a____b.
知识点二不等关系在数学意义上的体现
思考函数f(x)，g(x)的图像如图，试用不等式表示f(x)，g(x)的不等关系．
梳理在数学意义上，不等关系可以体现：
(1)常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；
(2)变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；
(3)函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)，即f(x)____g(x)；
(4)一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元，即60x＋30y____2 000.
类型一用不等式表示不等关系
例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数
量关系．用不等式表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．
跟踪训练1 根据《道路交通安全法》规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL.某驾驶员血液中酒精含量为0.3 mg/mL.以每小时25%的速度减少，设他应至少经过x 小时才能开车，试用不等式表示x 应满足的关系．
类型二 用不等式组表示不等关系
例2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 的钢管数量不能超过500 mm 钢管的3倍．请写出满足上述所有不等关系的不等式． 反思与感悟 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
跟踪训练2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( )
A ．v ≤120或d ≥10
B.⎩⎪⎨⎪⎧ v ≤120d ≥10
C ．v ≤120
D ．d ≥10
2．某种植物适宜生长的温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100 m ，气温下降0.55℃.现测得山脚下的平均气温为22℃，用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为____________________．(不求解)
3．如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍．写出L 与W 的关系．
1．现实生活中存在着大量不等关系，用不等式表达这些关系时要准确理解题意，严格区分数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．
2．建立不等关系模型时，首先要找到并设好基本量，再用这些基本量去表示其他量．关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，并注意变量的实际意义．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 v ≤40.
梳理 (1)＞ (2)< (3)≤ (4)≥
知识点二
思考 0≤x <a 时，f (x )<g (x )；
x ≥a 时，f (x )≥g (x )．
梳理 (3)> (4)≤
题型探究
例1 解 设杂志社的定价为x 元，
则销售的总收入为⎝ ⎛⎭
⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.
跟踪训练1 解 由题意知，血液中的酒精每小时减少25%，
则一小时后剩余0.3×(1－25%)，
两小时后剩余[0.3×(1－25%)]×(1－25%)＝0.3×(1－25%)2，
∴x 小时剩余0.3×(1－25%)x .
依题意有0.3×(1－25%)x ≤0.09，即为x 应满足的关系．
例2 解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：
(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm ；
(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负．
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧ 500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.
跟踪训练2 解 设软件数为x ，磁盘数为y ，据题意可得
⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ＋，
y ≥2且y ∈N ＋.
当堂训练 1．B 2.18≤22－0.55x 100
≤20 3．解 由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ L ＋10
W ＋10 ＝350，L ＞4W ，
L ＞0，W ＞0.。