九年级数学上册(人教版)配套教学教案 21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程1
最新人教版-数学-九年级上册第二十一章 一元二次方程 教21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程
解：设每件衬衫
，根据题意得：
（40−x)(20+2x)=1200 整理得，x2−30x+200=0 解方程得，x1=10，x2=20 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去. 答：每件衬衫应降价20元.
要点归纳
用一元二次方程解决营销问题的一般步骤 1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润； 2.根据利润=销量×单件利润列方程； 3.解方程； 4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等 条件，进行取舍； 5.作答.
答：这个增长率为50%.
二 营销问题与一元二次方程
合作探究
填空：假设某种商品的成本为每件2元，售价为3元时， 可卖100件. (1)此时的利润w= 100 元；
(2)若售价涨了1元，每件利润为___2__元，同时少卖 了10件，销售量为__9_0__件，利润w=_1__80__元; (3)若售价涨了2元，每件利润为__3___元，同时少卖 了20件，销售量为__8_0_件，利润w=_2_4_0__元;
5.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对 外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜 滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次 下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1−x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）
解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
依题意，得 60 28k b, 40 32k b,
k 5,
解得
b 200.
所以y与x的函数关系式为y=-5x+200．
（2）依题知(x−25)(−5x+200)=130． 整理方程，得x2−65x+1026=0． 解得x1=27，x2=38． ∵此设备的销售单价不得高于35万元， ∴x2=38（舍），所以x=27． 答：该设备的销售单价应是27 万元．
新人教版九年级上册初中数学 21-3课时2 变化率问题和利润问题 教学课件
第十三页，共二十二页。
新课讲解
知识点2 销售利润问题 例 2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每千克60元
出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市场调查发现,单价每降 低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃 要想平均每天获利2240元,请回答:
新人教版九年级上册初中数学 21.3课时2 变化率问题和利润问题 教学课件
科 目：数学 适用版本：新人教版 适用范围：【教师教学】
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
课时2 变化率问题和利润问题
第一页，共二十二页。
学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. （重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程
模型.
（难点）
第二页，共二十二页。
新课导入
知识回顾
列一元二次方程解决实际问题的步骤？
①审题， ③找等量关系， ⑤解方程， ⑦答.
②设出未知数，
④列方程， ⑥验根，
第三页，共二十二页。
新课导入
课时导入
第一年平均每公顷产8 000 kg
第二年种的水稻平均每公顷的产量为
第十八页，共二十二页。
当堂小练
4. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件 的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之 几？
解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，(1-x)2=1-36% 解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)
答：平均每月降价20%.
第十九页，共二十二页。
当堂小练
A．56B0(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
21.3平均变化率与销售问题(教案)-2023-2024学年九年级上册数学(人教版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平均变化率相关的实际问题，如某一商品的销售数据。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，各组收集不同时间段成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平均变化率的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平均变化率在销售问题中应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平均变化率的基本概念。平均变化率是描述两个变量之间变化关系的指标。它是我们分析销售问题时，预测销售趋势的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平均变化率如何帮助我们分析一家商店的销售情况，以及如何根据这些信息制定销售策略。
-通过实例，掌握如何利用平均变化率预测销售趋势，并据此制定销售策略。
-重点讲解教材P129例题1、2，使学生能够模仿并解决类似问题。
举例：在讲解平均变化率时，重点强调公式推导过程，以及在实际问题中的应用。例如，给定两个月的销售数据，学生需要计算出这段时间内销售量的平均变化率，并分析其含义。
2.教学难点
21.3平均变化率与销售问题（教案）-2023-2024学年九年级上册数学（人教版）
一、教学内容
人教版九年级上册第二十一章21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
能力提升
为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x （万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
四、课堂小结、形成网络
（一）小结
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2
为增长次数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1－x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2
为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不
可调换.
营销问题总利润=单件利润×销量=（售价-进价）×销量。
人教版九年级上册第二十一章21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
能力提升
为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x （万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
四、课堂小结、形成网络
（一）小结
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2
为增长次数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1－x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2
为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不
可调换.
