一阶微分方程的常数变易法的应用探析
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常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。
方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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常数变易法在微分方程中的应用
常数变易法在微分方程中的应用
常数变易法是一种求解微分方程的方法，其基本思想是通过将常数变为变量，将微分方程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
在应用常数变易法时，首先需要将微分方程的解表示为某个未知函数的线性组合，然后将这个未知函数代入微分方程中，通过求解线性微分方程得到原微分方程的解。
具体来说，对于一阶线性微分方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以将解表示为 y = e^[-∫P(x)dx]{∫Q(x)e^[∫P(x)dx]dx + C}，其中 C 是常数。
然后
我们将这个解代入原微分方程中，得到一个关于 C 的线性微分方程，通过
求解这个线性微分方程可以得到原微分方程的解。
常数变易法在求解微分方程时具有很多优点，例如可以将非线性微分方程转化为线性微分方程，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，可以求解某些无法直接求解的微分方程等。
因此，常数变易法在数学、物理、工程等领域中得到了广泛的应用。
一阶线性微分方程的几种解法和思路分析
一阶线性微分方程的几种解法和思路分析魏明彬【摘要】常数变易法是求解线性微分方程的重要方法.数学家是如何想到的,是一个值得探讨的问题.讨论了得到常数变易法的思路.在求解一阶线性微分方程的过程中,根据“任何一个未知函数总可以表示为一个已知的恒不为零的函数和一个待定函数之积”,自然地得到了常数变易法.【期刊名称】《成都师范学院学报》【年(卷),期】2014(030)007【总页数】3页(P122-124)【关键词】线性方程;常数变易法;通解【作者】魏明彬【作者单位】成都师范学院数学系,成都611130【正文语种】中文【中图分类】O175线性微分方程可以说是大家最熟悉的一类微分方程。
讨论线性微分方程的文章也很多。
例如，文[1]借助于因变量代换，得到了三阶变系数线性微分方程的若干新的可积类型。
文[2]给出一类二阶变系数线性微分方程的通解公式。
文[3]将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程 ,从而求得它们的通解。
文[4]探讨了一阶线性自治非齐次微分方程组的特解,以及一阶线性齐次微分方程组的基本解组的求解问题,并提出新的特殊解法,从而得到其通解。
文[5]介绍了一阶线性微分方程及一阶线性微分方程组的解法。
上述文献(以及其他许多文献)，都是从科研角度出发，主要讨论一些特定类型的线性微分方程的解法。
而本文从教学角度出发，主要讨论导出求解一阶线性微分方程的常数变易法的思路。
这样做，有利于引导学生的思考，培养他们的自学能力。
我们称y′+p(x)y=f(x) (1)为一阶线性非齐次微分方程，其中p(x),f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，称y′+p(x)y=0 (2)为(与(1)对应的)一阶线性齐次微分方程。
我们求解方程(1)，通常有三种方法。
一种是积分因子法。
先将方程(1)改写为方程dy+p(x)y dx=f(x)dx (3)一般而言，微分方程(3)不是恰当微分方程。
但是，对微分(3)的两边同时乘以非零因子μ(x)=e∫p(x)dx后，得到的新方程e∫p(x)dxdy+e∫p(x)dxp(x)y dx=e∫p(x)dxf(x)dx(4)却是一个恰当微分方程。
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程
常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。
同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。
求出u，然后回代。
解出方程。
解微分方程的实质就是变量替换，然后化解为可分离变量。
然后回代。
待定系数法考虑以下的微分方程：对应的齐次方程是：它的通解是：由于非齐次的部分是()，我们猜测特解的形式是：把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：因此，原微分方程的解是：()常数变易法假设有以下的微分方程：我们首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。
然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：y = u1y1 + u2y2。
(1)两边求导数，可得：y' = u1' y1 + u2' y2 + u1y1' + u2y2'。
我们把函数u1、u2加上一条限制：u1' y1 + u2' y2 = 0。
(4)于是：y ' = u1y1' + u2y2'。
(2)两边再求导数，可得：y" = u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2"。
(3)把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中，可得：u1' y1' + u2' y2' + u1y1" + u2y2" + pu1y1' + pu2y2' + qu1y1 + qu2y2 = f(x)。
整理，得：u1' y1' + u2' y2' + (u1y1" + pu1y1' + qu1y1) + (u2y2" + pu2y2' + qu2y2) = f(x)。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学领域，微分方程是一种描述变量及其变化率之间关系的方程。
