数学物理方程作业
数学物理方程作业
习题2.12. 长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。
试写出方程的定解条件。
解：边界条件：u(x,t)|0=x =0自由端x=L ，u x |L x ==0初始条件：u(x,t)|0=t =x Lbu t |0=t =0 习题2.21. 一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。
试导出杆上温度u 满足的方程。
解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+侧面热交换的热量rdxdtu u k t x u dt t x u dx r c dt t x u t dx x u r k x x πρππ2)()],(),([)],(),([1122-+-+=-+即为：rdxdtu u k dt dxu r c dxdt u r k t xx πρππ2)(1122-+=)(211u u k ru c kru t xx -+=ρ所以温度u 满足的方程为r c u u k u c ku xx t ρρ)(211--=-习题2.34. 由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰=•VdV dS E ρε1,求证：ερ=•∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰•S dS E =⎰⎰⎰⎰⎰⎰=•∇VVdV EdV ρε 1所以ερ=•∇E 又因为ερϕϕϕ=-∇=-∇•∇=•∇⇒•-∇=2)(E E 习题2.4 2.（2）032=-+yy xy xx u u u 解： 特征方程：032)(2=--dx dy dx dy ，则有1-3或=dxdy即为 13c x y += 2c x y +-= 令x y +=η x y 3-=ξ 则由：ηηξηξξu u u u xx +-=69 ηηξηξξu u u u xy +--=23 ηηξηξξu u u u yy ++=2 推得 0=ξηu则解得 )()3()()(x y g x y f g f u ++-=+=ηξ （5）031616=++yy xy xx u u u 解：由特征方程：0316)(162=+-dxdydxdy解得4143或=dx dy 则可令 x y -=4ξ x y 34-=η所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4431y x y x Q ηηξξ 因此=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T Q a a a a Q a a a a 2212121122121211⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡03232022121211a a a a 即032=-ξηu所以)34()4(x y g x y f u -+-= 习题2.6 1.（3）.证明)0(||)()(≠=a a x ax δδ证明：当0>a 时a dx x a ax d ax a dx ax 1)(1)()(1)(===⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-δδδ所以)0()()(≠=a ax ax δδ当0<a 时adx x a ax d ax adx ax dx ax 1)(1)()(1)()(-=-=---=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-δδδδ所以)0()()(≠-=a ax ax δδ综上：)0(||)()(≠=a a x ax δδ习题3.13.（4）求解边值问题的固有值和固有函数⎩⎨⎧=+'==+''==0][,0|002L x x hX X X X X β解：当0=β时，B Ax x X +=)(代入边值条件得：B X x ===0|00100)(][=+=⇒=+=+'=hL A AL h A hX X L x 或 所以当010=+≠hL A 且时Ax x X =)(当010≠+=hL A 且时0)(=x X 当0>β时，)sin()cos()(x B x A x X ββ+= 代入边值条件得：A X x ===0|00)sin()cos(][=+=+'=L hB L B hX X L x βββ 解得：L hn βββtan -=为的正根所以)sin()(x x X n n β= 当0<β时，无解。
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
习题11数学物理方程和定解条件
ρ + ε1Δ ρ ϕ +ε 2Δϕ
（ 0 < ε1 < 1 ， 0 < ε 2 < 1 ） ，
即
1
( ρ + Δρ )
Δu Δρ
−ρ
ρ + Δρ
Δu Δρ
ρ
ρ
Δρ
1 ∂ ρ ∂ρ
+
Δu 1 Δϕ
−
ϕ + Δϕ
Δu Δϕ
ϕ
ρ2
Δϕ
−
ρ m ∂ 2u
T ∂t 2
ρ + ε1Δρ ϕ + ε 2 Δϕ
=0
205．在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的吸收和增殖过程。设在单位时间 内单位体积中，吸收和增殖的中子数均正比于该时刻该处的中子浓度 u ( r , t ) ，因而净增中 子数可表为 α u ( r , t ) ， α 为比例常数。试导出 u ( r , t ) 所满足的方程。 用 q 表示单位时间流过某单位面积的中子数，有 q = − D∇u 。取一个六面体
