§75 线性变换的本征值和本征向量

§7.5 线性变换的本征值和本征向量教学目的本节要求掌握线性变换的本征值和本征向量的概念及其求法，掌握线性变换可以对角化的条件。

教学难点 本征值和本征向量的求法 教学重点 本征值和本征向量的概念及其求法教 学 过 程 备 注教学内容一、本征值和本征向量的定义 在上节我们已经知道，若能将n 维向量空间V 分解成n 个关于某个线性变换σ的一维不变子空间W i 的直和(i ＝1,2,…,n )，在每个子空间取一个基，凑成V 的一个基{α1,α2,…,αn }，那么σ关于这个基的矩阵是一个对角阵，即 σ ( α1,α2,…,αn )= (α1,α2,…,αn )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a21 亦即σ (α1)＝a 1α1, σ (α2)＝a 2α2 , …, σ (αn )＝a n αn .但是，并不是每个线性变换σ都存在一维不变子空间，若σ有一维不变子空间，则σ必满足：存在非零向量α及F 实数中的数λ，使σ (α)＝λα . 这时W ＝L (α)就是V 的关于σ的一维不变一维子空间. 这给我们一个很重要的启示，即研究线性变换σ，很重要的事情就是去找满足条件σ (ξ)＝λξ的数λ及非零向量ξ，这就是本节的主要内容 .定义1 设V 是数域F 上的向量空间，σ是V 的线性变换. 若对F 上的数中的数λ，存在V 的一个非零向量ξ，使σ (ξ)＝λξ,.则称λ是线性变换σ的本征值，ξ称为σ的属于本征值λ的本征向量.例1 设ιI 是向量空间V 上的恒等变换，对任意的非零向量α，都有ιI (α)＝α.即α是属于特征值是属于本征值1的特征向量的本征向量.又设θ 是向量空间V 上的零变换，对任意的非零向量α，都有θ (α)＝0＝0α.即α是属于本征值0的本征向量.例2 令D 表示定义在实数域R 上的可微分任意次的实函数所成的向量空间. σ：f (x )→f '(x )是求导数运算. σ是D 的一个线性变换，对任意实数λ，有σ (e λx )＝λe λx因此任何实数λ都是σ 的本征值，而e λx 是σ的属于λ的一个本征向量.例3 设R [x ]是所有是全体关于文字x 的一元实系数多项式所成的向量空间，令σ (f (x ))＝xf (x )，∀ f (x )∈ R [x ]. 可以证明σ是R [x ]的一个线性变换. 比较次数可知，对任意的实数λ，都不存在非零多项式f (x )，使xf (x )＝λf (x ). 因此σ没有本征值.可以证明σ (f (x ))＝xf (x )是R [x ]的一个线性变换. 比较次数可知，对任意的实数λ，都不存在非零多项式f (x )，使xf (x )＝λf (x ). 因此σ没有本征值.这个例子告诉我们，并不是每个线性变换都有本征值 . 二、本征值和本征向量的求法对于一个给定的线性变换，若它有本征值及本征向量，怎样才能把这些本征值和本征向量都求出来呢？为此，我们需要先搞清楚线性变换的本征值和本征向量与它的矩阵的本征值和本征向量之间的关系我们需要先搞清楚线性变换的本征值和本征向量与它在一个基下的矩阵的特征根和特征向量之间的关系.设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，取定V 的一个基{α1,α2, …，αn }. 并设σ关于这个基的矩阵为A ，即σ (α1,α2,…,αn )= (α1,α2,…,αn )A再设ξ是σ的属于本征值λ的本征向量,. 即σ (ξ)＝λξ.若ξ关于基{α1,α2,…，αn }的坐标为 X=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21，则σ(ξ)关于基{α1,α2,…，αn }的坐标为A .21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a .又因为σ (ξ)＝λξ，所以σ (ξ)与λ ξ关于基的坐标相等，即有{α1,α2,…, αn }的坐标应为λ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21因此 A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21=λ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21.因为ξ是非零向量，则其坐标X ＝向量(a 1, a 2,…, a n )T X 非不是F n 中的零向量. 上式说明λ是矩阵A 的在F 中的特征根，ξ关于基{α1,α2 ,…,αn }的坐标X 是A 的属于特征根λ的在F n 中的特征向量. 反之，若A 是线性变换σ关于基{α1,α2 ,…,αn }的矩阵，λ是A 的一个在F 中的特征根，(a 1, a 2,…, a n )T '(x 1,x 2,…, x n ) 是A 的属于特征根λ的在F n 中的特征向量. 则由A (a 1, a 2,…, a n )T '＝λ(a 1, a 2,…, a n )T ' 知σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n i i i a 1α＝λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i i a 1α.即λ是σ的本征值，∑=ni i i a 1α(≠0)是σ的属于本征值λ的本征向量. 这样我们得到下述定理7.5.1 设V 是F 上n (>0)维向量空间，σ∈L (V )，σ在V 的基{α1,α2 ,…,αn }下的矩阵为A .(i) λ是σ的本征值当且仅当λ是A 的在F 中的特征根；(ii) 设λ是σ的本征值，则ξ是σ的属于本征值λ的本征向量当且仅当ξ在{α1,α2 ,…,αn }下的坐标是齐次线性方程组(λI －A )X ＝0的在F n 中的非零解向量.那么，λ未必是σ的一个本征值，只有矩阵A 的属于F 的特征根λ才是线性变换σ的本征值，而A 的属于λ的在F n 中的特征向量就是σ的属于λ的本征向量关于给定基{α1,α2 ,…,αn }的坐标.这样，我们就可以用求线性变换的矩阵的本征值和本征向量的方法来求线性变换的本征值和本征向量，而求矩阵的本征值和本征向量的方法我们在前面已讲过，这里就不再赘述.例4 设线性变换设σ是有理数域Q 上的3维向量空间V 的线性变换，且σ在V 的基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---122212221.求σ的全部本征值及本征向量.解 已知本征值λ与本征向量ξ的坐标(x1, x2, x3)满足A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ＝λ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 而由于f A (x )＝det(x I －A )=A xI -＝122212221------x x x ＝(λ(x －1) (λ(x ＋1) (λ(x－3)，因此，矩阵A 的特征根为λ1＝1, λ2＝－1, λ3＝3.显然 由定理7.5.1(i)知，这三个特征根都是σ的本征值。

