第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)

2
2
2

的非零特征值是
．
2 2 2
【答案】 4 ．
3 2 2 0 1 0
（03
年，数学一）设矩阵
A


2
3
2
，P


1
0
1 ，B P1A*P ，求 B 2E 的
2 2 3 0 0 1
特征值与特征向量，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， E 为三阶单位矩阵．
（Ⅰ） A2 ；（Ⅱ）矩阵 A 的特征值和特征向量．
【解析】（Ⅰ） A2 ( T ) T O
（Ⅱ）基础解系为：
1



b2 b1
,1,0,
,0
T

,2



b3 b1
,0,1,
,0
T
,

, n 1



bn b1
,0
,0,
,1T ，
等于 ( ) ．
（A） 4 ． 3
【答案】（B）．
（B） 3 ． 4
（C） 1 ． 2
（D） 1 ． 4
（96 年，数学五）设有 4 阶方阵 A 满足条件 3I A 0,AAT 2I , A 0 ，其中 I 是 4
阶单位阵，求方阵 A 的伴随阵 A* 的一个特征值． 【解析】 A* 有特征值 4 ． 3
题型 5.4 相似矩阵的判定及其反问题
2 0 0
2 0 0
（88
年，数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）已知矩阵
A


0
0
1

与
B


0
y
0

相似，
0 1 x
0 0 1
（Ⅰ）求 x 与 y ；
（Ⅱ）求一个满足 P1AP B 的可逆矩阵 P ．
2 0 0 2 0 0
（Ⅲ）求可逆矩阵 P ，使得 P1AP 为对角矩阵．
1 0 0
【解析】（Ⅰ） B 1
2
2

．
1 1 3
（Ⅱ） 1 2 1,3 4 ．
（Ⅲ） P (1 2, 21 3 ,2 3) ．
题型 5.5 矩阵的相似对角化及其反问题
（93 年，数学四） n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的 ( ) ．
（89 年，数学一）假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明： （Ⅰ） 1 为 A1 的特征值；
（Ⅱ） A 为 A 的伴随矩阵 A* 的特征值．

【证明】略.
（87 年，数学二）设 1 , 2 为 n 阶方阵 A 的特征值， 1 2 ，而 x1 , x2 分别为对应的特 征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
（A）充分必要条件． （C）必要而非充分条件． 【答案】（B）．
（B）充分而非必要条件． （D）既非充分也非必要条件．
0 0 1
（94
年，数学四）设
A


x
1
y

有三个线性无关的特征向量，求
x
和
y
应满足的条件．
1 0 0
【解析】 x y 0 ．
3 2 2
（99
（98 年，数学一）设 A 是 n 阶矩阵， A 0，A* 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位矩阵.
若 A 有特征值 , 则 ( A*)2 E 必有特征值
．
A 2
【答案】


1．
（98 年，数学三/数学四）设向量 (a1, a2 , , an )T , (b1, b2, , bn )T 都是非零向量， 且满足条件 aT 0 ．记 n 阶矩阵 A aT ，求：
年，数学四）设矩阵
A


k
1
k

，问当
k
为何值时，存在可逆矩阵 P ，使
4 2 3
得 P1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵．
1 1 1
1 0 0
【解析】 k

0
时，
P


2
0
0

，则
P
1
AP


0
1
0

．
0 2 1
【证明】略.
（91 年，数学四）设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A* 的
特征值之一是 ( ) ．
（A） 1 A n ．
（B） 1 A ．
（C） A ．
（D） A n ．
【答案】（B）．
（93 年，数学五）设 2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 (1 A2 )1 有一特征值 3
1 2 3
（04
年，数学一/数学二）设矩阵
A


1
4
3

的特征方程有一个二重根，求
1 1 1 2 0 0
（97
年，数学四）设矩阵
A和
B
相似，且
A


2
4
2

,B


0
2
0

,
3 3 a 0 0 b
（Ⅰ）求 a, b 的值；（Ⅱ）求可逆矩阵 P ，使 P1AP B.
【解析】（Ⅰ） a 5 ． b 6 ．
1 1 1
【解析】 B 2E 的特征值分别为 9, 9, 3 ．
1 1
特征值
9
（二重）的特征向量全体为
k1

1

k2

1
，其中
k1
,
k2
不同时为零；
0 1
0
特征值
3
的特征向量全体为
k3

1

，其中
k3

0
．
1
题型 5.2 抽象矩阵的特征值和特征向量
（92 年，数学五）矩阵 A 1 1 1 1 的非零特征值是
．
1 1 1 1
1 1 1 1
【答案】 4 ．
（99 年，数学一）设 n 阶矩阵 A 的元素全为1，则 A 的 n 个特征值是
．
【答案】 n 和 0 （ n 1重）．
0 2 2
（02
年，数学二）矩阵

【答案】（D）．
（01 年，数学一）已知 3 阶矩阵 A 与三维向量 x ，使得向量组 x，Ax，A2x 线性无关，且满足
A3x 3Ax 2 A2 x ．
（Ⅰ）记 P (x，Ax，A2x) ，求 3 阶矩阵 B ，使 A PBP1 ；
（Ⅱ）计算行列式 A E ．
0 0 0
（89
年，数学四）设
A


2
1
2

，
2 2 1
（1）试求 A 矩阵的特征值．
（2）利用（1）小题的结果，求矩阵 E A1 的特征值．其中 E 是三阶单位矩阵．
【解析】（1） A 的特征值1，1， 5 ． （2）矩阵 E A1 的特征值 2, 2, 4 ．
5
1 1 1 1
0 0 1
1 1 1
（00
年，数学四）设矩阵
A


x
4
y

，已知
A
有三个线性无关的特征向量，

2
3 3 5
是 A 的二重特征值．试求可逆矩阵 P ，使得 P1AP 为对角形矩阵．
1 1 1
2 0 0
【解析】
P


1
0
2

，则
P
1
第五章 特征值和特征向量
题型 5.1 数字矩阵的特征值和特征向量
3 1 2
（87
年，数学四）求矩阵
A


0
1
4

的实特征值及对应的特征向量．
1 0 1
【解析】实特征值 1 的特征向量为 k(0, 2,1)T ，（其中 k 为非零任意常数）．
1 2 2
A 的属于特征值 0 的全部特征向量为 c11 c22 cn1n1 ,（ c1, c2 , , cn1 是不全
为零的任意常数．）
（02 年，数学三）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵．已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 (P1AP)T 属于特征值 的特征向量是 ( ) ．
（95 年，数学五）设三阶矩阵 A 满足 Aai iai (i 1, 2,3) ，其中列向量
1 (1, 2, 2)T ,2 (2, 2,1)T , 3 (2, 1, 2)T ，试求矩阵 A ．
7

3
0

2 3


【解析】
A


0
5 3

2 3
.

【证明】略.
（90 年，数学四）设 A 为 n 阶矩阵，1 和 2 是 A 的两个不同的特征值，x1, x2 是分别属
于 1 和 2 的特征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
【证明】略.
（90 年，数学五）设方阵 A 满足条件 AT A E ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位 矩阵．试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．


0