数列练习题(全面)
数列专题 (优秀经典练习题及答案详解).
，已知 S n 求 an ，应分n 1 时a1
S1
；
n 2时， an = Sn Sn1
两步，最后考虑 a1 是否满足后面的an .
4.①在等差数列{an}中，已知 a1，d，m，n，则 d＝ann－ －a11＝ann－－mam(n>1，m≠n)， 从而有 an＝am＋(n－m)d. ②若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
①等差数列 an a1 (n 1)d ②等比数列 an a1qn1
2.前n项和公式：
①等差数列：
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列： Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
3. an 与 Sn 的关系：
Sn
与
an
的关系：an
S1 Sn
(n Sn1
1) (n 1)
故选 A
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S9 ＝72，则 a2 ＋a4 ＋a9＝ ________. 7.解析：∵{an}是等差数列，由 S9＝72，得 S9＝9a5，a5＝8， ∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.
8.已知数列的通项公式 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝________.
A. 22018 1
B. 32018 6
C.
1 2
2018
7 2
D.
1 3
2018
10 3
6.解析 A：由题可知：当 n 1 时,3S1 2a1 31 ,所以 a1 3 ,
当 n 2 时,
① 3Sn 2an 3n
小学数学《数列规律》练习题(含答案)
小学数学《数列规律》练习题(含答案)2）1，3，6，10，（），21，28，36，（）观察相邻两项的差，发现第1项到第2项差为2，第2项到第3项差为3，第3项到第4项差为4，以此类推，可以得出这是一个等差数列。
所以括号中应填15，45，即10+5=15，36+9=45.3）2，1，3，4，7，（），18，29，47观察数列，发现第1项与第2项之间差为1，第2项与第3项之间差为2，第3项与第4项之间差为1，第4项与第5项之间差为3，以此类推，可以发现这个数列的规律是：奇数项与前一项差为1，偶数项与前一项差为项数。
所以括号中应填11，38，即7+4=11，29+9=38.4）1，3，9，27，（），243观察数列，发现每一项都是前一项乘以3得到的。
所以括号中应填81，即27*3=81.5）1，8，27，64，125，（），343观察数列，发现每一项都是前一项的立方加1得到的。
所以括号中应填216，即125的立方加1等于216.6）1，2，6，24，120，（），5040观察数列，发现每一项都是前一项乘以项数得到的。
所以括号中应填720，即120*6=720.7）2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）观察数列，发现前两项是倒序排列的，第3项是前两项的平方，第4项是前三项中除去最小值和最大值的数的乘积，第5项是前四项中除去最小值和最大值的数的和，以此类推。
所以括号中应填81，即27*3=81.8）1，1，1，3，5，9，17，（）观察数列，发现前三项都是1，从第4项开始，每一项都是前两项之和。
所以括号中应填33，即17+16=33.可以猜想这个数列的规律为：每两项为一组，前一项是奇数，后一项是偶数，每组中的两个数分别是该组中的最方数和最小立方数，即第1组为1和2，第2组为1和4，第3组为3和8，第4组为4和27，因此，括号中应填5和125，即5是第5组中的最方数，125是第5组中的最小立方数。
另一种方法是观察相邻两项的差，可以发现，这个数列的规律为：从第3项开始，每一项都是前面两项的和，即：4=1+3，3=4-1，6=3+3，9=6+3，8=9-1，27=8+19，10=27-17，因此，括号中应填17.这个数列即不是等差数列，也不是等比数列，但是可以发现，从第三项开始每一项都等于前面两项的和，即：4=1+3，3=4-1，6=3+3，9=6+3，8=9-1，27=8+19，10=27-17，因此，括号中应填17.此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍，即：3=1×3，9=3×3，27=9×3，也就是说相邻两项之间的商相等．因此，括号中应填81，即81=27×3，代入后，243也符合规律，即243＝81×3．通过观察可以发现：1=1×1×1，8=2×2×2，27=3×3×3，64=4×4×4，125=5×5×5，343=7×7×7，根据这个规律，括号中应填：6×6×6=216.这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积，因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6.可以猜想这个数列的规律为：每两项为一组，前一项是奇数，后一项是偶数，每组中的两个数分别是该组中的最方数和最小立方数，即第1组为1和2，第2组为1和4，第3组为3和8，第4组为4和27，因此，括号中应填5和125，即5是第5组中的最方数，125是第5组中的最小立方数。
数列(一)(练习题)
数列的基础练习题一、数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是 （ ）A. 数列1，3，5，7可表示为{1,3,5,7}B. 数列1，0，-1，-2与数列-2，-1， 0， 1是相同的数列C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N *的函数3、已知数列的通项公式为2815n a n n =−+，则3（ ） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项C. 只是数列{}n a 中的第6项D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 5、已知数列1,3,5,7,,21,,n −则35是它的 （ ） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知130n n a a +−−=，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列二、等差数列题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1−n n a a 在直03=−−y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=−=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=−，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +−=−=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．218、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q −−+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2−的前n 项和为 （ ）A. ()4321−n nB. ()7321−n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++−−n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。
数列的概念练习题(有答案)
一、数列的概念选择题1．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．162．在数列{}n a 中，11a =，11n na a n +=++，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．504．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．1252435．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是A ．21n n n a a a ++=+B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++=D ．12398100100S S S S S ++++=-6．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 7．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+8．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．2259．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ）A ．8972a a a +<B ．91082a a a +>C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+10．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a11．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-12．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （ ） A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列13．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．014．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202215．已知数列{}n a 满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025216．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．017．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个18．下列命题中错误的是（ ） A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列 19．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．620．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．1560二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =23．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6524．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦25．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值27．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =28．