数学物理方法常微分方程的本征值问题

8
常微分方程的本征值问题
三、正交函数系
、 1、正交函数定义：如果两个函数 f1 ( x ) f 2 ( x ) 满足 正交函数定义：
f1 ( x ) f 2 ( x ) dx = 0 ，则称它们在区间 [ a , b ] 上正交
∫
b a
如果函数是复函数，则写为 如果函数是复函数， 2、归一化定义： 归一化定义：
N n = ∫ y n 2 ( x ) dx a
b 1 2
称为归一化因子。 称为归一化因子。
b a
∫
b a
yn
2
( x ) dx = N
2 n
⇒∫
yn ( x ) yn ( x ) dx = 1 ⋅ Nn Nn
yn ( x ) 令ϕ n ( x ) = Nn
b
则有
1 ∫ aϕn ( x) ⋅ϕm ( x) dx = δnm = 0
( a ≤ x ≤ b)
② a = 0 , b = 2π , y ( x + 2π ) = y ( x )
k ( x) = 1 ,q( x) = 0 , ρ ( x) = 1
( 0 ≤ x ≤ 2π) y′′ + λy = 0 ⇒ y ( x) = y ( x + 2π)
本征值 本征函数
f ( x ) = ∑ C nϕ n ( x )
n =1 ∞
C n 可用正交归一条件求得，即 可用正交归一条件求得，
∫ f ( x ) ϕ ( x ) dx = ∑ C ∫
b a m n =1 n
∞
b a
ϕ n ( x ) ϕ m ( x ) dx = ∑ C nδ nm = C m
n =1
∞
C m = ∫ f ( x ) ϕ m ( x ) dx
2
常微分方程的本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
( a ≤ x ≤ b)
① a = 0 , b = l , y ( 0) = y ( l ) = 0
k ( x) = 1 ,q( x) = 0 , ρ ( x) = 1
常微分方程的本征值问题
一、Sturm – Liouville 型方程
d dy k ( x ) − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx dx
( a ≤ x ≤ b)
它与一定的线性齐次边界条件或周期性条件 或自然边界条件可以构成本征值问题， 或自然边界条件可以构成本征值问题，称为 S-L型本征值问题。 型本征值问题。
称为本征函数系， y1 , y2 L , yn 称为本征函数系，同一本征值对应 的本征函数可能不止一个。 的本征函数可能不止一个。
13
常微分方程的本征值问题
、 ③ 结论3：对应于不同本征值的本征函数 yn ym ， 结论3
正交， 在区间 [ a , b ] 上带权函数 ρ ( x )正交，即：
∫
b a
称 {ϕ n ( x )} 为正交归一函数系
n= m n≠m
10
常微分方程的本征值问题
3、完备性条件
∑ ϕ ( x′ ) ϕ ( x ) = δ ( x − x′ )
n n n
4、完备性定义：在相应敬意上满足狄里赫利条件 完备性定义： 的任意函数 f ( x ) 可以用正交完备函数系展开成 傅里叶级数， 傅里叶级数，即：
∫
b a
f1* ( x ) f 2 ( x ) dx = 0
由正交定义，对一本征函数系 { yn ( x )} 由正交定义， 当 n ≠ m 时， ∫ a y n ( x ) y m ( x ) dx = 0
b
2 当 n = m 时 ， ∫ y n 2 ( x ) dx = N n
b
a
9
常微分方程的本征值问题
k ( x ) 在区间端点处可能有一阶零点。 在区间端点处可能有一阶零点。
2、性质 结论1 所有本征值都是实数，且非负， ① 结论1：所有本征值都是实数，且非负，即 λ n ≥ 0 结论2 存在无穷多个实的本征值， ② 结论2：存在无穷多个实的本征值，成一递增数列
λ 1 ≤ λ 2 L ≤ λ n ≤ L 对应有无穷多个本征函数
λ 称为本征值
ρ ( x ) 称为权函数
1
常微分方程的本征值问题
几种常见的S 二、几种常见的S-L型本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
( a ≤ x ≤ b)
1、k ( x ) = 1 , q ( x ) = 0 , ρ ( x ) = 1 而 ① a = 0 , b = l , y ( 0) = y ( l ) = 0 ② a = 0 , b = 2π , y ( x + 2π ) = y ( x ) 两种情况下，求解S 两种情况下，求解S-L型本征值问题
λ n = n2
n = 0,1, 2, 3,L
yn = An sin nx + Bn cos nx
4
常微分方程的本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
( a ≤ x ≤ b)
2、Bessel方程的本征值问题 Bessel方程的本征值问题
b a
11
常微分方程的本征值问题
f 狄里赫利条件： 狄里赫利条件： ( x ) 在 [ a , b ] 上只有有限个第一类间
断点，且只有有限个极值点。 断点，且只有有限个极值点。
四、S—L型本征值问题的性质 L
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
n
f ( x ) = ∑ C n yn ( x )
n =1
∞
广义傅里叶级数。 广义傅里叶级数。
Cn
∫ =
b a
y n ( x ) f ( x ) ρ ( x ) dx
∫
b a
y n ( x ) ρ ( x ) dx
2
14
常微分方程的本征值问题
15
常微分方程的本征值问题
16
常微分方程的本征值问题
17
常微分方程的本征值问题
18
常微分方程的本征值问题
19
( a ≤ x ≤ b)
1、条件
、 中连续； ① ρ ( x ) k ( x ) 及其导数在 [ a , b ] 中连续；
中连续， ② q ( x ) 在 ( a , b ) 中连续，在区间端点连续或最多 有一阶极点； 有一阶极点；
12
常微分方程的本征值问题
③
( a, b )
ρ 中， ( x ) > 0 , k ( x ) > 0 , q ( x ) ≥ 0
2 d2 y dy x + x + ( x2 − m2 ) y = 0 dx2 dx y ( 0) < M 有限 y ( R) = 0
d 2 y dy m 2 d dy m 2 x 2+ y + xy = 0 ⇒ − x dx − x y + xy = 0 dx dx x dx
m2 , ρ ( x) = x , λ = 1 k ( x) = x ,q( x) = x
5
常微分方程的本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
( a ≤ x ≤ b)
3、Legendre 方程的本征值问题
d2 y dy m2 ( 1− x2 ) dx2 − 2x dx + l ( l +1) − 1− x2 y = 0 y ±1 < M 有限值 ( )
d dy m2 ( 1− x2 ) dx − 1− x2 y + l ( l +1) y = 0 dx
m2 k ( x ) = 1 − x2 , q ( x ) = , ρ ( x ) = 1 , λ = l ( l + 1) 2 1− x
6
常微分方程的本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( 题来自量子力学中的谐振子问题
7
常微分方程的本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
( a ≤ x ≤ b)
5、Laguerre 方程的本征值问题 xy′′ + ( 1 − x ) y′ + λy = 0
d − x dy xe + λe− x y = 0 dx dx 1 x 2 y ( 0) 有限,于x →∞, y的增长不快于e
k ( x ) = xe − x , q ( x ) = 0 , ρ ( x ) = e − x
这个本征值问题来自量子力学中的氢原子问题
y′′ + λy = 0 ⇒ y ( 0) = y ( l ) = 0
本征值 本征函数
(0 ≤ x ≤ l)
2
nπ λn = l nπ yn = sin x l
n = 1, 2, 3,L
3
常微分方程的本征值问题
d dy k ( x ) dx − q ( x ) y + λρ ( x ) y = 0 dx
( a ≤ x ≤ b)
4、Hermite 方程的本征值问题 y′′ − 2 xy′ + λy = 0