线性代数第五章特征值与特征向量自测题
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
第五章 特征值与特征向量测试题
特征值与特征向量测试题一、填空题：（每小题5分，共20分）1、设B A ,均为3阶方阵，满足AB B I =+，且A 有特征值0,3,3-，则B 的特征值为 。
2、设A 为n 阶方阵，且0)(=+m I A ，m 为正整数，则=A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且A 可逆，则AB 与BA 相似，这是因为存在可逆矩阵=P ，使得BA ABP P=-1。
4、若 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 是矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2135212b a 的一个特征向量，则=a ，=b 。
二、选择题：（每小题5分，共20分）1、若矩阵A 可逆，则A 的特征值（ ）(A) 互不相等； (B) 全都相等； (C) 不全为零； (D) 全不为零。
2、已知A 是4阶矩阵，且2)3(=-A I r ，则3=λ是A 的（ ）特征值。
(A) 一重； (B) 二重； (C) 至少二重； (D) 至多二重。
3、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是（ ）(A) A 有n 个互异的特征值；(B) A 有n 个互异的特征向量；(C) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i i r A I r =-)(λ；(D) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i r 个线性无关的特征向量。
4、下列矩阵中，不能与对角阵相似的是（ ）(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110011； (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010101； (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110101； (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220010001。
三、解答题：（每小题20分，共60分）1、判断矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101121002 是否可对角化；若可以，试求出相应的可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。
2、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，对应于1λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101ξ，求A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且n B r A r <+)()(，证明B A ,有公共的特征向量。
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
2
2
2
的非零特征值是
．
2 2 2
【答案】 4 ．
3 2 2 0 1 0
（03
年，数学一）设矩阵
A
2
3
2
，P
1
0
1 ，B P1A*P ，求 B 2E 的
2 2 3 0 0 1
特征值与特征向量，其中 A* 为 A 的伴随矩阵， E 为三阶单位矩阵．
（Ⅰ） A2 ；（Ⅱ）矩阵 A 的特征值和特征向量．
【解析】（Ⅰ） A2 ( T ) T O
（Ⅱ）基础解系为：
1
b2 b1
,1,0,
,0
T
,2
b3 b1
,0,1,
,0
T
,
, n 1
bn b1
,0
,0,
,1T ，
等于 ( ) ．
（A） 4 ． 3
【答案】（B）．
（B） 3 ． 4
（C） 1 ． 2
（D） 1 ． 4
（96 年，数学五）设有 4 阶方阵 A 满足条件 3I A 0,AAT 2I , A 0 ，其中 I 是 4
阶单位阵，求方阵 A 的伴随阵 A* 的一个特征值． 【解析】 A* 有特征值 4 ． 3
题型 5.4 相似矩阵的判定及其反问题
2 0 0
2 0 0
（88
年，数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）已知矩阵
A
0
0
1
与
B
线性代数(同济大学第五版)矩阵的特征值与特征向量讲义、例题
第五章 矩阵的特征值与特征向量§1矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶方阵,如果有数λ和n 维非零列向量x 使得x Ax λ=,则称数λ为A 的特征值,非零向量x 称为A 的对于特征值λ的特征向量.由x Ax λ=得0)(=-x E A λ,此方程有非零解的充分必要条件是系数行列式0=-E A λ,此式称为A 的特征方程,其左端是关于λ的n 次多项式,记作)(λf ,称为方阵A 特征多项式.设n 阶方阵)(ij a A =的特征值为n λλλ,,,21 ,由特征方程的根与系数之间的关系,易知：nn n a a a i +++=+++ 221121)(λλλA ii n =λλλ 21)(例1 设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式482-=A ,求λ. 解：482-=A 64823-=∴-=∴A Aλ⨯⨯=32A 又 1-=∴λ例2 设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 求矩阵A 的秩.解：因为0=A 所以A 的特征值中有一个为0,其余的均不为零.所以A 与)0,,(21λλdiag 相似.所以A 的秩为2.定理1对应于方阵A 的特征值λ的特征向量t ξξξ,,,21 ,t ξξξ,,,21 的任意非零线性组合仍是A 对应于特征值λ的特征向量.证明 设存在一组不全为零的数t k k k ,,,21 且存在一个非零的线性组合为t t k k k ξξξ+++ 2211，因为t ξξξ,,,21 为对应于方阵A 的特征值λ的特征向量。