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =29．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 30．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列31．下列命题正确的是（ ）A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111,,a b c可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列32．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列33．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+34．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，所以211123a ==+，31131723a ==+，411711527a ==+，51115131215a ==+ 故选：C 2．D解析：D 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，并利用裂项相消法求出n S ，求出n S 的取值范围，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】11n n a a n +=++，11n n a a n +∴-=+且11a =，由累加法可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=，()122211n a n n n n ∴==-++，22222222222311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于n S m <对一切正整数n 恒成立，2m ∴≥，因此，实数m 的取值范围是[)2,+∞.故选：D. 【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．4．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.5．C解析：C 【分析】21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进而D 正确. 【详解】已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正确；24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -故D 正确. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.6．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--． 故选C ． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．8．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．9．C解析：C 【分析】由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.10．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n a n n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．D解析：D【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++， 由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列， 故选：D13．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .14．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.15．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161(1)151222⨯+=， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.16．A解析：A 【分析】根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A17．B解析：B 【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．18．C解析：C 【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.19．A解析：A 【分析】根据递推公式推导出()4n n a a n N *+=∈，且有12341a a a a=，再利用数列的周期性可计算出2018T 的值.【详解】12a =，()*111++=∈-nn n a a n N a ，212312a +∴==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，()4n n a a n N *+∴=∈，且()12341123123a a a a ⎛⎫=⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，201845042=⨯+，因此，()5042018450421211236T T a a ⨯+==⨯=⨯⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推公式的应用，涉及数列周期性的应用，考查计算能力，属于中等题.20．C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ， 设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+， 所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.二、多选题 21．BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.22．ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．23．ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555.故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.24．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭1115()n F F n n -+=++， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+， 所以1n n b b +=-，所以n b ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭以510-32-为公比的等比数列，所以1n n b -+， 所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．25．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.26．AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；27．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.28．BCD 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，，所以，故A 错误； 所以，所以，故B 正确； 因为， 所以当解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确； 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈， 所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.29．BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.30．AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由解析：AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.31．BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C 选项：时，是等差数列，而a = 1，解析：BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；C 选项：1a b c ===时，1111a b c===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.32．AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因解析：AD 【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项. 【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d -<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确， 1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n 不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确，故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.33．ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.34．AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】 解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ， ，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.35．CD 【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案； 【详解】 ，，设，则点在抛物线上， 抛物线的开口向下，对称轴为， 且为的最大值，解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案； 【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
经典等差数列练习题（含答案）