− sin θ
θ +Δθ
∂u ⎤ 1 ⎛ ∂u k r + Δ ⎜ ⎥ ∂θ θ ⎦ Δϕ ⎜ ⎝ ∂ϕ
−
ϕ +Δϕ
= ρ ca 2 sin 2 θΔr
令 Δr , Δθ , Δϕ , Δt → 0 ，因为
Δu 。 Δt ⎡ ∂u ⎢sin (θ + Δθ ) ∂θ ⎣ − sin θ
θ +Δθ
1 Δθ
∂u ∂x
= 0 。由于左端点固定，故有 u
x=l
x=0
=0。
令（a）式中 t = 0 有 F − E S
∂u ∂x
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、选择题1.在一个匀速运动中，物体的速度v与物体的位移s的关系是：A.v=s/tB.v=s/t^2C.v=s*tD.v=s*t^22.以下哪个物理量属于标量？A.速度B.力C.加速度D.距离3.物体质量为m，重力加速度为g，物体所受重力的大小为：A. mgB. mg/2C. 2mgD. mg^24.物体自由落体下落t秒后的位移s与时间t的关系为：A. s=gtB. s=gt^2C. s=gt^3D. s=1/gt5.以下哪个物理量属于矢量？A.面积B.速度C.力D.质量二、填空题1.一辆车以10m/s的速度匀速行驶了20秒，那么它的位移是_____________米。
2.物体在一个小时内匀速运动40千米，速度为_____________米每秒。
3.物体在水平地面上受到10牛的推力，质量为2千克，加速度为_____________。
4.一个物体从100米高的地方自由落体，下落10秒后的速度是_____________米每秒。
5.物体质量为5千克，重力加速度为10米每秒的平方，所受重力的大小是_____________牛。
三、解答题1.用物理公式解释为什么月亮绕地球运动？答：根据万有引力定律，任意两个物体之间都存在引力。
月球的质量相对较小，在地球的引力作用下，它会受到向地心的引力，从而绕着地球进行运动。
2.一个物体以10m/s的速度沿水平方向运动，另一个物体以5m/s的速度沿同一方向追赶第一个物体，如果第二个物体和第一个物体质量相同，两个物体发生碰撞后，它们的速度是多少？答：根据动量守恒定律，两个物体的总动量在碰撞前后保持不变。
因此，第一个物体的动量为10 kg·m/s，第二个物体的动量为5 kg·m/s。
由于两个物体质量相同，碰撞后它们的速度将相等。
设碰撞后的速度为v，则第一个物体的动量为10v kg·m/s，第二个物体的动量为5v kg·m/s。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章．颠簸方程§ 1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂均衡地点，试导出此线的细小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向老是沿着弦在 x 点处的切线方向。
仍以 u( x, t) 表示弦上各点在时辰 t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, xx), 则弦段两头张力在 u 轴方向的投影分别为g(l x) sin ( x); g (l( xx)) sin (xx)此中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角又sintgux.于是得运动方程x2u[l( xx)]u∣xxg [lx]u∣x gt 2xx利用微分中值定理，消去x ，再令 x0 得2ug[( l x) ut 2] 。
x x5. 考证u( x, y,t )t 21在锥 t 2 x 2 y 2 >0 中都知足颠簸方程x 2 y 22u2u2u证：函数 u( x, y,t )1在锥 t 2x 2 2内对变量 t 2x 2 y 2t 2 x 2y >0y 2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。
且(t2x 2 y 2) 2 tt2u35(t2x2y 2) 23(t2x2y2) 2 t2t23(t 2x 2y 2) 2 (2t 2x2y 2)u3x2 y 2)2 x(t2x2u35t2x2y223 t2x2y22 x 2x25 t2x2y22 t22 x2y22 u5同理t2x2y22 t2x22y2y22 u 2u52u .所以t 2 x 2y 2 2 22x 2 y 2x2y2tt2即得所证。
§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用流传波法，求解颠簸方程的特点问题（又称古尔沙问题）2ua 22ut 2x 2u x at 0(x) (0)(0)u x at( x).解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 ( x) =F （ 0） +G （ 2x ）令 x+at=0得( x) =F （2x ） +G(0)所以F(x)=( x) -G(0).2G （ x ） = ( x) -F(0).2且F （ 0） +G(0)= (0) (0).所以u(x,t)=(xat) + ( x at ) - (0).22即为古尔沙问题的解。
数学物理方程练习题
σf 4dSdt.