则有),,2,1(1t i k Ak i i i ==ξλξ所以)()(22112211t t t t k k k k k k A ξξξλξξξ+++=+++ 所以t t k k k ξξξ+++ 2211是A 对应于特征值λ的特征向量. 求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法：第一步：写出矩阵A 的特征多项式,即写出行列式E A λ-.第二步：解出特征方程0=-E A λ的根n λλλ,,,21 就是矩阵A 的特征值.第三步：解齐次线性方程组0)(=-x E A i λ,它的非零解都是特征值i λ的特征向量.例3 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为2)1)(2(201034011λλλλλλ--=-----=-E A 所以,A 的特征值为1,2321===λλλ. 当21=λ时,解方程组0)2(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000010001~2010340112E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001p ,所以特征值21=λ的全部特征向量为11p k ,其中1k 为任意非零数.当132==λλ时,解方程组0)(=-x E A .由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000210101~101024012E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1212p ,所以特征值132==λλ的全部特征向量为22p k ,其中2k 为任意非零数. 二、特征值与特征向量的性质与定理性质1 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的所有特征值均非零. 此性质读者可利用A n =λλλ 21可证明.定理 2 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,则21,p p 线性无关.证明 假设设有一组数21,x x 使得02211=+p x p x (1)成立. 以2λ乘等式(1)两端,得0222121=+p x p x λλ (2) 以矩阵A 左乘式(1)两端,得0222111=+p x p x λλ (3) (3)式减(2)式得0)(1211=-p x λλ 因为21,λλ不相等,01≠p ,所以01=x .因此(1)式变成022=p x . 因为02≠p ,所以只有02=x . 这就证明了21,p p 线性无关.性质2 设)(A f 是方阵A 的特征多项式,若λ是A 的特征值.对应于λ的特征向量为ξ,则)(λf 是)(A f 的特征值,而ξ是)(A f 的对应于)(λf 的特征向量,而且若O A f =)(,则A 的特征值λ满足0)(=λf ,但要注意,反过来0)(=λf 的根未必都是A 的特征值.例4 若λ是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量,证明：1-λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量,证明 λ 是可逆方阵A 的特征值,ξ是A 的对应于特征值λ的特征向量λξξ=∴A ξξλ11--=∴Aξξλ11--=∴A A A ξξλ*1A A =∴-1-∴λ是1-A 的特征值,ξ是1-A 对应于特征值1-λ的特征向量, 1-λA 是*A 的特征值,ξ是*A 对应于特征值1-λA 的特征向量.例5 设3阶矩阵A 的特征值1,2,2,求E A --14.解：A 的特征值为1,2,2,,所以1-A 的特征值为1,12,12, 所以E A--14的特征值为4113⨯-=,41211⨯-=,41211⨯-=所以311341=⨯⨯=--E A .例6 若21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p ,证明21p p +一定不是A 的特征向量.证明 假设21p p +是矩阵A 的特征向量，对应的特征值为.λ根据特征值定义可知：)()(2121p p p p A +=+λ …………………(1) 21,λλ 又是n 阶方阵A 的特征值，对应的特征向量分别为21,p p .,111p Ap λ=∴ 222p Ap λ= (2)将(2)带入(1)式整理得：0)()(2211=-+-p p λλλλ因为21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值,对应的特征向量分别为21,p p 线性无关.所以21λλλ==.与21,λλ是n 阶方阵A 的两互不相等的特征值矛盾. 所以假设不成立.例7 若A 为正交矩阵,则1±=A ,证明,当1-=A 时,A 必有特征值1-;当1=A 时,且A 为奇数阶时,则A 必有特征值1.证明 当1-=A 时.TT T A E A A E A AA A E A +=+=+=+)(A E A E T +-=+-=,所以 .0=+A E `所以1-是A 的一个特征值反证法：因为正交阵特征值的行列式的值为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A 的特征值，那么A 的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。
《线性代数考研资料》第五章特征值与特征向量
解此方程组，得 又由，有 故因此
5.（03，九题，10分）设矩阵，，，求B＋2E的特征值与特征向量，其 中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵 【分析】可先求出，进而确定及B＋2E，再按通常方法确定其特征值和 特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与 特征向量，最终根据B＋2E与相似求出其特征值与特征向量。 【详解1】 经计算可得
第五章 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征 向量为，求A 【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和 三个线性无关特征向量后，由公式
可解出 【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即， 解得
3－r(-E-A)=1个，故A不可对角化
2．（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟 练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的 非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练 工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记 成向量 （1）求与的关系式并写成矩阵形成：； （2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求 【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立 递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第 三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到 【详解】（1）由题意，得