经典等差数列练习题（含答案）等差数列一、选择题：1.2005是数列7,13,19,25,31, ,中的第（）项.A.332B.333C.334D.3352.已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项3.已知等差数列的通项公式为a n3na,a为常数，则公差d=（）4.首项为24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A.d 8 8D.8B.d3C. d3 d33 3 3（）A．第22项B．第21项C．第20项D．第19项6. 已知数列a，-15，b，c，45 是等差数列，则a+b+c 的值是( )A．-5 B ．0 C ．5 D ．10( ) A．45 B ．48 C ．52 D ．558.已知等差数列的首项a1和公差d是方程x2-2x-3=0 的两根，且知d＞a1，则这个数列的第30项是( ）A．86 B．85 C．84D．83()A．3B．2C．1D．-110、若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y 和x，b1，b2，b3，y 各成等差数列，那么a1x()(A) 3(B) 4(C) 2 (D)值不确定y b3 4 3 3二填空题1．等差数列a n中,a29,a533,则a n的公差为______________。
2．数列{a n}是等差数列，a47 ，则s7_________3.等差数列a n中，a3a524，a23，则a621.4．在等差数列{a n}中，若a4a6a8a10 a12 120，则2a10a12 .5.在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是6.如果等差数列a n的第5项为5，第10项为5，则此数列的第1个负数项是第项.7.已知{a n}是等差数列，且a4a7a1057,a4a5a6a14 77,若ak13,则k=8．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则tan A tan C3tan A tanC.三、解答题：2 22 21.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列的概念练习题(有答案)
一、数列的概念选择题1．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π2．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．37323．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．504．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（ ）A ．135B ．141C ．149D ．1556．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯B ．20191010⨯C ．20202020⨯D ．20192019⨯7．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+8．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞B ．(),2-∞C ．(),1-∞D ．(),0-∞9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ）A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 10．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．16011．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．17212．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．14013．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24B ．26C ．28D ．3014．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．17615．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．016．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202217．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88218．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-19．下列命题中错误的是（ ） A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列20．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足()111,10,{1,01n n n n na a a m m a a a +->=>=<≤ ，则下列结论错误的是（ ） A ．若34a =，则m 可以取3个不同的数； B．若m =，则数列{}n a 是周期为3的数列；C ．存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；D ．对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．二、多选题21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．1055a =B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=22．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--23．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4 B ．－2C ．0D ．224．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．225．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >26．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >27．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >D ．数列{}na 也是等差数列28．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥29．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =30．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值31．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <32．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列33．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（ ）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）.34．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+35．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.2．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=，()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．4．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．5．D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()20201201912019123 (2019201910102)a a +-=++++==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.7．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.9．D解析：D 【分析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列， 11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由累加法求出233n a n n =+-，所以331n a n n n，设33()1f n n n=+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到na n的最小值. 【详解】解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-所以331n a n nn设33()1f n n n=+-，由对勾函数的性质可知， ()f n 在(上单调递减，在)+∞上单调递减，又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662a a ===，所以n a n的最小值为62162a =.故选：C. 【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.12．B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B13．B解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.14．B解析：B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解.【详解】 由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.15．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=， 所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .16．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.17．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C18．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.19．C解析：C 【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.20．C解析：C 【解析】试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =<≤时，由34a =得54m =； 2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .B:234111,11,1,m a a a =>∴====> 所以3T =，正确．C ：命题较难证明，先考察命题D ．D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．二、多选题 21．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.22．