一阶常微分方程是指方程中包含未知函数的一阶导数，并且未知函数只出现一次的微分方程。
本文将详细介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。
一、定义一阶常微分方程可以用以下一般形式表示：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是独立变量，f是已知函数，称为方程的右端函数。
二、解法对于一阶常微分方程，常见的解法有分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法分离变量法的思想是将方程中的变量分开，使得其中一个变量只与自身有关，然后积分求解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx = g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别表示x和y的函数。
(2) 将方程两边同时乘以h(y)，并将包含y的项移到方程的一边，包含x的项移到另一边。
(3) 对两边同时积分，并加上常数C，得到方程的通解。
(4) 若已知初始条件y(x0) = y0，将初始条件代入通解中，求解得到特解。
2. 常数变易法常数变易法是通过对方程中的未知函数引入一个待定的参数，然后通过求解该参数的值来得到方程的解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx + p(x)y = q(x)的形式，其中p(x)和q(x)为已知函数。
(2) 设y = u(x)v(x)，其中u(x)为待定的函数，v(x)为积分因子，通常取v(x) = exp(∫p(x)dx)。
(3) 将上述表达式代入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程。
(4) 解关于u(x)的方程，并代入v(x)求得y的通解。
三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程领域有广泛的应用。
下面介绍其中几个常见的应用：1. 经济学经济学中常常用微分方程来描述经济系统的变化。
例如，人口增长、资源利用和市场供求关系等都可以用一阶常微分方程来模拟和预测。
2. 物理学物理学中常用微分方程来描述物体的运动和变化。
例如，牛顿第二定律F = ma可以写成二阶微分方程形式，而一阶微分方程则可以描述电路中的电荷、电流等量的变化。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
微分方程特解的原理及应用
微分方程特解的原理及应用一、微分方程特解的定义微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
微分方程的解分为通解和特解两种。
通解是指包含所有可能解的一类函数，而特解则是满足特定条件的特定函数。
二、微分方程特解的求解方法1.常数变易法–对于一阶齐次线性微分方程：$$ \\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 $$可先设 $ y = Ce^{-\int P(x) dx} $，其中 $ C $ 为常数，然后求导，并代入原微分方程解得特解。
–对于一阶非齐次线性微分方程：$$ \\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$可先设特解为 $ y = u(x) v(x) $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 为未知函数，然后代入微分方程解得特解。
–对于高阶齐次线性微分方程：a n(x)y(n)+a n−1(x)y(n−1)+...+a1(x)y′+a0(x)y=0可先设 $ y = e^{\lambda x} $，其中 $ \lambda $ 为常数，然后代入微分方程解得特解。
2.拉普拉斯变换法对于线性微分方程，通过对微分方程进行拉普拉斯变换，将微分方程转换为代数方程，从而求解特解。
3.特殊函数法对于特定形式的微分方程，例如常系数线性齐次微分方程、变系数线性齐次微分方程等，可以利用特殊函数的性质求解特解。
三、微分方程特解的应用微分方程是多个学科的重要工具，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
微分方程特解的应用包括但不限于以下几个方面：1.物理学中的应用微分方程特解在物理学中有着重要的应用，特别是在描述运动、振动、波动等过程中。
例如，加速度为常数的匀加速运动可以由二阶齐次线性微分方程得到特解。
另外，通过微分方程描述的波动现象也可以通过特解求得。
2.电路分析中的应用在电路分析中，通过对电路中的电压、电流进行微分方程建模，可以求解电路的特解，从而了解电路的动态行为。
例如，通过对电感、电容和电阻元件建立微分方程，可以求解 LC 振荡电路的特解，获得电路中电流和电压的变化规律。
一阶微分方程的解法及应用
方法 2 化为微分形式
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
9. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x dy y ( y2 ln x 1) dx 0 (3) y 3x2 y2 6x 3
2xy 2y (4) y2 (x 3y ) dx (1 3 xy2 ) dy 0
提示: (1) 原方程化为
令 u = x y , 得 d u u ln u (分离变量方程) dx x
(2) 将方程改写为
d y 1 y y3 (贝努里方程) 令 z y2 d x 2x ln x 2x
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
6. 求解
(5x4 3xy2 y3) dx (3x2 y 3xy2 y2 ) dy 0
(3) y 3x2 y2 6x 3 2xy 2y
64常数变易法
此外, 他对
双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
内容小结
1. 一阶线性方程
方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.