根据热量平衡有 故所求边界条件为
−k
∂u ∂n
dSdt
=
σu4dSdt
−
σf
4dSdt.
−k
∂u ∂n
=
σ(u4
− f 4).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 49
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0,
⇒ Q(t) = Q0e−βt.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
∫ t2 cρ ∂u dtdxdydz =
.
热传导方程
.
Heat Equations
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 49
目录
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
热传导方程及其定解问题的导出
.E.xample 1.2
.试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为
数学物理方程作业汇总
第2次数学物理方程习题答案第七章6、一根杆由截面相同的两段连接而，两段的材料不同，弹性模量分别是EⅠ和EⅡ，密度分别是ρ1、ρ2.试写出衔接条件。
解：两段杆的接点设为x=0。
其波动方程分别为：011211111111>=-<=-x u Eu x u E u xx tt xx ttρρ在连接处，由于该波的振幅是连续的 ，于是有： )1(01101+-===x x u u在交接处的应力应该相等，这是由于相互作用力相等而得由于 xu n u xu n u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂111111 所以有：)2(01111011+-==∂∂=∂∂x x xu SE xu SE第3次第4次1、求解无限长弦的自由振动。
设弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)(x a ϕ'-。
解： 泛定方程： ∞<<∞-=-x u a u xx tt 02初始条件：⎪⎩⎪⎨⎧'-====)()(00x a u x u t t t ϕϕ对于一维无界的弦振动，其解可用达朗贝尔公式：⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),(其中：)()(x a x ϕψ'-= 对于积分项，有：)]()([21)(21)]([21at x at x d d a a at x at x at x at x +--=='-⎰⎰-++-ϕϕξϕξξϕ 所以，其解为： )()]()([21)]()([21),(at x at x at x at x at x t x u -=+--+-++=ϕϕϕϕϕ则只有右行波，是一行波，不是驻波。
8、半无限长的弦，初始位移和速度都是0，端点作微小振动t A u x ωsin 0==。
求解弦的振动。
解：将半无限长的弦拓展为无界空间的弦。
则其泛定方程为：∞<<∞-=-x u a u xx tt 02初始条件为：⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥===0)(00)(0000x x x u x x x u t tt ψϕ 其中)(x ϕ、)(x ψ为待定，（因为该两等于0时，方程只有0解） 边界条件：t A u x ωsin 0== 该泛定方程的达朗贝尔解为：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( 将边界条件代入达朗贝尔解，得：⎰-+-+=atatd a at at t A ξξψϕϕω)(21)]()([21sin注意到：当0≥x 时，有0)(,0)(==x x ψϕ。
《数学物理方程-福州大学-江飞》作业chapter1
2vxx 2 2 A
0, v(l,t)
cos 0
2t
x
/
l
,
v(x, 0) vt (x, 0) 0
利用齐次化原理可得 v t w x,t; d , 其中w x,t; 0
满足
wwt(t 0, ta)
2wxx , 0,
w(l,
t
)
0,
w(x, )， wt (x, ) 22 Acos 2 x / l.
cos
2t
cos
k
al
1t
cos 2t cos k al1t
2l
2(2 k a，l1)
2(2 k al1)
if k .
a
u(x,t) U (x,t) v(x,t), U (x,t) A sin2 t x / l, v t w x,t; d , 0
v
42 Al 1k1
Eux x0 k[u(0,t) v(t)]
支承固定时
其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件 f (t) 0.
ux u) x0 f (t), 其中 k / E, f (t) kv(t) / E.