营销问题总利润=单件利润×销量=（售价-进价）×销量。
(贵州专用)秋九年级数学上册 21.3 第2课时 平均变化率与一元二次方程教案1 (新版)新人教版-
第2课时平均变化率与一元二次方程1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题(2014·某某某某)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x )2＝121，解得x1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.(2014·某某乌鲁木齐)某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m －5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题(2014·某某兴安)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.。
人教版数学九年级上册21.3.2 变化率与利润问题课件(共26张PPT)
二、利润问题
例 超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该 商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应 定为多少，这时应进货为多少个？ 售价-进价=利润
单个商品 涨价涨价
∴m的值为20；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平 均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸 项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量 为a吨， 1200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1200(1＋y)·a， ∴1200(1＋y)2＝1500. 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
元．
3.（2022湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通 过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂3，4月份共 生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量；
解：(1)设3月份再生纸产量为x吨，则4月份的再生纸产量为(2x－100)吨． 由题意得：x＋(2x－100)＝800，解得x＝300， ∴2x－100＝500. 答：4月份再生纸的产量为500吨；
(1)请写出降低后的价格x与销量y之间的函数关系式；
y=200＋15x
(2)若水果商销售樱桃每天盈利1560元，每斤樱桃的售价应降至多 少元？(其他成本忽略不计)
(2)由题意得，(25－x－15)(200＋15x)＝1560， 化简得，3x2＋10x－88＝0， 解得x1＝4，x2＝-232 (舍去)， 25－4＝21(元)，
九年级数学上册(人教版)配套教学教案213第2课时平均变化率与一元二次方程1.doc
全新修订版（教案）九年级数学上册老师的必备资料家长的帮教助手学生的课堂再现人教版（RJ）第2课时平均变化率与一元二次方程1.裳握用“倍数关系”建立数学模型, 并利用它解决一些具体问题.2.会解有关“增长率”及“销售"方面的实际问题.一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4 元;若每盆增加1株，平均每株盈利减少0. 5 元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探允点：用一元二次方程解决增长率问题【类型_］增长率问题（2014・辽今丈遵）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同.⑴求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；（2）2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；（2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决. 解：⑴设这种产品产量的年增长率为x, 根据题意列方程得100（1+X）2=121,解得的=0. 1, A2=—2.1 （舍去）.答：这种产品产虽的年增长率为10%. （2）100X （1 +10%） = 110（万件）.答：2014年这种产品的产量应达到110 万件.方法总结：增长率问题中可以设基数为平均增长率为血增长的次数为〃，则增长后的结果为刀（1+方”；而增长率为负数时, 则降低后的结昊为曲一力”・用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1 月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用刍月生产收入达100万元，1 至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长, 累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平.（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）解析：（1）设2月，3月生产收入的月增长率为兀根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；（2）根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入+以后几个月的收入减去一次性支付640万元丸于或等于旧设备几个月的生产收入一每个月的维护费，然后解不等式.解：⑴设2月，3月生产收入的月增长率为x,根据题意有100+100（1 + 0+100（1 + 方2 = 364,即25# + 75x—16 = 0,解得，xi = —3. 2（舍），花=0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.（2）设刃个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364+100（1+20%）"^—3）—640290刃-5/77,解得，刃$12.所以，使用新设备12 个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润.方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意（2014・新磯鸟魯木吝）某工厂使【类型二］利润问题一学校为了绿化校园坏境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定: 如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120 元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵， 所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元, 但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校 最终向园林公司支付树苗款8800元.请问 该校共购买了多少棵树苗？苗，根据“售价=数量X 单价”就可求解. 解:V60棵树苗售价为120元X60 =7200元〈8800元，.••该校购买树苗超过60 棵.设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得 X120-0. 5U-60） ］ =8800,解得 必=220,^2=80.当 %, = 220 时,120-0.5(220-60) =40V100,・••加=220不合题意，舍去；当 ^2 = 80 时，120 — 0. 5(80 — 60)=110>100, = 20%, %2=1.8（舍去）・・••平均每次下调的 百分率为20%；（2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2X0.9X5000 =14400（元）；方案二所需费用为：3. 2X5000-200X5=15000（元）,V 14400 <15000, 小华选择方案一购买更优惠.教学过程中，强调解决有关增长率及利润问 题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.^2=80, ^=80.答：该校共购买了 80棵树苗.方法总结：根据实际问题中的数量关系 或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际 问题确定出符合题意的解.【类型三］方案设计问题（2014・內蒙七兴妥）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批 发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失, 对价格经过两次下调后，以每千克3. 2元的 价格对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率; （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜, 因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以 供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择 哪种力案更优惠？请说明理由.分析：第⑴小题设平均每次下调的百 分率为x,列一元二次方程求出x,舍去不 合题意的解；第（2）小题通过计算进行比较即可求解.解：（1）设平均每次下调的百分率为尢 由题意，得5（1—劝2 = 3.2,解得乙=0.2的解. 解析：根据条件设该校共购买了 /棵树 三、板书设计。