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC23．AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.24．ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.25．ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.26．ABD 【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.27．AB 【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】依题意，等差数列中，即， .对于A 选项，，所以A 选项正确.对于C 选项，，，所以，解析：AB【分析】根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，1149249,2a d a d =-=-. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，1492a d =-，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭，令0n a ≥得51510,22n n -≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列{}na 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误. 故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.28．AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB 正确，C 错误；因为，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=， 又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.29．BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A 错误；所以，所以，故B 正确；因为，所以当解析：BCD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+， 所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确.故选：BCD.30．BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；而C 选项，，即，可得，解析：BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.31．AC【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由，可得，令，，所以是奇函数，且在上单调递减，所以，所以当数列为等差数列时，；解析：AC【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 32．AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断【详解】解：当时，，当时，，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因解析：AD【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题33．AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中（为常数，），不符合从第二项起解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．34．ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.35．ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 解析：ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。
数列练习题及答案(通用)
必修5第二章《数列》 练习题一、选择题1．数列1，3，6，10，的一个通项公式是：（ ）A. 12+-=n n a nB.)1(21-=n n a nC.)1(21+=n n a nD.)1)(1(21+-=n n n a n2．若三个连续整数和为48，则紧随它们后面的三个连续整数的和是 （ ） A ．48 B ．46 C ．54 D ．573．等差数列的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则a 的值为 （ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．24．在等差数列中，若1a +2a +…+10a =65，11a +12a +…+20a =165，则1a 的值为；（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45．若ac ＞0，m 是a ，c 的等比中项，则有 （ ）6.下列等比数列中,首项为1的是( )A.n n a 4=B.n n a 21=C.nn a ⎪⎭⎫⎝⎛⋅=313 D.122-⋅=n n a7.下列几种说法正确的是( )A. 常数列是等差数列也是等比数列B. 常数列是等比数列但不可能是等差数列C. 常数列是等差数列但不可能是等比数列D. 常数列是等差数列也可能是等比数列8.首项为3,末项为3072,公比为2的等比数列的项数有( )A. 11项B. 12项C. 13项D. 10项 9.在等比数列}{n a 中,,24,3876543==a a a a a a 则=11109a a a ( )A. 48B. 72C. 144D. 192 10.公差不为零的等差数列的第2,3，6项组成等比数列，则公比为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、411.在等比数列{}n a 中，如果66=a ，99=a ，那么=3a （ ）A 、4B 、23C 、916D 、312.在等比数列{}n a 中，5642a a a +=，则公比q 等于 （ ） A 、1或2 B 、－1或－2 C 、1或－2 D 、－1或213．若数列{}n a 的前n 项和322+-=n n S n ,则这个数列的前三项分别是: ( ) A. -1,1,3 B. 2,1,3 C. 2,1,0 D. 2,1,614．已知等比数列的公比是2，且前四项和为1，那么前八项之和为 （ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．2115.设等差数列{}n a 的公差为d ，如果它的前n 项和Sn=－n 2，那么 （ ） A 、2,12-=-=d n a n B 、2,12=-=d n a n C 、 2,12-=+-=d n a n D 、2,12=+-=d n a n二、填空题1．等差数列{a n }中，a 1=-1，a 7=8，则a 8=____。
《数列》练习题—29题
《数列》练习题—29题1.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若10S :5S 2:1=,则15S :5S =（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:1D ．3:1【答案】A2.若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个根适当排列后,恰好组成一个首项1的等比数列, 则:m n 值为 （ ）A ．14 B ．12C ．2D ．4【答案】A3.已知等比数列{}n a 的前10项的积为32,则以下说法中正确的个数是①数列{}n a 的各项均为正数; ②数列{}n a 中必有小于2的项; ③数列{}n a 的公比必是正数; ④数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1.（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A4.已知数列{}n a 是等差数列,135105a a a ++=,24699a a a ++=,{}n a 的前n 项和为n S ,则使得n S 达到最大的n 是 （ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】C5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15915a a a =，且155********a a a a a a ++=，则9S =（ ） A.27 B.24 C.21 D.18 【答案】A6.已知数列{}n a 满足:2122a a a =-+,12()1,n n a a n a n N *+=+-+∈,当且仅当3n =时n a 最小, 则实数a 的取值范围是 （ D ）A ．()1,3-B ．5,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,4D ．57,22⎛⎫⎪⎝⎭7．数列{}n a 满足21=a ，nn n a a 231⋅=++，则=2012a （▲ ）A ．10054B ．441005-C ．10062D ．10064【答案】D8.在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和S 11等于 A.24B.48C.66D.132【答案】D 【解析】由912162a a =+得912212a a =+，即6121212a a a +=+，所以612a =.又11111611()112a a S a +==，所以11611132S a ==，选D.9.已知实数1234,,,a a a a 依次构成公差不为零的等差数列.若去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个等比数列,则此等比数列的公比为______.【答案】或210.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，集合1210{,,,}A a a a =，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有 ▲ ．11.公差不为0的等差数列{a n }的部分项123,,k k k a a a ,构成等比数列,且k 1=1,k 2=2,k 3=6,则k 4=_______.【答案】2212.已知数列{}n a 满足11a =,()()21252742435n n n a n a n n ++-+=++(n ∈*N ),则数列{}n a 的通项公式为____.【答案】()()25767n n n a +-=13.在等比数列{}n a 中，若5678158a a a a +++=，6798a a =-，则56781111a a a a +++=53-14.设数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且()111,31,2,n n a a S n +===⋅⋅⋅，则24log S 等于__._. 【答案】6【解析】因为113n n n n a S S S ++=-=，所以14n n S S +=，所以数列{}n S 是以111,4S a q ===为公比的等比数列，所以344S =，所以3242log log 46S ==.15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由题意可知a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1.