初始状态：
运动 t 时刻：
0
l 支承
x
T (l,t) E(l)ux (l,t)
质点 x l T (l,t)
ux
u) x0
f (t),
其中
k
/
E,
f (t) kv(t) /
E.
4. 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力 作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横 振动方程。
解 设弦长为 l ，弦的线密度为，则x点处的张力T (x) 为
T (x) g(l x) T (x) ,
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热传导方程及MATLAB 在其的应用摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。
为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。
同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。
关键字：数学物理方程 热传导方程数学物理方程是指在物理学、力学、程222222222()u u u u txyza∂∂∂∂=++∂∂∂∂、热传导方程u t∂=∂斯方程2222220u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂是最为典型的三个方程。
在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。
物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。
在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。
此外，还有好多可以产生热裂的现象。
为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。
[1]一、热传导方程的导出物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。
不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。
（一）热传导方程泛定方程的推导在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。
构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。
一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即：21QQ QQ-=+入内其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ⎡⎤⎣⎦，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ⎡⎤⎣⎦，时刻内物体内部热源产生的热量。
二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数(u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。
在物体内任意沿法向n方向，物体在无穷小时段d t 内，流过d t 、热量通过的面积ds 及温度沿(,,)udQ k x y z dsdtn ∂=-∂其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值；u n∂∂ 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n的方向的变化率；等式中的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n⋅是由低温区指向高温区，故热流方向总与温度梯度方向相反。
在物体G 内任取一闭曲面Γ，它所包围的区域记为Ω，则在时间段12t t ⎡⎤⎣⎦，内通过闭曲面Γ流入的全部热量为： 21{(,,)}ut k x y z ds dt tnQΓ∂=∂⎰⎰⎰ 入（1）若G 内有热源，其热源密度为(,,,)F x y z t ，则在时间段12t t ⎡⎤⎣⎦，内在区域内产生的热量为：21(,,,)t dt F x y z t dVtQΩ=⎰⎰⎰⎰内（2）对G 内各点由时刻1t 温度1(,,,)u x y z t 变化到时刻2t 温度2(,,,)u x y z t ，共吸收热量：2112[(,,,)(,,,)]c u x y z tu x y z t dVQQ ρΩ-=-⎰⎰⎰ （3）其中，c 为物体各点的比热，ρ是密度。
对各向同性的均匀物体来说c 与ρ都是常数。
由能量守恒定律，因此就成立：22112112[(,,,)(,,,)]{(,,)}(,,,)c u x y z tu x y z t dVu t t k x y z ds dt dt F x y z t dVtt n QQ Q QρΩΓΩ-=-=+∂=+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 入内（4）今假设函数关于变量x ，y ，z 有二阶连续导数，关于有t 一阶连续导数，则有：2121(,,,)(,,,)ut u x y z t u x y z t dt tt∂-=∂⎰ （5）所以：212112[(,,,)(,,,)][]c u x y z tu x y z t dVut c dt dV t t QQ ρρΩΩ-=-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6）利用奥斯托洛格拉特斯基（奥氏）公式，可以把（1）式化为：2121{(,,)}[()()()]ut k x y z ds dt tn u u u t kk k dVtxxy y z z