75 本征值与本征向量

−1 0 −1 1 0 1 0 −2 0 →0 1 0 由于 −1 0 −1 0 0 0
该齐次组的所有解为 (−a,0, a), a ∈ F 因此,属于特征－ 的特征向量是 因此 属于特征－1的特征向量是 (−a,0, a), a ∈F,且 ≠ 0 属于特征 a
显然,从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个 重要启示，即研究线性变换σ，很重要的一点就是设法去 寻找满足条件 σ (α) = λα 的数λ和非零向量α，这就是下 面要介绍的线性变换的本征值和本征向量问题. 值得一提的是: 本征值----也叫特征值; ----也叫特征值 本征值----也叫特征值; 本征向量----也叫特征向量. ----也叫特征向量 本征向量----也叫特征向量. 以后我们可以根据自己的喜好称呼它们.
复习与引入: 复习与引入:
问题1: 在向量空间V中,同一线性变换关于不同基的矩阵有 什么关系? 这种关系是如何刻划的? 问题2: 矩阵的这种相似关系对于我们研究线性变换有什么 启发? 问题3: 线性变换关于向量空间V 中某个基的矩阵为这种简 单形式的矩阵(准对角矩阵或者甚至就是对角形),这与什么 理论有关?你认为应该怎样选取这个基呢?
即设dimV=n，σ∈L(V)，在什么条件下可找到V 的一 个基{αα2 ,L αn }，使得σ关于这个基的矩阵为对角形 , 1
λ 1 λ2 O λn
σ(α1 ) = λα1 1 σ(α2 ) = λ2α2
即：
L L
(*)?
σ(αn ) = λnαn
要做到这一点，从上节最后的分析结果知道在于V能否 分解为σ的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能 办到的，因而只能从另外的方面讨论.
7.5.1 特征值和特征向量的定义
定义1：设V是数域F上的向量空间,σ是V 的一个线性变 换.λ是 F 中的一个数，如果存在 V 中非零向量 ξ， 使得
σ(ξ) = λξ
ξ 那么称λ为线性变换σ的一个特征值， 称为σ的属于特征 值λ的一个特征向量.
Note: 1) 本征向量必须是一个非零向量; 本征向量必须是一个非零向量; 2) 本征值和本征向量这两个概念是相互联系着的，它们的 关系是“共生” 关系是“共生”，有本征值必有本征向量；反过来，本征向 量 是相对于某一本征值而言的; 是相对于某一本征值而言的;
fB (x) = xI − B = T−1 (xI − A)T =T
−1
xI − A T
= xI − A = fA (x)
由于矩阵A是线性变换 由于矩阵 是线性变换
因此，矩阵Ａ 的特征多项式， 因此，矩阵Ａ的特征多项式就是线性变换σ 的特征多项式， 记为 fσ (x) ，即 fσ (x) = fA (x)． 于是又有： 于是又有： 定理7.5.2 设 σ ∈ L(V) ，λ ∈F是σ的一个特征值的充要 定理 条件是 λ是σ 的特征多项式 fσ (x) 的一个根． 的一个根． 小结： 的特征值和特征向量的方法． 小结：求线性变换σ 的特征值和特征向量的方法．
该齐次组的所有解为(a, b, a), a, b ∈ F 因此,属于特征 的特征向量是 因此 属于特征1的特征向量是 属于特征
(a,b, a), a, b∈F且 ,b不 为 a 全 零
对于λ = −1 ,有齐次线性方程组 有齐次线性方程组
−1 0 −1 x1 0 0 −2 0 x2 = 0 −1 0 −1 x 0 3
的一个特征值， 满足 σ(ξ) = λξ, ，即 λ是 σ 的一个特征值，ξ 就是 属于 λ 的一个特征向量． 的一个特征向量． 由此可求属于 λ 的特征向量 ξ ． 对于行列式 λI − A ，我们给出 定义2：设 设 定义
a11 a12 a21 a22 A= L L a n1 an2
3）σ 的本征值 λ必须属于数域F(讨论的范围，基础域）， 必须属于数域F 否则λξ 无意义; 无意义; 4）在关系式中，尽管ξ = o对于任意λ都成立，但此时的 却不是特征向量，因而要把它除外; ξ 却不是特征向量，因而要把它除外; 5）特征值、特征向量与一维不变子空间有密切联系; ）特征值、特征向量与一维不变子空间有密切联系; 6）一个线性变换的本征值不唯一，且属于同一本征值的本 征向量亦不唯一( 2,例 征向量亦不唯一(例2,例1); 7) 同一个线性变换的不同本征值的本征向量不同; 同一个线性变换的不同本征值的本征向量不同; 8）并不是每个线性变换都有特征值(例3). ）并不是每个线性变换都有特征值( 例题（ 290---例 例题（P290---例1、2、3，略）
的一个特征向量,则
或
x1 0 x2 = 0 (λI − A) M M xn 0
（＊) （＊
由于 ξ ≠ o ,所以齐次线性方程组(＊)必有非零解,因而
λ − a11
−a21 λI − A = L −an1
由此可求特征值λ.