又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，故a 1＝－a m ＝－2，又S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，∴－2m ＋m （m －1）2＝0m ＝5.16.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量()()1,,,1,n n n n c a a b n n n N *+==+∈.下列命题中真命题是 A.若n N *∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列B.若n N *∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C.若n N *∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若n N *∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列【答案】D17.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）A.7B.5C.-5D.-7【答案】D【解析】在等比数列中，56478a a a a ==-，所以公比0q <，又472a a +=，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩。
高中数学 数列 练习题(含答案)
新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值；（2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <．10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<．11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；①对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；①37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n T <．20．在①133a a b +=，①52a =-，①254b S b +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列， ， ，且12b =，2312b b +=．是否存在大于2的正整数m ，使得14S ，3S ，m S 成等比数列？21．在①2213(0)n n n a a a +-=>，①211390n n n n a a a a -----=，①222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =， ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．22．在①21n n S b =-，①14(2)n n b b n --=，①12(2)n n b b n -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由． 已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ， ，是否存在k ，使得对任意*n N ∈，n n k k a b a b 恒成立？23．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ①数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =时，设12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在①44a b =，①624S =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；①M ，T ，N ；①N ，T ，M ；①T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题． 已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且___依次成等差数列． （①）求{}n a 的通项公式；（①）设,01,1,1,n n n n na ab a a <⎧⎪=⎨>⎪⎩数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1(0n n S pa p +=≠且1p ≠-，*)n N ∈． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +①2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，求p 的值．27．设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______．请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，①69a =，①535S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1(1)n a n n n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．28．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且 ______（①1a ，2a ，4a 成等比数列；①(3)2n n n S +=；①926a =任选一个条件填入上空）． 设3n a n b =，nn n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．29．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；①1S ，22S +，3S 成等差数列；①12n n a S +=+中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．30．在①36S a =，①420S =，①14724a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，____． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T ．31．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，15b a =，23b =，581b =-． （1）求数列{}n b 的通项公式：（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①132b b a +=，①44a b =这两个条件中任选一个，补充在题干条件中，是否存在k ，使得1k k S S +>且21k k S S ++>？若问题中的k 存在，求k 的值；着k 不存在，说明理由．32．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，315S =，0n a >，1d >，且______从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”，“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T ．33．在①312S =，①2123a a -=，①824a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，__，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且21b a =，44b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．34．在①4516a a +=；①39S =；①2(n S n r r =+为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个评分）．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项的和．35．已知{}n a 为等差数列，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122a b ==，2810a a +=，_____．在①1()n n S b R λλ=-∈；①43212a S S S =-+；①2()n a n b R λλ=∈．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．36．在①5CA CB =-，①ABC ∆的面积为-一个，补充在下面问题中，并解决该问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ， 已知sin sin 1sin sin sin sin A CB C A B+=++，_______，且1b =．（1）求ABC ∆的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =．若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n n n n a c b a a -+=-．2n ． 证明：116n S <． 注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》答案解析1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，选①：由1a ，3a ，7a 成等比数列得22111(6)(2)a a d a d +=+， 化简得20d dd =≠，11n d a n ∴=∴=+，于是1(1)2n n b n -=+，∴21213242(1)2n n T n -=+++⋯++，232223242(1)2n n T n =+++⋯++，相减得：212222(1)22n n n n T n n --=+++⋯+-+=-，∴2n n T n =；选①：()()()13122,122n n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+时，1n =时，12a =，符合上式，1n a n ∴=+，下同①； 选①：81281a a d -==-，22(1)2n a n n ∴=+-=， ∴2n n b n =，231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+， 234121222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯+，相减得2311122222222n n n n n T n n +++-=+++⋯+-=--，∴1(1)22n n T n +=-+．