QΓΩ∂=∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 入（7）将（6）、（7）式代入（4）式，可得：21221112[][()()()](,,,)u t c dt dV t t u u u t t kk k dV dt F x y z t dVttxx y y z z QQ Q Q ρΩΩΩ∂-=∂=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰入内交换积分次序，可以得到2211[()()()(,,,)]u u u u t t c dV dt kkkF x y z t dVdttttxxyyzzρΩΩ∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()(,,,)u u kkF x y z t yyzz∂∂∂∂++∂∂∂∂k 、c 、ρ为常数，若记2k c a ρ=、f =2222222()u u u u ftxyza∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ （8）称之为非齐次热传导方程，a 表示物体温度变化能力的指标，称导温系数。
若物体内部无热源，即0F=，则有：2222222()u u u u txyza∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （9）若物体是一个薄片，上下底面不与周围介质进行热交换，则方程（9）变为：22222()u u u t xya∂∂∂=+∂∂∂ （10）若物体是细长的杆，侧面不与周围的介质进行热交换，垂直轴线的截面上各点温度分布相同，则方程（9）可化为：222u u t xa∂∂=∂∂ （11）（9）、（10）、（11）分别称为三维、二维、一维的热传导方程。
（二）定解条件的提出从方程的导出过程可以看出，热传导方程是热学规律的数学形式。
具有相同常数k 、c 、ρ，的物体，不管它的形状如何，所处的外界条件及起始的温度状况如何，它满足相同的方程。
但要预测温度变化的状况，求出描绘温度变化的函数(,,,)u x y z t ，不能只依赖于方程，还必须考察物体所处的外界状况及起始时的状况。
描绘这些状况的数学条件分别称为边界条件和初始条件。
显然，在起始温度相同而外界条件不同，或外界条件相同而起始温度不同时，描绘温度变化的函数(,,,)u x y z t 都不会是相同的。
1、初始条件定量地表达初始状态的式子称作为初始条件。
物体热传导的初始条件是指0t =在时，物体中温度的分布，即：(,,,0)(,,)u x y z x y z ϕ=其中，(,,)x y z ϕ为已知函数。
2、边界条件一块烧红的铁放在冷水了要比放在热水里冷却得快，边界上的状况影响着边界内侧，内侧又影响着临近各点直至整个区域。
因此，考察一个物理问题不能不考虑外界对它的影响。
定量地描述边界状况的数学式子就是边界条件。
（1）第一种边界条件已知物体与外界接触表面的温度，这种条件的数学表达式为：(,,)(,,,)(,,,)x y z u x y z t f x y z t ∈Γ=其中，Γ表示物体的边界曲面，(,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数。
（2）第二种边界条件在物体和外界接触表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上单位时间内所流过的热量Q 是已知的。
这种外界条件实际上表示温度u 在曲面上的法向导数是已知的。
其的数学表达式为：(,,)(,,,)x y z uf x y z t n∈Γ∂=∂其中， (,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数。
（3）第三种边界条件能测量到的仅是和物体接触处的介质的温度1u ，1u 与物体表面上的温度u 往往并不相同。
在已知时研究边界条件还必须利用物理中另一个热传导实验定律（牛顿定律）：物体从一个介质流到另一个介质的热量和两个介质的温差成正比：11()dQ u u dsdtk=-这里的比例常数1k 称为两介质间的热传导系数，取正值。
考察在物体中无限贴近于此表面的曲面1Γ，由于在物体表面热量不能积累，因此在曲面1Γ上的热量流速等于表面Γ的热量流速。
流过曲面1Γ的热量由傅里叶定律决定，而流过曲面Γ的热量由牛顿定律决定，因此有关系式11()ukdsdt k u u dsdt n∂-=-∂即：111uk u kk u n∂+=∂ 由于1k 、k 都是正数，因此这种边界条件还可以写成：(,,)()(,,,)x y z uu f x y z t nσ∈Γ∂+=∂其中， (,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数，σ为已知正数。
这种边界条件称为热传导的第三种边界条件。
（4）稳定温度与拉普拉斯方程[2]当外界环境不随时间而变化时，不管物体的初始温度怎样，当时间t →∞时，物体的温度总是会趋于某种平衡状态。
这时温度u已与时间t 无关，因此它满足拉普拉斯方程：2222220u u u xyz∂∂∂++=∂∂∂在温度稳定时，热量仍在继续流动，不过在任一曲面所包围的区域中热量的流进和流出的代数和都等于零，因此温度不变化。
对于这种方程定解条件中不再会有初始条件。
和热传导方程对应，它也有三种边界条件。
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热传导方程主要是偏微分方程，它的解基本是用公式推导，所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，其中还免不了使用特殊函数。
热传导方程的解，尽管都有明确的物理意义，可是怎样能从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，是一个非常棘手的问题。
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