.对λ1＝1，解齐次线性方程组(1⋅I －A )X ＝0., 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=--.22022022213132x x x x x x基础解系为η1＝(1, －1, 1)')T，所以σ的属于本征值1的全部本征向量为 k 1ξ1, 其中ξ1＝ε1－ε2＋ε3, , kk 1≠0取遍全体非零有理数 .同理可求得本征值－1，3的全部本征向量.例5 设σ 是实数域R 上三维向量空间V 的线性变换，,{α1,α2 , α3}是V 的一个基，σ 关于这个基的矩阵是A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---013211233.求σ 的本征值。

解 ：先求出A 的特征根由于f A (x )＝det(x I －A )f A (x )＝A xI -＝A I -λ=xx x 13211233-----=＝)4)(4(2+-x x ,因此，矩阵 A 的特征根是：1λ=＝4 ，2λ=＝2i ，3λ=＝ -－2i 。

.这里只有4∈R ，所以σ的本征值只有1λ=＝4 。

. 三、线性变换的对角化设σ是数域F 上n （n ≥1）维向量空间V 的一个线性变换，如果存在V 的一个基，使得σ关于这个基的矩阵具有对角形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ00000000021 （1） 那么就说σ可以对角化。

.关于线性变换与矩阵的对角化，我们有定理7.5.2 设V 是数域F 上n (>0)维向量空间. σ∈L (V ), σ关于V 的基{α1,α2 ,…,αn }的矩阵为A ，则σ可对角化当且仅当A 在F 上可对角化.证 必要性 因为σ可对角化，所以存在V 的基{β1, β2 ,…, βn }，使σ在该基下的矩阵为Λ，其中Λ是对角形矩阵. 由定理7.3.4知，A 与Λ相似，所以存在F 上n 阶可逆矩阵T ，使得T －1AT ＝Λ，因此A 在F 上可对角化.充分性 若A 在F 上可对角化，则存在F 上n 阶可逆矩阵T ，使得T －1AT ＝Λ，其中Λ是对角形矩阵. 令{β1, β2 ,…, βn }＝{α1,α2 ,…,αn }T ，由定理5.2.14知，秩{β1, β2 ,…, βn }＝秩T ＝n ，因此, {β1, β2 ,…, βn }线性无关，是V 的一个基. 由推论7.3.5知，σ在基{β1, β2 ,…, βn }下的矩阵T －1AT 是对角形矩阵.这样，线性变换对角化的问题就归结为它关于一个基的矩阵的对角化问题. 而F 上n 阶方阵在F 上的对角化问题,我们已经在§6.6中讨论清楚了.因为线性变换σ关于不同基的矩阵是相似的，所以一个等价的说法是：设A 是数域F 上n 阶方阵，如果存在F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得T -1AT 具有对角形式（1），那么就说矩阵A 可以对角化。

由上面的讨论可知线性变换σ的对角化问题就是它关于一个基下的矩阵A 的对角化问题，而关于这一问题我们在§6.6 中已讨论清楚了。

本章小结本课作业 作 业：P333,习题七，第27，28题本课教育评注。