一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用【1】摘要：微分方程在实际中应用广泛。
简单介绍了一阶微分方程的几种应用。
关键词：微分方程;应用;研究微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.一、在力学中的运用动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为F=mg-kv2由牛顿第二定律列出微分方程m■=mg-kv2因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.求解上述微分方程的特解即得：v=■当t→+∞时，有v1=■=■.据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.二、流体混合问题中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.因为c2=■，代入上式有dx=(c1v1-■)dt，或■=-■x+c1v1.这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.于是有4050dx=360(0.05-x)dt，即dx=■(0.05-x)dt，初始条件为x(0)=0.2.将方程分离变量并积分，初值解满足■■=■■dt，求出x有x=0.05+0.15e-■t.t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.三、牛顿冷却定律的应用牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的'介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程■=-k(T-T0)，k>0.例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，解得T(t)=21+13e-0.167t.设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间t=■・ln■≈-1.25小时.由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.四、医学中的应用例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题■=-0.4SS(0)=0.3，通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为S(30)=0.3-0.4×30≈0，而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.参考文献：[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.一阶高次微分方程的求解【2】【摘要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。
一阶与二阶微分方程的解法与应用
一阶与二阶微分方程的解法与应用微分方程是数学中的重要内容，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将重点介绍一阶和二阶微分方程的解法以及其在实际应用中的重要性。
一、一阶微分方程的解法一阶微分方程是指涉及一阶导数的方程。
常见的一阶微分方程形式多种多样，例如求解形如dy/dx = f(x)的微分方程可以使用分离变量法。
具体步骤如下：1. 将方程表达式中的dy和dx分离，形成f(x)dx = dy；2. 对方程两边同时积分，得到∫f(x)dx = ∫dy；3. 求出右边的积分得到y的表达式，即可得到原方程的解。
除了分离变量法，还有其他一阶微分方程的求解方法，例如齐次微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法等。
齐次微分方程可以通过引入新的变量转化为分离变量的形式，而一阶线性微分方程可以利用积分因子法求解。
二、二阶微分方程的解法二阶微分方程涉及到二阶导数的方程。
解二阶微分方程的方法较为复杂，但常见的二阶线性齐次微分方程可以使用特征方程法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0转化为特征方程r² + pr + q = 0；2. 求解特征方程，得到两个特征根r₁和r₂；3. 根据特征根的情况，分为三种情况进行求解：a. 当r₁和r₂为不相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)；b. 当r₁和r₂为复数共轭时，方程的通解为y = e^(ax)(C₁cos(bx) + C₂sin(bx))；c. 当r₁和r₂为相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) +C₂xe^(r₁x)，其中C₁、C₂为常数。
三、微分方程在实际应用中的重要性微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个典型的应用领域：1. 物理学中的应用：微分方程可用于描述物理系统的运动规律，例如牛顿第二定律的微分方程形式为F = ma，其中a是加速度，F是力，m是质量。
1_8一阶微分方程的应用
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或 dx = 初值条件x(0) = 0.2，积分，得 ∫ x
0.2
4 (0.05 − x)dt 45 ∫
0
dx = 0.05 − x
t
4 dt 45
解得 x = 0.05 + 0.15e− 45 t
4
又t = 30min = 1800s，得x ≈ 0.05 四、课堂练习 例：质量为100kg 的物体，在和水平面成30◦ 的斜面上由静止下滑，如 果不计摩擦，试求 1、物体运动的微分方程 2、求5s后物体下滑的距离及此时的速度和加速度 解：设物体速度v = v (t)，下落距离x = x(t)，从而 { dv ◦ dt = g · sin 30 v (0) = 0 解得v (t) = g 2 t，又因为 { =v x(0) = 0
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化简，得曲线族C 满足的微分方程F (x, y, y ′ ) = 0 从而，α ̸= π 2 时的等角轨线方程： F (x, y1 , 当α = π 2 时的正交轨线方程： F (x, y1 , − 1 ′ )=0 y1
′ −k y1 ′ )=0 1 + ky1
例：求直线束y = Cx的等角轨线和正交轨线 解：首先求直线束满足的微分方程 将y = Cx两端求导，得y ′ = C ，则 { y = Cx y′ = C 从而，得直线束的微分方程 dy y = dx x 1、当φ ̸= π 2 时，等角轨线的方程： y′ − k y = ′ 1 + ky x 或 xdx + ydy = 即 xdx + ydy 1 xdy − ydx = 2 2 x +y k x2 + y 2 积分，得 1 1 y ln(x2 + y 2 ) = arctan + lnC 2 k x 或 √ x2 + y 2 = Ce k arctan x 2 email:teacherxi@
常微分方程课件--一阶微分方程的应用
样的曲线族（2.7.2）是已知曲线族（2.7.1）的
等角轨线族（2.7.1）的
正交轨线族。
y kx 0是曲线族 x 2 y 2 C 2 0 例如：曲线族
的正交轨线族。
y Cx 2的正交轨线族。 例2.7.1求抛物线族
解：对方程两边关于x求导得 dy 2Cx dx y Cx 2解出C代入上式得曲线族 y Cx 2 由
2.我国人口的发展预测 设 N (t ) 为t时刻我国人口的总数，且设N (t )是连 续可微函数，在 [t , t t ] 区间内人口的改变有
Nt t Nt bNt t dNt t
上式同除以 t 令 t 0得
r bd
dN rN , N (t0 ) N 0 （2.7.9） dt b为生育率，d为死亡率
（2.7.9）称为人口增长的Malthus模型
求解初始值问题（2.7.9）得
N (t ) N0e
r ( t t0 )
模型的优缺点： 优点：可以做大体预测，经济有效。
r 缺点：作为长期预测不合理， 0 时人口按指数
N 级增长，当 t t0 充分大时， (t ) 就大得令
人难以置信，故需要对模型修改。
在点( x, y )处切线斜率为 dy 2 y dx x
y Cx 2 中的曲线在( x, y ) 由于所求曲线族的曲线与
正交，故满足方程
dy x dx 2y y Cx 2的正交 这是一个变量可分离方程求解得
曲线族为
x 2y k
2 2
2
y
这是一个椭圆，如右图
x
放大此图 图2.16
y
x
图 2.16
§2.7一阶微分方程的应用 1.曲线族的等角轨线
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
6-4-一阶线性微分方程的应用举例
由（4）式可以看出，随着时间 t 的增大，速度 v 逐
渐接近于常数 mg , 且不会超过mg ，也就是说，跳伞后开
k
k
始阶段是加速度运动，但以后逐渐接近于匀速运动.