方法2 用通解公式
化为线性方程求解.
2. 伯努利方程
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
可分离 变量方程
齐次方程
线性方程
线性方程
伯努利方程
习题6.1 3; 习题6.2 1 (1); 2 (3); 3 (2); 4(2)
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程
分离变量
两边积分得
故通解为
称为齐次方程 ;
对应齐次方程通解
齐次方程通解
非齐次方程特解
2. 解非齐次方程
用常数变易法:
则
故原方程的通解
即
即
作变换
两端积分得
例1. 解方程
解: 先解
书中给出的伯努利数在很多地方有用,
伯努利(1654 – 1705)
瑞士数学家,
位数学家.
标和极坐标下的曲率半径公式,
1695年
版了他的巨著《猜度术》,
上的一件大事,
而伯努利定理则是大数定律的最早形式.
年提出了著名的伯努利方程,
他家祖孙三代出过十多
1694年他首次给出了直角坐
1713年出
作业
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
提示:
令
则有
利用公式可求出
2. 设有微分方程
其中
4.3一阶线性微分方程 常数变易法 答案详解
解： P(x) cos x,Q(x) esin x 对应齐次线性微分方程的通解为 y C1e P(x)dx C1ecos xdx C2esin x 设非齐次线性方程有形如 y C(x)esin x 的解，将其 y, y 代入非齐次方程得
C(x)esin x C(x)esin x ( cos x) C(x)esin x cos x esin x C(x) 1
1 x
解： dy x2 y dy y x2
dx
1 x dx 1 x
P(x) 1 ,Q(x) x2 1 x
对应齐次线性方程的通解为
y
C1e
1 1 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
C2eln1x
C eln 1x 1 2
C2
1 1 x
C3 1 x
设非齐次线性方程有形如 y C(x) 的解，将其 y, y 代入非齐次方程得 1 x
设非齐次线性方程有形如 y C(x)ex 的解，将其 y, y 代入非齐次方程得
C(x)ex C(x)(ex ) C(x)ex ex C(x) 1
从而有 C(x) x C
故非齐次线性微分方程的通解为 y (x C) ex
2． y y cos x esin x , y(0) 2
C(x) 1 1
x
C(x)
1 (1 x)2
C(x) 1 x
1 1
x
x2
C(x)
(1
x)x2
从而有 C(x) (x2 x3)dx x3 x4 C 34
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一阶微分方程的常数变易法的应用探析The exploration of linear ordinary differential equation of first order with method of leadingvariables作者：刘 *专业：数学与应用数学指导老师：杜 * *完成时间：2010年9月1号常数变易法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。
本文先介绍一阶线性非齐次微分方程的常数变易法，然后讨论四种形式的一阶非线性微分方程的常数变易法，包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法。
M ethod of leading variables is method of solving linear ordinary differential equation of first order. This paper first introduces first-order differential equations of nonhomogeneous linear method, and then discuss variation of four types of first order nonlinear differential equation of variation, including homogeneous equation, the bayesian equation and li CARDS carry equation of variation law.关键词：一阶线性；一阶非线性；常数变易法Key words:A linear ; First-order nonlinear ; M ethod of leading variables1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (4)2、一阶非线性微分方程的常数变易法 (5)2.1 齐次方程)(xygxydxdy+= (5)2.2 贝努力方程：nyxQyxpdxdy)()(+= (5)2.3 黎卡提方程：)()()(2xRyxQyxpdxdy++= (6)2.4 形如)()(xQexpy y=+'的微分方程 (8)目前，由于常微分方程应用的广泛性，人们基本满足于各类型方程的各自求解方法。