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， 22b =，3433a a b += ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 解： 选择①（1）35a =，2526a a b +=，11a b =，d q =，111251256a d d a d a d +=⎧>∴⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），∴112b q =⎧⎨=⎩，1(1)21n n d n αα∴=+--=-，1112n n n b b q --==，（2）n n n a c b =，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212n n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．选择①22b =，3433a a b +=；（1）设11a b t ==，1d q =>，由22b =，3433a a b +=，可得2tq =，2253t d tq +=， 又d q =，解得2d q ==，1t =， 可得12(1)21n a n n =+-=-；12n n b -=； （2）11(21)()2n n n n a c n b -==-， 前n 项和11111135(21)()242n n T n -=+++⋯+-， 11111135(21)()22482n n T n =+++⋯+-， 两式相减可得21111111()(21)()22422n n n T n -=++++⋯+--，111121(1)()1212n n n --=+---， 化简可得116(23)()2n n T n -=-+．选择①39S ∴=，4528a a b +=，11a b =，d q =，1d >，∴1113278a d a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，1112n n n b b q --==．（2）11211(21)()22n n n n n n a n c c n b ---=∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212m n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则 115121736a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，*n N ∈．（2）方案一：选条件① 由（1）知，144122(1)(1)n n n b a a n n n n +===++， 12n n S b b b =++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 方案二：选条件①由（1）知，(1)(1)2n n n n b a n =-=-，122468(1)2n n n S b b b n ∴=++⋯+=-+-+-⋯+-，()i 当n 为偶数时， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(1)2]n n =-++-++⋯+--+222=++⋯+22n =⨯ n =，()ii 当n 为奇数时，1n -为偶数， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(2)2(1)]2n n n =-++-++⋯+--+--2222n =++⋯+-1222n n -=⨯- 1n =--，,,1,.n n n S n n ⎧∴=⎨--⎩为偶数为奇数；方案三：选条件①由（1）知，222224n a n n n n b a n n ===，1231224446424n n n S b b b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 231424442(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减，可得123132424242424n n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ 12118(1444)24n n n -+=⨯+++⋯+-⨯11482414nn n +-=⨯-⨯-12(13)8433n n +-=-．12(31)8499n n n S +-∴=+． 4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ①① ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值； （2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．解：（1）①若选择①①； 由题知：6650a S S =-=， 又因为15535()5152a a S a +===-，所以33a =-． 所以6333d a a =-=，解得1d =． 所以6(6)6n a a n n =+-=-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①；由题知：5541a S S =-=-， 又因为15535()5152a a S a +===-， 所以33a =-．所以5322d a a =-=，1d =． 所以3(3)6n a a n d n =+-=-． 所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①； 由题知：1666()152a a S +==-，所以161255a a a d +=+=- 由题知：1444()142a a S +==-，所以141237a a a d +=+=-所以15a =-，1d =． 所以6n a n =-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==-． 证明（2）因为6n a n =-， 所以671111(1)1n n a a n n n n ++==-++ 所以11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++． 5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22nn n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 解：选择①2(1)n n S n a =+，112(2)n n S n a ++∴=+，相减可得：112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，∴11n na a n n+=+， ∴111n a a n ==，可得：n a n =． 2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++∴==． 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(3)2k k k ++∴=，*k N ∈，解得6k =．选择(2)n a n =，1n n S S -=-=，0n S >1=，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．∴11n n =+-=，解得2n S n =．2n ∴时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．2(2)(123)(2)(2)2k k k S k k ++++∴==++1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，22(21)(2)k k ∴-=+，*k N ∈，解得3k =． 选择①0n a >，22n n n a a S +=，∴21112n n n a a S ++++=，相减可得：221112n n n n n a a a a a ++++--=，化为：11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 可得：11n n a a +-=，∴数列{}n a 是首项与公差都为1的等差数列，11n a n n ∴=+-=．(1)2n n n S +∴=， 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(12)2k k k +++∴=，*k N ∈，解得6k =．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则11265,4347,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,1,2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：243n S n n =+，∴当2n 时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+即1(2)2n n a n +=， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则112115(46)14(2),9(4)(2),2a d a d a d a d ⨯+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，12d =，或10a =，0d =，不合题意，舍去， ∴12n n a +=，*n N ∈； （2）由（1）可知，22214112()(21)(23)2123n n n b a a n n n n +===-++++，∴121111112()35572123n n T b b b n n =++⋯+=-+-+⋯+-++ 1142()32369nn n =-=++． 7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）若选择条件①12a =，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件①11a =，则放在第一行的第二列，结合条件可得11a =，24a =，37a =，则32n a n =-，则*n N ∈，若选择条件①13a =，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可得32n a n =-，则*n N ∈， （2）由（1）知，12(1)(32)n n b n +=--， 当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -∴=+++⋯+=-+-+⋯+-，1212343411()()()()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+⋯+-+，2123(132)933()3222n n n a a a a n n +-=-+++⋯+=-⨯=-+，当n 为奇数时，22219393(1)(1)(32)22222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=--，2293,22932,22n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪∴=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数 8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <． 