L a1n L a2n L L L ann
则行列式
x − a11 fA (x) = xI − A = −a21 L −an1
−a12 L −an2
L L
−a1n −a2n L
x − a22 L
L x − ann
பைடு நூலகம்
称为矩阵A的特征多项式． xI − A = 0 称为 的特征方程， 称为A的特征方程 的特征方程， 称为矩阵 的特征多项式． 的特征多项式
(xI − A)称为矩阵 的特征矩阵． 称为矩阵A的特征矩阵 的特征矩阵．
由此不难看出， 关于Ｖ中某个基的矩阵， 由此不难看出，若Ａ是线性变换σ 关于Ｖ中某个基的矩阵， 的一个特征值， 而 λ 是 σ 的一个特征值，则 λ 是Ａ的特征多项式fA (x) 的根 于是
fA (λ) = 0
由于同一个线性变换关于向量空间Ｖ 由于同一个线性变换关于向量空间Ｖ中不同基的矩阵是相 似的，我们自然要问 相似矩阵是否具有相同的特征值呢 相似矩阵是否具有相同的特征值呢? 似的，我们自然要问:相似矩阵是否具有相同的特征值呢 定理7.5.1 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具有 相似矩阵具有相同的特征多项式， 定理 相同的特征值． 相同的特征值． 证明： Ａ、Ｂ是线性变换 关于Ｖ中不同基的矩阵， 证明：令Ａ、Ｂ是线性变换σ 关于Ｖ中不同基的矩阵，则 存在可逆矩阵Ｔ，使Ｂ＝Ｔ－１ＡＴ，从而 ＡＴ，从而 存在可逆矩阵Ｔ，使 Ｔ，
关于向量空间Ｖ中基的矩阵， σ 关于向量空间Ｖ中基的矩阵，
0 0 1 例2：求矩阵 A = 0 1 0 的特征值和特征向量。 ： 的特征值和特征向量。 1 0 0
x
0
−1
fA (x) = xI − A = 0 x −1 0 = (x −1)2 (x +1 ) 解： −1 0 x
A的特征值为１(二重 和－1 的特征值为１ 二重 的特征值为 二重)和 对于λ =1 ,有齐次线性方程组 有齐次线性方程组
1 0 −1 x1 0 0 0 0 x2 = 0 −1 0 1 x 0 3
1 0 −1 1 0 −1 由于 0 0 0 →0 0 0 −1 0 1 0 0 0
7.5 本征值和本征向量
一.内容分布 7.5.1 线性变换的本征值和本征向量的定义 7.5.2 本征值和本征向量的计算方法 7.5.3 与本征值和本征向量相关的几个问题 二.教学目的 1.理解本征值和本征向量的概念 2.熟练掌握求线性变换(矩阵)的本征值和本征向量 的方法 三.重点难点 线性变换(矩阵)的特征值和特征向量的求法
−a12 λ − a22 L −an2
L −a1n 1n L −a2n =0 L L L λ − ann
反过来, 则齐次线性方程组(*) 反过来,若 λ ∈ F, 满足 λI − A = 0 ,则齐次线性方程组(*)
, 有非零解 (x , x2 ,L xn ) ，因而 ξ = x1α1 + x2α2 +L+ xnαn 1
7.5.2 寻求特征值和特征向量的方法
α , 是V 设(V,F,dimV=n), σ ∈ L(V) , { 1,α2 ,L αn} 的基,
σ关于这个基的矩阵是 A = (aij )n×n
令
ξ = x1α1 + x2α2 +L+ xnαn ∈V , 令σ的属特征值λ
x1 x1 x2 x2 A =λ M M xn xn