人教版九年级上册(新)数学同步教案21.3实际问题与一元二次方程(第2课时)
21.3实际问题与一元二次方程一、内容和内容解析1．内容列一元二次方程解决有关“增长率”的实际问题．等量关系是：平均变化率为x，则变化前数量×(1＋x)2＝变化后数量．2．内容解析探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题．这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等．本节讨论两轮(即两个时间段)的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型．涉及成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元；后者表示相对变化量，是表示比率的数字．通过这个问题，可以使学生认识到分析问题时应对变化额与变化率两者兼顾，这样才能全面比较对象的变化状况．二、目标和目标解析1．目标(1)能正确列出关于增长率问题的一元二次方程；(2)进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．2．目标解析达成目标(1)的标志是：能分析出关于增长率的实际问题中第一个时间段和第二个时间段的平均变化率的表示，从而选择合理的未知数，列出相应的代数式，分析等量关系，列出正确的方程来解决实际问题．达成目标(2)的标志是：在一元二次方程解决增长率问题的过程中，对用方程解决实际问题的步骤(审、设、列、解、验、答)，以及需注意的事项进行回顾、总结和深化．体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型．三、教学问题诊断分析通过探究1的学习，学生积累了一定的应用一元二次方程的实际模型解决实际问题的经验和方法．本课时实际问题中的数量关系比探究1更复杂．学生理解题意的困难是：“第一个时间段”，“第二个时间段”变化后的量与变化前的数量和平均增长率的关系．在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式的表示问题．四、教学过程设计1．分析平均变化率问题的数量关系问题1填写下列空格:1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为__________kg，第三年的产量为_____________kg．2．某糖厂2012年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为x，那么预计2013年的产量将是________；2014年的产量将是________．师生活动：学生独立思考，讨论交流结果．在学生活动过程中，提出以下问题：(1)什么是年平均变化率？(2)怎么利用平均变化率表示各时段的数量关系？(3)第二个时间段变化后的数量应如何用平均变化率来表示？问题2你能归纳一下上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？师生活动：学生独立思考后，师生一起总结得出，与变化率相关的问题的等量关系是：设平均变化率为x，则变化前数量×(1＋x)2＝变化后数量．设计意图：明确与变化率相关的实际问题中的数量关系，为建立一元二次方程模型解决增长率问题打好基础．2．解决变化率问题问题3两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？师生活动：学生小组交流、讨论，代表回答．教师可以穿插提出下列问题：(1)这个问题有几个变化对象？(甲种药品、乙种药品)(2)它们的年平均下降额各是多少？甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)．乙种药品成本的年平均下降额较大．(3)年平均下降额(元)等于年平均下降率(百分数)吗？年平均下降率体现了哪两个量之间的关系？这两个量之间经过几次变化？怎样列式表示？成本下降额表示绝对变化量，单位是元；成本下降率表示相对变化量，是表示比率的数字．甲种药品两年前的成本5 000元，设年平均下降率为x，一年后甲种药品成本5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000×(1－x)2元，于是有5 000×(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．(4)这两个根都是甲种药品的平均下降率吗？为什么？根据问题的实际意义，成本的年下降率应是小于1的正数，所以应选0.225．所以根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．(5)类比甲种药品求年平均下降率的方法，你能求出乙种药品成本的年平均下降率吗？类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程6 000×(1－x)2＝3 600得乙种药品成本年平均下降率为0.225．(6)这两种药品成本的年平均下降率是什么关系？你又能得到什么结论呢？两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量．成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．设计意图：在学生独立思考的基础上进行合作讨论，通过问题串的设置，引导学生在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值．将成本下降额与成本下降率这两个接近而不同的概念进行区分，通过计算，可以使学生认识到分析问题时应兼顾变化额与变化率．3．练习巩固教科书第22页练习7．设计意图：巩固整个解题思路：审、设、列、解、验、答，从而加深学生对此类问题的掌握情况．4．小结问题4你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．设计意图：通过归纳，明确“变化率问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法．5．布置作业教科书第26页复习题21第9题．6．目标检测设计向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．设计意图：检测学生对变化率问题的掌握情况．。
人教版九年级数学RJ上册精品教案 第21章 一元二次方程 第2课时 平均变化率与销售问题
第2课时平均变化率与销售问题教师备课素材示例●情景导入我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如国内生产总值预期增长5%左右；空气污染指数比去年降低3.2%；能源汽车交易量比去年产量翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．【教学与建议】教学：以实际问题为背景导入，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学的应用价值．建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望．●置疑导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？解：设每盆多植x株，株数是__(3＋x)__株，每株的盈利是__(4－0.5x)__元，可列方程为__(3＋x)(4－0.5x)＝15__．【教学与建议】教学：通过上面两种问题的呈现，引导学生思考对降价促销的理解，讲解利润的计算方法：利润＝株数×每株的盈利．建议：采用提问学生的方式进行．增长率问题常见等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②单位时间增产量＝原产量×增长率；③现在产量＝原产量×(1＋增长率)；④现在的产量＝原产量×(1±x)n.【例1】(1)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋440(2)某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到252元．