线性代数第五章特征值与特征向量自测题Word版
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
第五章 特征值与特征向量测试题
特征值与特征向量测试题一、填空题：（每小题5分，共20分）1、设B A ,均为3阶方阵，满足AB B I =+，且A 有特征值0,3,3-，则B 的特征值为 。
2、设A 为n 阶方阵，且0)(=+m I A ，m 为正整数，则=A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且A 可逆，则AB 与BA 相似，这是因为存在可逆矩阵=P ，使得BA ABP P=-1。
4、若 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 是矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2135212b a 的一个特征向量，则=a ，=b 。
二、选择题：（每小题5分，共20分）1、若矩阵A 可逆，则A 的特征值（ ）(A) 互不相等； (B) 全都相等； (C) 不全为零； (D) 全不为零。
2、已知A 是4阶矩阵，且2)3(=-A I r ，则3=λ是A 的（ ）特征值。
(A) 一重； (B) 二重； (C) 至少二重； (D) 至多二重。
3、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是（ ）(A) A 有n 个互异的特征值；(B) A 有n 个互异的特征向量；(C) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i i r A I r =-)(λ；(D) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i r 个线性无关的特征向量。
4、下列矩阵中，不能与对角阵相似的是（ ）(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110011； (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010101； (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110101； (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220010001。
三、解答题：（每小题20分，共60分）1、判断矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101121002 是否可对角化；若可以，试求出相应的可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。
2、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，对应于1λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101ξ，求A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且n B r A r <+)()(，证明B A ,有公共的特征向量。
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
2
2
2
的非零特征值是
．
2 2 2
【答案】 4 ．
3 2 2 0 1 0
（03
年，数学一）设矩阵
A
2
3
2
，P
1
0
1 ，B P1A*P ，求 B 2E 的
2 2 3 0 0 1
特征值与特征向量，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， E 为三阶单位矩阵．
（Ⅰ） A2 ；（Ⅱ）矩阵 A 的特征值和特征向量．
【解析】（Ⅰ） A2 ( T ) T O
（Ⅱ）基础解系为：
1
b2 b1
,1,0,
,0
T
,2
b3 b1
,0,1,
,0
T
,
, n 1
bn b1
,0
,0,
,1T ，
等于 ( ) ．
（A） 4 ． 3
【答案】（B）．
（B） 3 ． 4
（C） 1 ． 2
（D） 1 ． 4
（96 年，数学五）设有 4 阶方阵 A 满足条件 3I A 0,AAT 2I , A 0 ，其中 I 是 4
阶单位阵，求方阵 A 的伴随阵 A* 的一个特征值． 【解析】 A* 有特征值 4 ． 3
题型 5.4 相似矩阵的判定及其反问题
2 0 0
2 0 0
（88
年，数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）已知矩阵
A
0
0
1
与
B
《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
线性代数第五章自测题
第五章（√）1．设λ是方阵A 的特征值，则λ是方阵T A 的特征值.（×）2．矩阵1223⎛⎫⎪⎝⎭是正定的. （√）3.若方阵A 与B 相似，且B 与C 相似，则A 与C 相似.（×）4．n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是方阵A 有n 个相异的特征值.（√）5．设λ是方阵A 的特征值，则λ是方阵T A 的特征值.（×）6．矩阵1337⎛⎫⎪⎝⎭是正定的. 7.n A 可相似对角化，则n A 必有n 个不同的特征值. （ ） 8.．实对称矩阵一定可以相似对角化.（ ）9．若n 阶实对称矩阵()ij n n A a ⨯=正定，则0(1,2,)ij a i n >= . 10.设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同．11.设λ是方阵A 的特征值，则m λ是方阵m A 的特征值． （ ）1．相似矩阵有相同的特征多项式. （ ） 2．n 阶实对称阵一定有n 个线性无关的特征向量. （ ） 3．A 、B 为n 阶方阵，如果存在可逆方阵C 使得B=C 1-AC ，则A 与B 的关系是既相似又等价.5.A 、B 均为n 阶方阵，如果有可逆方阵C ，使C -1AC=B ，则称A 与B 合同． （ ） 6 两两正交的非零向量线性无关。
（ ） 7 n 阶矩阵A 若有n 个不同的特征值，则A 与对角形矩阵相似。
( ) 8．对称阵A 的特征值全为正，则A 为正定的． （ ） 9．设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同． （ ） 10．对称阵A 的特征值全为正，则A 为正定的．12.向量TT]1,2,1[,]101[==βα，，的夹角为： .13.若二次型的正惯性指数为k ，负惯性指数为l ，则该二次型的秩为： ．14.．已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3， A A A 7523+-为：＿__＿． 15.已知3阶矩阵A 的特征值为3,2,1-， A A A 3223-+为：＿__＿．16.设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101121αα，均为矩阵A 的对应于特征值2的特征向量，21ααβ-=，则向量_____________=βA .17. 二次型22212312233(,,)4f x x x x x tx x x =+-+正定，则t 的取值范围是 11t -<<. 18. 设三阶方阵A 有三个特征值123,,λλλ，如果36A =，122,3λλ==，则3λ= 6 .19．二次型()3231212322213214225,,x x x x x ax x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则a 的取值范围是： ．20.二次型22212312233(,,)4f x x x x x t x x x =+-+正定，则t 的取值范围是 .1. 设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111α和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1012α都是矩阵A 对应特征值2=λ的特征向量，且向量212ααβ-=，则向量=βA .2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=20001101k kA 正定，则k 应满足条件＿__＿. 3．设33⨯A 的特征值为3,2,1-, 方阵E A AB 232+-=，则B 的特征值是＿__ .4．向量空间R 3中的向量(1,2,3)T α=在基1(1,0,0),e =2(0,1,0)e =，3(0,0,1)e =中的坐标是：_____________．5．二次型()3231212322213214225,,x x x x x ax x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则a 的取值范围是： ．6．向量TT ]1,2,1[,]101[==βα，，的夹角为： .7．若二次型的正惯性指数为k ，负惯性指数为l ，则该二次型的秩为： ．8．已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3， A A A 7523+-为：＿__＿． 9 与任意向量都正交的向量是_______.10 向量T]0011[，，，=α的长度为21.方程111012λλλλ-=的实根个数为( A ) ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 322．设A 是正交矩阵，则下列错误的是： （ ）.A 12=A； .B 1=A ；.C A A '=-1；.D 向量组的行向量组是单位正交A .23．若A,B 是正交阵，下列说法中错误的是（ ）．.A TAA =-1也是正交阵； .B 11或－=A ；.CAB 不是正交阵； .D A 的列向量都是单位向量，且两两正交．24.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 1100002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002B 相似，则=x （ ） .A 1-；.B 0； .C 1； .D 2.2．设A 是n 阶正交阵，（1）1-A 也是正交阵；（2）1-=A 或（3）A 的列向量都是单位向量且两两正交；（4）A 的n 个列向量构向量空间n R 的一个规范正交基。
第五章方阵的特征值与特征向量自测题答案
《线性代数》单元自测题答案第五章 方阵的特征值与特征向量一、 填空题：1．0； 2．36-； 3．6,111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 4.4-； 5.ξ1-p . 二、 单选题：1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5.D .三、计算题1．解：因A 的特征多项式22)1)(1()1)(1(0101010-+=--=---=-λλλλλλλλA E 所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000101020101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。
当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000101000101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，3k 不同时为０)。
2. 解 因A 的特征多项式)1()1()1)(1(32401022322-+=-+=+--+--=-λλλλλλλλA E所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000224000224321x x x 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征根121-==λλ的代数重数等于几何重数，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424020222321x x x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得4,,5-y 是A 的特征根，于是有 05242424254=----=--x A E ， 解得4=x . 从而有 )4()5(1242424212+-=---=-λλλλλλA E ，故可得5=y .（2）当521==λλ时，解0)5(=-X A E ，得基础解系()()T T 101,02121-=-=ξξ.当43-=λ时，解0)4(=--X A E ，得基础解系()T 2123=ξ. 取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==210102211,,321ξξξP ， 则Λ=-AP P 1。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
第五章：特征值与特征向量选择题