例 3 一曲线过点（3，4），在该曲线上任意点处的 切线在 y 轴上的截距恰等于原点（0，0）到该点的距离.
解 i）列方程并确定初始条件
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（其中 a 为加速度），得3)
dt
按题意，处始条件为
ii）求通解
v 0 t0
方程（3）是可分离变量后，得
dv dt mg kv m
两端积分
dv mg
第四节 一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤.
利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下：
(1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应 的微分方程及确定初始条件；
(2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出 其通解；
内容小结
解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
作业
P231 1, 3
Qdp
已知该商品的最大需求量为1200，故得初始条件Q p0 1200.
(ii) 求通解.
dQ Q
ln
3
dp,
ln Q p ln 3 C1
即所求通解为
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究一阶线性常微分方程是微积分中的重要内容，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍一阶线性常微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来了解一下什么是一阶线性常微分方程。
一阶线性常微分方程是指形如dy/dt + p(t)y = q(t)的微分方程，其中p(t)和q(t)是给定的连续函数。
解一阶线性常微分方程的方法之一是分离变量法。
首先将方程变形为dy/y = -p(t)dt，然后对两边同时积分，得到ln|y| = -∫p(t)dt + C，其中C为常数。
再通过对数的性质，得到y = Ce^(-∫p(t)dt)，其中C为任意常数。
另一种解一阶线性常微分方程的方法是常数变易法。
假设方程的解为y =u(t)e^(∫p(t)dt)，将其代入原方程后化简可以得到对于函数u(t)的一个关系式，通过求解这个函数关系式可以得到原方程的解。
除了以上两种方法外，还有一种更一般的解法，即利用积分因子法。
积分因子的定义为μ(t) = e^∫p(t)dt，将方程两边同时乘以积分因子，可以将原方程化为d(μ(t)y)/dt = μ(t)q(t)，然后对方程两边同时积分，最后可以得到y =(1/μ(t))(∫μ(t)q(t)dt + C)，其中C为常数。
除了以上介绍的解法，还有一些特殊类型的一阶线性常微分方程可以通过其他方法解决，比如可分离变量、恰当微分方程等。
在具体问题中，我们可以根据方程的形式选择适当的解法。
一阶线性常微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，一阶线性常微分方程经常被用于描述一些物理过程，比如弹簧振动、电路中的电流变化等。
在经济学中，一阶线性常微分方程也被广泛用于建模，比如描述投资增长、人口增长等经济现象。
此外，在工程学、生物学等领域中，一阶线性常微分方程也有许多应用。
例如，在电路中，根据基尔霍夫定律可以得到电路中的电流满足一阶线性常微分方程。
通过解这个微分方程，可以得到电路中电流的变化规律，进而帮助工程师设计电路、解决电路中的问题。
一阶微分方程应用举例
t i1
?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
研究解的性质
模型4
di si i dt ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
SIR模型
消去dt
/
1 di 1 s ds i i0 ss
0
相轨线
i ( s ) ( s 0 i0 ) s
1 s s0
P2
im
s 1 / , i im
P1 P3
s 满足 s 0 i 0 s
ln
0
0
s
S0 1 /
s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
一阶微分方程的应用
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
例1混合溶液问题
问题 设有一容器，内有100升盐水，其中含盐50 克。要将浓度为2克/升的盐水以流速3升/分 钟注入容器内，同时将搅拌均匀的混合物 以流速2 升/分从容器内流出。试求30分钟 后容器内所含的盐量。
di i (1 i ) i dt i (0 ) i 0
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一阶微分方程的应用
（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.
步骤:
利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.
),(y x M y x
o 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.
提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为
x
x y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '
=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用
2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.
mg
)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =
（2）热学
例3 发动机冷却系统设计
(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)
dt
T T k dt dT e )(-+=α.
之间的关系与试建立发动机温度t T ,
),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α
例4. 已知某车间的容积为
的新鲜空气
问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空
的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含
则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t
∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程
t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-5400
5400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为
t = 30时5406.05400100
06.0⨯=⨯=x 250
4ln 180≈=k 2500
5400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x
解定解问题因此每分钟应至少输入250 3
m 新鲜空气.初始条件
得k = ?
（3）电学
例5 ~R
L K
)(t i t
E E m ω=sin 0)(=--+iR dt
di L E ).
(t i R L 串联电路，求下图为一个-
（4）原子物理
例6 铀的衰变规律
M dt
dM λ-=.
,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===
3、其它例7 种群增长模型
2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02
N N t N ==>时死亡率ββ
小结
如何建立微分方程?
(1) 利用已知规律
(2) 微元法
(3) 导数积分的几何意义等。