解：（1）若选择①2342a a a +=，可得231112a q a q a q +=，化为220q q --=，解得2(1q =-舍去），又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； 选择①22n n S a =-，可得11122a S a ==-，解得12a =，又122222a a S a +==-，解得24a =，可得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n nn b a ==++； 选择①425S S =，可得4211(1)(1)511a q a q q q--=--，即215q +=，解得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； （2）证明：111211(21)(21)2121n n n n n n n n a b b +++==-++++， 2231111111111()()()212121212121321n n n n T ++=-+-+⋯+-=-+++++++， 由11021n +>+，可得13n T <． 10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<． 解：选择①①：（1）解：由131n n S S +=+⇒当2n 时，有131n n S S -=+，两式相减得：13n n a a +=，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有2112313()S S a a =+=+，又219a =，113a ∴=，2113a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 选择：①①：（1）解：由1213n n S a +=-⇒当2n 时，1213n n S a -=-，两式相减得：1233n n n a a a +=-+，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有1212132S a a =-=，又219a =，113a ∴=，2113a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：选①，由已知142n n S S +=+⋯①， 当2n 时，142n n S S -=+⋯①，①-①可得14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++． ∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知2132n n S λ+==+⋯①211.32n n S λ--==+⋯①， ①-①可得21212132232n n n n a +--=-=． 当1n =时，12a =满足212n n a -=．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++． ∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知132n n S a +=-⋯①， 当2n 时，12n n S S -=-⋯①， ①-①可得14n n a a +=，当1n =时，可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-=2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++．∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ． 解：方案一：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--= 解得2q =或1q =-，0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为435d a b b =+，5462a b b =+，∴113431316b d b d +=⎧⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）由（1）可知：12,n n n a b n -==，012111221222(1)22n n n n n T a b a b a b n n --∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，∴12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）∴1211212222221212nn nn n n n T n n n ---=+++⋯+-⨯=-⨯=--⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-（9分）∴(1)21n n T n =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）方案二：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=． 解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ，435a b b =+，135141344()235b d a a b b b d +=⎧+=+∴⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）． 方案三：选条件①（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=，解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ． 435a b b =+，4235S a b =，∴11340b d b d +=⎧⎨-=⎩解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）{}n a 是公差d 为2的等差数列，若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，可得42212S a a =+， 即有112(46)221a d a d +=+，即为16918a d ==，解得13a =； 若①7a 是33S 与22a 的等比中项，可得2732213a S a =，即21111(62)(332)(212)3a a a +⨯=+⨯+⨯， 即2111(12)(2)(42)a a a +=++， 解得13a =；若选①数列2{}n a 的前5项和为65，可得241065a a a ++⋯+=， 即1115(13579)52555065a d a d a +++++=+=+=， 解得13a =；综上可得32(1)21n a n n =+-=+，*n N ∈；（2）33()(21)()44n n n n b a n ==+，由1133523(23)()(21)()()4444n n nn n n b b n n ++--=+-+=，当1n =，2时，可得10n n b b +->，即321b b b >>；当3n ，*n N ∈时，可得10n n b b +-<，即345b b b >>>⋯， 则n b 的最大项为318964b =， 由18927648<， 可得不存在k N ∈，使得278k b >． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：选条件①： （1）数列1{}n S a +为等比数列，2211131()()()S a S a S a ∴+=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++．设等比数列{}n a 的公比为q ，22(2)2(2)q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍)，1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）点(n S ，1)n a +在直线1y x =+，11n n a S +∴=+，又11(2,)n n a S n n N -=+∈，两式相减有：12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列．1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）1121222n n n n a a a na -+++⋯+=，12121222(1)(2)n n n n a a a n a n ---∴++⋯+=-． 由两式相减可得：122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列． 1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2351a a a b +=-，3d ∴=，31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2372a a a =，(2)(22)2(26)d d d ∴++=+，0d >，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又315S =，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：方案一：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，53A B =，∴112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）由（1）知， 331122()(21)(23)22123n n n c n n n n =+=+-++++，12n n S c c c ∴=++⋯+2311311311[2()][2()][2()]23525722123n n n =+-++-+⋯++-++23111111(222)[()()()]235572123n n n =++⋯++-+-+⋯+-++2(12)311()122323n n -=+--+13(2)223n n n ++=-+． 方案二：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且21221143,A a aB =-=，∴111114232a a d d ⎪⎨-=⎪+⨯+⎩， 整理，得()()1111231,4621a d a a a d d d d +==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得，11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程． 方案三：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，535B =， ∴11231,541352352a d a d d +=⎧=⎧⎪⎨⎨⨯=⨯+⨯=⎩⎪⎩解得， 11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解：由21n n T b =-，可得1n =时，11b =；2n 时，1121n n T b --=-，相减可得122n n n b b b -=-，1n n -由此可得{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列，故12n n b -=， ①当535a b b =+，1632a b ==，541620a =+=， 设{}n a 的公差为d ，则20324d =+，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当387S =时，132a =，2387a =，设{}n a 的公差为d ，则3(32)87d +=，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当91012a a b b -=+时，132a =，9103a a -=， 设{}n a 的公差为d ，则3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）。