基于此，常微分方程课程可以说是各类型的孤立技巧与方法的汇编，从内容联系上势必感到松散。
因此，把握解常微分方程的方法，在学习此类课程时，不仅仅是记住一些解法，更重要的是强调思维方法的训练。
由于常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,且常应用于一阶线性微分方程的求解，因此本文对这一部分的内容做一系统整理。
在数变易法中，将常数换成u(x)就可以得到非齐次线性方程的通解。
1、一阶线性非齐次微分方程的常数变易法为求解一阶非齐次线性微分方程)()(x Q y x p dx dy+= （1） 先解对应的其次线性微分方程y x p dxdy)(= (2) 用分离变量法可得（2）的通解：⎰=dxx p ce y )( （其中c 是任意常数） （3）然后从这通解出发，把这通解中的任意常数c 编译成的未知函数)(x c ，得到⎰=dxx p e x c y )()( （4）于是：⎰-⎰'='dxx p dxx p e x p x c e x c y )()()()()( （5）将（4）和（5）代入方程（1），得：)()()()()()()()()(x Q e x c x p e x p x c e x c dxx p dxx p dxx p +⎰=⎰+⎰'即：)()()(x Q e x c dxx p =⎰'，所以，)()()(x Q e x c dxx p ⎰='-所以：c dx x Q e x c dxs p +⎰=⎰-)()()( 所以，（1）的通解为：))(()()(c dx x Q e e y dxs p dxx p +⎰⎰=⎰- （其中c 是任意常数）例1x xy dxdy42+-= 解：首先求线性齐次方程02=+xy dxdy 的通解2x ce y -=。
再应用常数变易法求线性非齐次微分方程的通解，为此，在上式中把常数c 变易成待定函数)(x c ，即令：2)(x ex c y -=，代入原方程得：x e x xc e x xc e x c x x x 4)(2)(2)(222+-=-'---化简得到：24)(x xe x c ='，上式两边积分得：c e x c x +=22)(于是，原方程的通解为22+=-x ce y2、一阶非线性微分方程的常数变易法个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解，下面介绍四类一阶非线性微分方程的常数变易法。
2.1 齐次方程 )(x yg x y dx dy += （6）对这种方程的解法，在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程，然后根据可分离变量方程的解法去解，在这里我们可以直接用常数变易法求解。
根据常数变易法，先求出原方程“对应”的齐次方程：xydx dy =的通解：cx y = 再令：x x c y )(= （7） 代入（6），有:[])()()()(x c g x c x c x x c +=+'即：[]xx c g dx x dc )()(=，即：[]x dx x c g x dc =)()(两边积分就可以求出)(x c ,然后再代入（7），便得原方程的通解。
例2：求方程xy x y y x tan =-'的通解。
解：将方程改写为xy x y dx dy tan += 可以求得，它“对应”的齐次线性方程xydx dy =的通解为：cx y = 再令：x x c y )(=，代入原方程可得：)(tan )(x c x dxx dc =，即x dx x c x dc =)(tan )(两边积分得cx x c =)(sin （其中c 是任意常数） 代回原变量，得原方程的通解为cx xy=sin（其中c 是任意常数） 2.2 贝努力方程：ny x Q y x p dx dy)()(+= （8）形如ny x Q y x p dx dy)()(+=的方程称为伯努利方程,其中p(x),Q(x)为x 的连续函数,(n≠0,1),对于贝努力方程，在一般的教科书上都是先把它化为线性方程，然后根据线性方程的求解方法去解，在这里我们直接用常数变易法去求解。