B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对
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解（ ），得一基础解系为： ，
故 的属于特征值 的全部特征向量为： ，
②令 ,则有：
∴ =
=
=
3、解：①∵
∴ 是 的特征向量。又 都是 的解，说明它们也都是 的特征向量，特征值为0；由于 线性无关，特征值0的重数大于1，于是 的特征值为：3，0，0；属于3的特征向量为： ；属于0的特征向量为： 不全为零）；
5、设三阶实对称矩阵 的特征值是1，2，3，矩阵 的属于特征值1，2的特征向量分别是 ， ，则 的属于特征值3的特征向量是（ ）。
6、设n阶方阵A有n个特征值分别为2，3，4，…，n，n+1，且方阵B与A相似，则|B-E|=______________
二、选择题（共18分，每小题3分）
1、已知三阶矩阵A的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是
，
则
。
由此得 。
于是，
四、证明题：
（1）证明： ∵ 是正交矩阵，
∴
∴
又∵
∴
∴ ，即： 是 的一个特征值。
（2）证明：设有一组数 ， 使
……………………①
即： ………………②
又∵ ，
∴②式为：
…………③
由于已知
∴ 线性无关，③式成立当且仅当：
………………………………④
解齐次线性方程组④，由于其系数行列式为：
2、（5分）设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为， ， ，则 ， 线性无关的充分必要条件是： 。
3、（5分）设 为 阶矩阵，且存在向量 ，有 ，令： ， ,
讨论 线性相关性，并加以证明。
自测题参考答案
一、填空题
1、 ； ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 。
2、 ，其中 ， ， ，（ 为不全为零的任意常数）。
3、 。
②将 单位化，得： ，对 施密特正交化，得： ， ，令： ，则 是正交矩阵，并且
③∵
∴ （ ， ， ）=（3 ， ， ）
即： =
解上面这个矩阵方程，得：
另外，∵
∴
4、解∵
∴A有特征值-2和2（三重）。
对 ，解 得基础解系
故3重特征值有3个线性无关的特征向量，由此得A可对角化。
对 ，解 得基础解系
。
令
（A）矩阵A是不可逆矩阵
（B） 矩阵A的主对角线元素之和为0
（C） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的
（D）AX=0的基础解系由一个向量组成
2、矩阵A 与矩阵（ ）相似。
（A） ； （B） ； （C） ； （D）
3、下述结论正确的有（ ）。
（A） 阶矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个互不相同的特征值；
3、（共15分）设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3，向量 ， 是齐次线性方程组 的两个解。
①（5分）求 的特征值与特征向量；
②（5分）求正交矩阵 和对角矩阵 ，使 ；
③（5分）求 及 ，其中 为三阶单位矩阵
4、（共9分）设
。
求 。
四、证明题（共15分，每小题5分）
1、（5分）设 是n阶正交矩阵，且 ，则 是 的一个特征值。
而
∴
∴ 的特征值为：1，1，4
③ 当
解之，一个基础解系为：
当
解之，一个基础解系为：
令 （ ， ， ）
则
令 （ ） （ ）
=（2 - 2 - + ）
则
2、解：∵ 是 的二重特征值，
∴ 的属于特征性6的线性无关的特征向量有2个，由题设知： ， 为 的属于特征值6的线性无关的特征向量。
又∵r ，
∴ ，
∴ 的另一特征值 ，设 的所对应的特征向量为： ，则有： 即：
（B） 阶矩阵 可对角化的必要条件是 有 个互不相同的特征值；
（C）有相同特征值的两个矩阵一定相似；
（D）相似的矩阵一定有相同的特征值。
4、下述结论正确的有（ ），其中 为 阶矩阵。
（A）方程 的每一个解向量都是对应于特征值 的特征向量；
（B）若 为方程 的一个基础解系，则 （ 为非零常数）是 的属于特征值 的全部的特征向量；
第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟）
一、填空题：（共18分，每小题3分）
1、设三阶矩阵 的特征值为－1，1，2，则 －1的特征值为（ ）； *的特征值为（ ）；（3 + ）的特征值为（ ）。
2、设三阶矩阵 ＝0，则 的全部特征向量为（ ）。
3、若 ～E，则 ＝（ ）。
4、已知 ＝ 与 相似，则 =（ ）， =（ ）。
（C） 与 有相同的特征值和相同的特征向量；
（D） 与 有相同的特征多项式。
5、设 有3个线性无关的特征向量，则 应满足条件（ ）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
6、已知 ,其中 , 是属于特征值 的特征向量.
是属于特征值 的特征向量,则矩阵P不能为
三、计算题（共49分）
1、（共15分）
设A为三阶矩阵， ， ， 是线性无关的三维列向量，且满足：
……………………………④
∵齐次线性方程组④的系数行列式： =1+
∴当 为偶数时， =1+（-1）=0，④有非零解；
当 为奇数时， =1+1=2 0，④仅有零解；
∴由①式有：当 为偶数时， 线性相关，
当 为奇数时， 线性无关。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
4、
5、 ，（ 为非零常数）。
6、n！
二、选择题
1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、 D
三、计算题：
1、解：①∵ （ ） （ ）
=（ + + 2 + 2 +3 ）
=（ ）
=（ ）
∴
②∵ （ ） （ ）
又∵ , , ,线性无关，
∴（ ）可逆，
∴（ ） （ ） ，
∴ 与 相似，即 与 有相同的特征值，
①（5分）求矩阵B，使得： （ ， ， ）=（ ， ， ）B；
②（5分）求矩阵 的特征值；
③（5分）求可逆矩阵 ，使得 为对角形矩阵。
2、（共10分）设三阶实对称矩阵 的秩为2， 是 的二重特征值。若 ， ， 都是 的属于特征值6的特征向量。
①（5分）求 的另一特征值和对应的特征向量；
②（5分）求矩阵 。
，由于当且仅当 ④仅有零解：
故 线性无关的充分必要条件是
（3）证明： ∵ ，
∴ 1，2，…， 是 阶矩阵 的 个不同的特征值，而 是 的分别属于1，2，…， 的线性无关的特征向量。
又∵ …
设有一组数： 使得： ………①
即： …………………②
也即： … ……………③
由于 线性无关，
故③式成立当且仅当：