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1 数 列 数列的概念 1．选择题 (1)数列3，12，30，60，„的一个通项公式是( )
A．32)1(9nnan B．an＝5n2－6n＋4
C．2)2)(1(nnnan D．21217l12nnan (2)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，211nnnaaa(n≥3)则a5等于( ) A．1255 B．313 C．4 D．5 (3)在数列{an}中，已知)(1Rcncnan，则对于任意正整数n有( ) A．an＜an＋1 B．an与an＋1的大小关系和c的值有关 C．an＞an＋1 D．an与an＋1的大小关系和n有关 2．填空题 (4)数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项是________． (5)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)则S100＝________． (6)无穷数列{an}同时满足条件：①对任意的正整数n，都有－2＜an＜4；②当n为正偶数时，an－1＜an且an＞an＋1；③当n＞3时，an＞0；请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式：an＝________． 3．解答题 (7)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3． (Ⅰ)求a2，a3； (Ⅱ)求an．
(8)已知a1＋2a2＋3a3＋„＋nan＝41[(2n－1)an＋1＋1]，a1＝1，求数列{an}的通项公式． *(9)已知数列{an}中，,2183),21,0(21nnnaaa其中n≥2，n∈N*，求证：对一切n∈N*都有an＜an＋1成立． 2
5．2 等差数列 1．选择题 (1)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( ) A．40 B．42 C．43 D．45 (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝( ) A．9 B．8 C．7 D．6 (3)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{Sn}中也为常数的项是( ) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 2．填空题 (4)在1和15之间插入25个数，使所得到的27个数成等差数列，则插入的25个数的和是________． (5)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝10，S10＝－5，则公差为________(用数字作答)．
(6)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则｜m－n｜等于________． 3．解答题 (7)已知{an}为等差数列，前10项的和S10＝100，前100项的和S100＝10，求前110项的和S110．
(8)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0． (Ⅰ)求公差d的取值范围； (Ⅱ)指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由．
(9)在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1、a3、、、a、aankkk21成等比数列，求数列{kn}的通项kn． 3
5．3 等比数列 1．选择题 (1)等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是( ) A．179 B．211 C．243 D．275 (2)设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30
等于( )
A．210 B．220 C．216 D．215 (3)给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q成等比数列，p，b，c，q成等差数列，则一元二次程bx2－2ax＋c＝0( ) A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个同号的相异的实数根 D．有两个异号的相异的实数根 2．填空题 (4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是________．
(5)在n1和n＋1之间插入n个正数，使这n＋2个正数成等比数列，则插入的n个正数之积为________． (6)一张报纸，其厚度为a，面积为b．现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，报纸的厚度为________，报纸的面积为________． 3．解答题
(7)在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求数列{2na}前n项的和．
(8)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数．
(9)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1，2，3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列． (Ⅰ)求c的值； (Ⅱ)求{an}的通项公式． 4
5．4 数列求和 1．选择题 (1)在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( ) A．33 B．72 C．84 D．189 (2)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是( ) ①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．其中n为大于1的整数，Sn为{an}的前n项和． A．①和④ B．①和③ C．①和② D．③和④ (3)在10到2000之间，形如2n(n∈N*)的各数的和为( ) A．1008 B．2040 C．2032 D．2016 2．填空题
(4)数列{an}满足：a1，a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，an－an－1是首项为1，公比为31的等比数列．则其前n项和为________． (5)已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a5·a6＝64，则此数列前10项取以4为底的对数的和log4a1＋log4a2＋log4a3＋…＋log4a10＝________． (6)在等比数列{an}的前n项和中，S1最小，且a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，则n为________，公比q为________． 3．解答题 (7)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2(n∈N*)，又bn＝｜an｜，(n∈N*)，求bn的前n项和Tn．
(8)等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1， a3， a9成等比数列，255aS． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}满足,.112nnnaannb求数列{bn}的前99项的和．
(9)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)． (Ⅰ)设bn＝an＋1－2an，求证{bn}是等比数列；
(Ⅱ)设nnnac2，求证{cn}是等差数列； (Ⅲ)求Sn． 5
5．5 数列综合(一) 1．选择题 (1)在等比数列{an}中，a1＜0，若对正整数n都有an＜an＋1，那么公比q的取值范围是 ( ) A．q＞1 B．0＜q＜1 C．q＜0 D．q＜1 (2)一个屋顶的斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层比上一层多铺一块，斜面上铺了瓦片19层，则共铺了瓦片( ) A．288块 B．570块 C．589块 D．209块 (3)某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意(含弃权)按“0”，令
.0.1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第ji，ji，ija其中i＝1，2，…，k，且j＝1，2，…，k，
则同时同意第1，2号同学当选的人数为( ) A．a11＋a12＋…＋a1k＋a21＋a22＋…＋a2k B．a11＋a21＋…＋a1k＋a12＋a22＋…＋ak2 C．a11 a12＋a21 a22＋…＋ak1 ak2 D．a11 a21＋a12 a22＋…＋a1ka2k 2．填空题 (4)在等比数列{an}中，a5，a9是一元二次方程7x2－18x＋7＝0的两根，则a7的值为________． (5)已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算
,23lg4lg.2lg3lg4log3log.3221aaa1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log67·log78＝
.37lg8lg.6g17lg..3lg4lg.2lg3lg„„
定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k(k∈N*)叫做希望数．试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2010时，希望数k＝________． (6)一个弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程的和为________． 3．解答题 (7)某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备迅达6号，并马上投入生产．第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元．请你根据以上数据，解决下列问题： (Ⅰ)引进该设备多少年后，开始盈利? (Ⅱ)引进该设备若干年后，有两种处理方案： 第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； 第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 问哪种方案较为合算?并说明理由．
(8)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n． (Ⅰ)设12nnnab证明：数列{bn}是等差数列； (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn．