初三 锐角三角函数一对一讲义(重庆书之香)

锐角三角函数
知识点概述
锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切）
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ），记作sin A ，即sin A a
A c
∠=
=的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即
b
cos c
A A ∠=
=的邻边斜边；
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即
a
tan b
A A A ∠=
∠的对边＝的邻边。

特殊角的三角函数值 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：
（1）边角之间的关系：
sinA＝cosB＝a
c
，cosA＝sinB＝b
c
，tanA＝cotB＝a
b
，cotA＝tanB＝b
a。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

（3）三条边之间的关系：。

2、解直角三角形的基本类型和方法：
3、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
1cos sin 22=+A A
（3）倒数关系
tanA •tan(90°—A)=1
典型例题剖析
化简求值
例1、︒
-︒︒-︒45cot 230cot 45tan 30sin 的值等于 （ ）
（A ）－1－
23 （B ）－21
（C ）12
323- （D ）1＋23 同步练习一
(1)、240cot 40tan 22-︒+︒＝ 。

（2）、cos2（50°＋α）＋cos2（40°－α）－tan（30°－α）tan（60°＋α）＝。

（3）、a3tan45°＋
3
2
a2btan260°＋3ab2cot260°＝。

例2、如图，AOB
∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB
∠的值是．
同步练习二
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为.
三角形中的三角函数
例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，
5
3
sin=
B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD＝DE，AC＋CD＝9。

求：①BC的长；②CE的长。

O
A
B
A
B
C
D
E
A
E
同步练习三
如图，已知BC ⊥AD 于C ，DF ⊥AB 于F ，
9=∆∆EFB
AFD
S S ，∠BAE ＝α。

（1）求ααcos sin +的值；
（2）若ADE AEB S S ∆∆=，AF ＝6时，求cot ∠BAD 的值。

例4、已知等腰直角ABC ∆，ACB ∠＝90°，过BC 的中点D 做DE AB ⊥，垂足为
E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值。

同步练习四
如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，且2BE AE =，已知33AD =3
tan BCE ∠=
，求CE 的值。

例5、如图，已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ，)3,1(B 两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ， （1）求该一次函数的解析式； （2）求OCD ∠tan 的值； （3）求证：︒=∠135AOB ．
同步练习五
如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒
，AB =
sin 5
B =，点P 为边B
C 上一动点，P
D ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；
（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当
x 为何值时，y 最大，并求出最大值．
四边形与三角函数
P
D
C
B
A
A E
B
F
C
D
例6、如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE,点F 落在AD 上.
(1)求证：⊿ABF ∽⊿DFE;(2)若sin ∠DFE=3
1
,求tan ∠EBC 的值.
F
E
D C
B
A
如图1，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=o ，45D ∠=o .
（1）若6AB cm =，3
sin 5
BCA ∠=，求梯形ABCD 的面积；
同步练习六
如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90º，AB ＝AD ＝6，DE ⊥CD 交AB 于E ，DF 平分∠CDE 交BC 于F ，连接EF ．
(1)证明：CF ＝EF ；
(2)当tan ∠ADE ＝ 1
3时，求EF 的长．
三角函数的实际应用
如图（1）仰角是____________,俯角是____________。

如图（2）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________。

如图（3）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____。

（图1） （图2） （图3）
例7、一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k 海里处，到下午2点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度． 同步练习七
码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行
的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A
相距的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
O
A B
C
A
B
E
F
Q P
例8、如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BFQ ＝60°，EF ＝1km 。

（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈ 1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
例9、在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：
sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，
cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
采得百花成蜜时 锐角三角函数 为谁辛苦为谁甜
XI
同步练习九
腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）.若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173. ）．
D C B A ② ①。