若第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍．设第一次降价的百分率为x，则可列出关于x的方程为__350(1－x)(1－2x)＝252__．销售问题中常见的等量关系：①利润＝售价－进价(成本)；②总利润＝每件商品的利润×总件数；③利润率＝利润进价×100%；④售价＝标价×打折数10＝进价×(1＋利润率)．【例2】(1)某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需要降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天的销售利润为750元，每件商品应降价(D)A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元(2)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价x 元．根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200.解得x 1＝10，x 2＝20.∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x ＝20，∴每件童装应定价为100－20＝80(元).答：每件童装应定价80元．欧拉帮忙算鸡蛋一天，欧拉去买鸡蛋，卖鸡蛋的农妇看到了欧拉，便想要试试这个其貌不扬的学者的能力，当欧拉问到她们的鸡蛋数量的时候，她们说：“我们带着100枚鸡蛋来到集市，我们两人所带的鸡蛋数虽不同，但是卖得的钱数一样．”第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．”第二个农妇回答：“但是如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得623个铜板．”欧拉想了想说：“你(指着第一个农妇)有40枚鸡蛋，你(指着第二个农妇)有60枚鸡蛋．”欧拉是这样想的：设第一个农妇带了x 个鸡蛋，则第二个农妇带了(100－x)个鸡蛋，她们二人卖鸡蛋的单价分别为15100－x 与203x，由于二人卖得的钱数相同，故有方程15x 100－x ＝20（100－x ）3x，整理，得x 2＋160x －8000＝0，解得x ＝40或x ＝－200(舍去).故第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．实际上，欧拉是利用方程的思想解决了这个实际问题，如果换成是你，是否会被这两个卖鸡蛋的妇人难住？高效课堂 教学设计1．使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的问题．2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．▲重点列一元二次方程解决平均增长率问题．▲难点探究增长率问题中的等量关系．◆活动1 新课导入1．小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a 分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，他第二次数学成绩是________分，第三次数学成绩是________分．2．国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价是a 元，第一次价格降低了15%，第二次价格又降低了15%，第一次促销活动中该上衣的价格是________元，第二次促销活动中该上衣的价格是________元．◆活动2 探究新知1．教材P 19 探究2.提出问题：(1)甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？(2)若设甲种药品的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品的成本为多少元？两年后甲种药品的成本为多少元？你能列出相应的方程并求出问题的解吗？(3)解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦，实际上我们可以用直接开平方法来解．怎么用直接开平方法来解？2．教材P 20 思考．3．某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求年平均增长率．提出问题：它与探究2有什么不同？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳解决增长率与下降率问题的公式：a(1±x)n ＝b ，其中a 是__变化前的量__，x 为__平均增长率或平均下降率__，n 为增长(或下降)的次数，b 为增长(或下降)后的量．◆活动4 例题与练习例1 ，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，的均价为每平方米5265元．(1)求平均每年下调的百分率；(2)假设的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100m 2的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)解：(1)设平均每年下调的百分率为x ，根据题意，得6500(1－x)2＝5265，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去).∴平均每年下调的百分率为10%；(2)如果下调的百分率相同，的房价为5265×(1－10%)＝4738.5(元/m 2)，则100m 2的住房的总房款为100×4738.5＝473850(元)＝47.385(万元).∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现．例2 某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，则这个降价率为多少？经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售商品多少件？解：设降价率为x.由题意，得40(1－x)2＝32.4，解得x 1＝1.9(舍去)，x 2＝0.1＝10%.即降价率为10%.两次调价后每月可销售商品的数量为500＋10×40－32.40.2＝880(件). 练习1．教材P 22 习题21.3第7题．2．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为( B )A ．8B ．20C ．36D ．183．随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社会养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加．该市的养老床位数从底的2万个增长到底的2.88万个．求该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的平均年增长率．解：设该市这两年(从底到底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该市这两年拥有的养老床位数的平均增长率为20%.◆活动5 课堂小结1．一元二次方程在增长率、握手等问题中的运用．2．根据公式b＝a(1＋x)n找各量之间的等量关系，解方程常采用直接开平方法，所得结果要符合题意．1．作业布置(1)教材P26复习题21第9，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全新修订版教学设计
（教案）
九年级数学上册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
人教版（RJ）
第2课时平均变化率与一元二次方程
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．
一、情境导入
月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决增长率问题
【类型一】增长率问题
(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．
答：这种产品产量的年增长率为10%.
(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.
(2014·新疆乌鲁木齐)某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)
解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．
解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.
(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m －5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．
方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，
要根据题意及实际问题确定出符合题意。