根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程y x p dxdy)(=的通解：⎰=dx x p ce y )( 令：⎰=dxx p e x c y )()( 代入（8）得，⎰+⎰=⎰+⎰'dxx p n n dxx p dxx p dxx p e x c x Q e x p x c e x p x c e x c )()()()()()()()()()()( 即：⎰='-dxx p n nex c x Q x c )()1()()()(∴ []dx ex Q x c d x c dxx p n n ⎰=--)()1()()()(∴解得：11)()1()()1()(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-=⎰n dxx p n c dx e x Q n x c所以，（8）的通解为11)()1()()()1(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰=⎰n dx x p n dxx p c dx e x Q n e y利用此公式可求出任一伯努利方程的通解。
例3、求方程26xy xydx dy -=的通解。
解：可以判断，此方程为贝努力方程，这里xx p 6)(=，x x Q -=)(，2=n 原方程“对应”的齐次方程为xydx dy 6=，其通解为：6cx y =， 令6)(x x c y =，代入原方程化简得：1226)()(x x xc x x c -='即：72)()(x x c dxx dc -=，即：dx x x c x dc 72)()(=- ∴ c x x c +=8)(18所以原方程的通解为：c x y x =-826 （其中c 为任意常数）2.3 黎卡提方程：)()()(2x R y x Q y x p dx dy++= （9）一般来说，这一类方程一般来说没有初等解法，不过，若知道其一特解1y ，经变换1y z y +=后，方程就变为贝努力方程，因而可解。
这里直接用常数变易法求一类特殊的黎卡提方程的解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰+=--c bye e ay x Q y x p dx dy dx x p dxx p )()(22)()(，（a 、b 、c 是实常数，且0≠a ）根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程y x p dxdy)(=的解⎰=dx x p ce y )(， 再令⎰=dxx p e x c y )()( （10）代入原方程，有：[][]{}c x bc x c a x Q e dxx dc dx x p ++=⎰)()()()(2)( 分离变量得到：[]⎰=++-dx x p e x Q cx bc x c a x dc )(2)()()()( 两边积分，求出)(x c ，然后代入（10）可以得原方程的通解。
例4、求方程21222)12(1++=-x xye e xx y dx dy 的通解。
解：在这里由于21)(xx p =，x dx x dx x p e e e11)(2=⎰=⎰-- 21)()(22)12(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰--x dx x p dx x p ye c bye e ay故原方程属于上述黎卡提方程，其中4=a ，4=b ，1=c 。
原方程“对应”的齐次线性方程2xydx dy =通解为：x ce y 1-= 令xex c y 1)(-= 代入原方程有：2112212211)1)(2(1)(1)1()()(++=+=-----x x x x x x e e x c e xe x c x x e x c e dx x dc dx dy 即：2221)1)(2(1)(+=--x c e xdx x dc exx即： []dx e xx c x dc x12211)(2)(-=+ 即：[][]⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-x d e x c x c d x 11)(21)(22112两边积分得：x e A x c 121)(21--=+ （其中A 是任意常数）所以得到：21)2(2)(11--=xx Ae ex c 所以原方程的通解为：x xe Ae y 1121)2(21---=（其中A 为任意常数） 2.4 形如)()(x Q e x p y y=+'的微分方程 （11） 先求得（11）“对应”的方程0)(=+'ye x p y 的通解为：[]⎰+-=c dx x p y )(ln再令：[]⎰+-=)()(lnx c dx x p y ，代入原方程化简后得：⎰-=+'dx x p x Q x c x Q x c )()()()()(，由此解出)(x c 后，便得（11）的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰--=⎰⎰-c dx e pdx Q e dx x p y dx x p dx x Q )()()()(ln 利用此公式可以求得)()(x Q e x p y y =+'的通解。