线性代数第五章特征值与特征向量自测题

第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟）

一、填空题：（共18分，每小题3分）

1、设三阶矩阵A 的特征值为－1，1，2，则A －1的特征值为（ ）；A *的特征值为

（ ）；（3E +A ）的特征值为（ ）。

2、设三阶矩阵A ＝0，则A 的全部特征向量为（ ）。

3、若A ～E ，则A ＝（ ）。

4、已知A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100002与=B ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000002y 相似，则x =（ ），y =（ ）。 5、设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3，矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别是

1(1,1,1)T α=-，T )1,2,1(2---=α，则A 的属于特征值3的特征向量是（ ）。

6、设n 阶方阵A 有n 个特征值分别为2，3，4，…，n ，n +1，且方阵B 与A 相似，则

|B-E |=______________

二、选择题（共18分，每小题3分）

1、已知三阶矩阵A 的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是

（A ） 矩阵A 是不可逆矩阵

（B ） 矩阵A 的主对角线元素之和为0

（C ） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的

（D ） AX =0的基础解系由一个向量组成

2、矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300

030000与矩阵（ ）相似。 （A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000030300； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300130010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300000003； （D ）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡310031000 3、下述结论正确的有（ ）。

（A ）n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个互不相同的特征值；

（B ）n 阶矩阵A 可对角化的必要条件是A 有n 个互不相同的特征值；

（C ）有相同特征值的两个矩阵一定相似；

（D ）相似的矩阵一定有相同的特征值。

4、下述结论正确的有（ ），其中A 为n 阶矩阵。

（A ）方程0)(0=-x A E λ的每一个解向量都是对应于特征值0λ的特征向量；

（B ）若21,αα为方程0)(0=-x A E λ的一个基础解系，则2211ααC C +（21,C C 为非

零常数）是A 的属于特征值0λ的全部的特征向量；

（C ）A 与T A 有相同的特征值和相同的特征向量；

（D ）A 与T A 有相同的特征多项式。

5、设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x 和应满足条件（ ） （A ）y x =；（B ）y x -=；（C ）y x 2=；（D ）x y 2=。

6、已知1100010000P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1201α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2120α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

是属于特征值1λ=的特征向量. 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

是属于特征值0λ=的特征向量,则矩阵P 不能为

三、计算题（共49分）

1、（共15分）

设A 为三阶矩阵，1a ，2α，3α是线性无关的三维列向量，且满足：

①（5分）求矩阵B ，使得：A （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）B ； ②（5分）求矩阵A 的特征值；

③（5分）求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角形矩阵。

2、（共10分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值。若

T ，，)011(1=α，T ，，)112(2=α，T ，，)321(3--=α都是A 的属于特征值6的特征向量。

①（5分）求A 的另一特征值和对应的特征向量；

②（5分）求矩阵A 。

3、（共15分）设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量T

，，)121(1--=α，T ，，)110(2-=α是齐次线性方程组0=AX 的两个解。

①（5分）求A 的特征值与特征向量；

②（5分）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使Λ=AQ Q T ；

③（5分）求A 及6)2

3(E A -

，其中E 为三阶单位矩阵 4、（共9分）设

1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭

。 求 n A 。

四、证明题（共15分，每小题5分）

1、（5分）设A 是n 阶正交矩阵，且1-=A ，则1-是A 的一个特征值。

2、（5分）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，1α，2α，

则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是：02≠λ。

3、（5分）设A 为n 阶矩阵，且存在向量0≠i α),,2,1(n i =，有

i i i A αα=),,2,1(n i =，令：211ααβ+=，,,322 ααβ+=1ααβ+=n n , 讨论12,,...,n βββ线性相关性，并加以证明。

自测题参考答案

一、填空题

1、)2

111(，，-；)122(，，-；)542(，，。 2、332211αααC C C ++，其中T )0,0,1(1=α，

T )0,1,0(2=α，T )1,0,0(3=α，（321,,C C C 为不全为零的任意常数）。

3、E 。

4、1,0==y x

5、T

C )1,2,3(-，（C 为非零常数）。

6、n ！

二、选择题

1、C

2、C

3、D

4、D

5、B

6、 D

三、计算题：

1、解：①∵A （1α 2α 3α）=（A 1α A 2α A 3α） =（1α+2α+3α 22α+3α 22α+33α） =（1α 2α 3α）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡311221001 =（1α 2α 3α）B