所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征 值0的代数重数至少是2 已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应 的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1 因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方 阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实 数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数） （Ⅱ）令 则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵
第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 扩展例题及求解
的一个特征向量为
1
,求
a,
b,
c
和
的值。
1
[分析]当 A 是抽象的方阵时，求 A 的特征值、特征向量通常需要考虑特征值、特征向量的定
义或等价定义。本题主要考察 A* 和 A 的特征值之间的关系，以及它们有共同的特征向量。
[解]由于 A* ， AA* A E E ， 对 A* 两边同时左乘 A ，即有：
1 2 3 2 2 0 fA() | E A | 1 4 3 1 4 3
1 a 5 1 a 5
10 0 ( 2) 1 3 3 ( 2)(2 8 18 3a)
1 a 1 5
[例
9]设
A
1
4
3 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。
1 a 5
[分析]本题主要考察可对角化的条件：n 阶方阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关
的特征向量，即 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量。
[解]先求特征方程。
（１）如果 2 是特征方程的二重根,则 2 满足方程 2 8 18 3a 0 ,故
a 2 ．
1 2 3
当 a 2 时,
A
的特征值为
2,2,6,矩阵
2E
A
1
2
3
的秩为
1,故
2
对应有两
1 2 3
个线性无关的特征向量,从而 A 可以相似对角化。
[证]设 是 AmnBnm 对应于特征值 的特征向量，则
第五章方阵的特征值与特征向量自测题答案
《线性代数》单元自测题答案第五章 方阵的特征值与特征向量一、 填空题：1．0； 2．36-； 3．6,111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 4.4-； 5.ξ1-p . 二、 单选题：1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．D ； 5.D .三、计算题1．解：因A 的特征多项式22)1)(1()1)(1(0101010-+=--=---=-λλλλλλλλA E 所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000101020101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。
当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000101000101321x x x得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，3k 不同时为０)。
2. 解 因A 的特征多项式)1()1()1)(1(32401022322-+=-+=+--+--=-λλλλλλλλA E所以A 的特征值为，121-==λλ13=λ.对于121-==λλ，解方程组0)(=--X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000224000224321x x x 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2012ξ，由于二重特征根121-==λλ的代数重数等于几何重数，故知A 可对角化.对于13=λ，解方程组0)(=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000424020222321x x x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1013ξ，取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==120002111321ξξξP ，则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Λ=-1000100011AP P .因此P 为所求的相似变换矩阵，Λ即为所求的对角矩阵.3.解：（1）由已知得4,,5-y 是A 的特征根，于是有 05242424254=----=--x A E ， 解得4=x . 从而有 )4()5(1242424212+-=---=-λλλλλλA E ，故可得5=y .（2）当521==λλ时，解0)5(=-X A E ，得基础解系()()T T 101,02121-=-=ξξ.当43-=λ时，解0)4(=--X A E ，得基础解系()T 2123=ξ. 取()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==210102211,,321ξξξP ， 则Λ=-AP P 1。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
第五章：特征值与特征向量选择题
B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对
第五章特征值和特征向量 (学生题目简单答案版)
【解析】 B 2E 的特征值分别为 9, 9, 3 ．
1 1
特征值
9
（二重）的特征向量全体为
k1
1
k2
1
，其中
k1
,
k2
不同时为零；
0 1
0
特征值
3
的特征向量全体为
k3
1
，其中
k3
0
．
1
题型 5.2 抽象矩阵的特征值和特征向量
A 的属于特征值 0 的全部特征向量为 c11 c22 cn1n1 ,（ c1, c2 , , cn1 是不全
为零的任意常数．）
（02 年，数学三）设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵．已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵 (P1AP)T 属于特征值 的特征向量是 ( ) ．
【证明】略.
（90 年，数学四）设 A 为 n 阶矩阵，1 和 2 是 A 的两个不同的特征值，x1, x2 是分别属
于 1 和 2 的特征向量，试证明： x1 x2 不是 A 的特征向量．
【证明】略.
（90 年，数学五）设方阵 A 满足条件 AT A E ，其中 AT 是 A 的转置矩阵， E 为单位 矩阵．试证明 A 的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1．
年，数学四）设矩阵
A
k
1
k
，问当
k
为何值时，存在可逆矩阵 P ，使
4 2 3
得 P1AP 为对角矩阵？并求出 P 和相应的对角矩阵．
1 1 1
1 0 0
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第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟）
一、填空题：（共18分，每小题3分）
1、设三阶矩阵A 的特征值为－1，1，2，则A －1的特征值为（ ）；A *的特征值为
（ ）；（3E +A ）的特征值为（ ）。
2、设三阶矩阵A ＝0，则A 的全部特征向量为（ ）。
3、若A ～E ，则A ＝（ ）。
4、已知A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100002与=B ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000002y 相似，则x =（ ），y =（ ）。
5、设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别是
1(1,1,1)T α=-，T )1,2,1(2---=α，则A 的属于特征值3的特征向量是（ ）。
6、设n 阶方阵A 有n 个特征值分别为2，3，4，…，n ，n +1，且方阵B 与A 相似，则
|B-E |=______________
二、选择题（共18分，每小题3分）
1、已知三阶矩阵A 的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是
（A ） 矩阵A 是不可逆矩阵
（B ） 矩阵A 的主对角线元素之和为0
（C ） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的
（D ） AX =0的基础解系由一个向量组成
2、矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300
030000与矩阵（ ）相似。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000030300； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300130010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300000003； （D ）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡310031000 3、下述结论正确的有（ ）。
（A ）n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个互不相同的特征值；
（B ）n 阶矩阵A 可对角化的必要条件是A 有n 个互不相同的特征值；
（C ）有相同特征值的两个矩阵一定相似；
（D ）相似的矩阵一定有相同的特征值。
4、下述结论正确的有（ ），其中A 为n 阶矩阵。
（A ）方程0)(0=-x A E λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量；
（B ）若21,αα为方程0)(0=-x A E λ的一个基础解系，则2211ααC C +（21,C C 为非
零常数）是A 的属于特征值0λ的全部的特征向量；
（C ）A 与T A 有相同的特征值和相同的特征向量；
（D ）A 与T A 有相同的特征多项式。
5、设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x 和应满足条件（ ） （A ）y x =；（B ）y x -=；（C ）y x 2=；（D ）x y 2=。
6、已知1100010000P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1201α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2120α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是属于特征值1λ=的特征向量. 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
是属于特征值0λ=的特征向量,则矩阵P 不能为
三、计算题（共49分）
1、（共15分）
设A 为三阶矩阵，1a ，2α，3α是线性无关的三维列向量，且满足：
①（5分）求矩阵B ，使得：A （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）B ； ②（5分）求矩阵A 的特征值；
③（5分）求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角形矩阵。
2、（共10分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值。
若
T ，，)011(1=α，T ，，)112(2=α，T ，，)321(3--=α都是A 的属于特征值6的特征向量。
①（5分）求A 的另一特征值和对应的特征向量；
②（5分）求矩阵A 。
3、（共15分）设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量T
，，)121(1--=α，T ，，)110(2-=α是齐次线性方程组0=AX 的两个解。
①（5分）求A 的特征值与特征向量；
②（5分）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使Λ=AQ Q T ；
③（5分）求A 及6)2
3(E A -
，其中E 为三阶单位矩阵 4、（共9分）设
1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭。
求 n A 。
四、证明题（共15分，每小题5分）
1、（5分）设A 是n 阶正交矩阵，且1-=A ，则1-是A 的一个特征值。
2、（5分）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，1α，2α，
则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是：02≠λ。
3、（5分）设A 为n 阶矩阵，且存在向量0≠i α),,2,1(n i =，有
i i i A αα=),,2,1(n i =，令：211ααβ+=，,,322 ααβ+=1ααβ+=n n , 讨论12,,...,n βββ线性相关性，并加以证明。
自测题参考答案
一、填空题
1、)2
111(，，-；)122(，，-；)542(，，。
2、332211αααC C C ++，其中T )0,0,1(1=α，
T )0,1,0(2=α，T )1,0,0(3=α，（321,,C C C 为不全为零的任意常数）。
3、E 。
4、1,0==y x
5、T
C )1,2,3(-，（C 为非零常数）。
6、n ！
二、选择题
1、C
2、C
3、D
4、D
5、B
6、 D
三、计算题：
1、解：①∵A （1α 2α 3α）=（A 1α A 2α A 3α） =（1α+2α+3α 22α+3α 22α+33α） =（1α 2α 3α）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡311221001 =（1α 2α 3α）B。