微分方程及其分类
微分方程的通解总结
微分方程的通解总结一、什么是微分方程微分方程是数学中研究函数与其导数之间关系的一种方程。
它描述了函数取值及其导数和之间的关系，常被应用于物理、工程等领域中各种变化的解析描述。
微分方程在数学中占有重要地位，被广泛应用于分析和建模问题。
二、微分方程的定义与分类1. 微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程，通常有如下形式：F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0其中，y是未知函数，x是自变量，y′,y″,…,y(n)分别代表y的一阶、二阶、…、n阶导数。
2. 微分方程的分类根据微分方程中未知函数和自变量的个数，微分方程可以分为以下几类：•常微分方程：只涉及一个自变量的微分方程。
•偏微分方程：涉及多个自变量的微分方程。
根据微分方程中导数的阶数，微分方程可以分为以下几类：•一阶微分方程：方程中最高阶导数为一阶。
•二阶微分方程：方程中最高阶导数为二阶。
•高阶微分方程：方程中最高阶导数为高于二阶的阶数。
三、常微分方程的通解求法常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
对于常微分方程，我们可以通过以下方法求得其通解：1. 变量可分离法如果微分方程可以写成M(x)dx+N(y)dy=0的形式，其中M(x)只与x有关，N(y)只与y有关，那么可以通过变量分离的方法求解。
具体步骤如下：1.将微分方程写成M(x)dx+N(y)dy=0的形式。
2.将M(x)与x分离，将N(y)与y分离。
3.对两边同时积分，得到F(x)+C1=∫M(x)dx和G(y)+C2=∫N(y)dy，其中C1和C2为常数。
4.化简得到原微分方程的通解F(x)+G(y)=C，其中C=C1+C2。
2. 齐次微分方程齐次微分方程是指可以写成dy/dx=f(y/x)的形式的微分方程。
可以通过以下步骤求解：1.令u=y/x，将原微分方程转化为dy/dx=f(u)。
2.将dy/dx=f(u)变形为du/f(u)=dx/x。
3.对两边同时积分，得到∫du/f(u)=∫dx/x。
数学分析的微分方程
数学分析的微分方程微分方程是数学分析中的一个重要分支，它研究的是含有导数或微分的方程。
微分方程在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解的存在唯一性以及一些常见的微分方程类型。
一、微分方程的基本概念微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
一般形式为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，$y$是未知函数，$y'$表示$y$的一阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶导数。
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})$是已知的函数。
二、微分方程的分类微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只含有未知函数的一阶或多阶导数的方程，而偏微分方程则含有多个未知函数的偏导数。
常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：\[y'=f(x,y)\]其中，$f(x,y)$是已知的函数。
高阶常微分方程则包括了二阶常微分方程、三阶常微分方程以及更高阶的情况。
三、微分方程的解的存在唯一性对于给定的微分方程，我们希望找到满足方程的函数。
解的存在唯一性指的是在一定的条件下，微分方程存在唯一的解。
对于常微分方程而言，解的存在唯一性定理常用的有皮卡-林德勒夫定理和格朗沃尔不等式等。
这些定理给出了某些条件下，常微分方程存在唯一的解的保证。
对于偏微分方程而言，解的存在唯一性的讨论则更加复杂，常需结合边界条件、初始条件以及问题本身的性质来进行具体的分析。
四、常见的微分方程类型1. 一阶线性常微分方程：一阶线性常微分方程的一般形式为：\[y'+p(x)y=q(x)\]其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
解这类方程常用的方法有常数变易法、一阶线性齐次方程的解法以及一阶齐次方程的通解求解方法。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程通解总结
微分方程通解总结微分方程通解总结微分方程是数学中的一个重要分支，其应用广泛，涉及到物理、化学、工程等多个领域。
微分方程通解是解决微分方程问题的关键，本文将对微分方程通解进行全面详细的总结。
一、概念及分类1. 概念：微分方程通解是指能够满足给定微分方程所有初值条件的函数族。
2. 分类：（1）一阶常系数线性微分方程：dy/dx+ay=f(x)（2）一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)（3）二阶常系数线性齐次微分方程：d²y/dx²+ay=0（4）二阶常系数线性非齐次微分方程：d²y/dx²+ay=f(x)二、求解方法1. 一阶常系数线性微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后采用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
2. 一阶非齐次线性微分方程：（1）常数变易法：同上。
（2）待定系数法：根据非齐次项的形式，猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
3. 二阶常系数线性齐次微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解，最终得到通解。
4. 二阶常系数线性非齐次微分方程：（1）待定系数法：根据非齐次项的形式猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的二阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
三、注意事项1. 求解过程中需要注意初始条件和边界条件的使用。
2. 待定系数法需要根据非齐次项猜测特殊解的形式，并且需要保证猜测的特殊解不在齐次方程的通解中。
3. 特征根法需要求出齐次微分方程的特征根和对应的特征向量，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解。
数学中的微分方程解析
数学中的微分方程解析微分方程是数学中一种重要的工具，它描述了自然界和社会现象中的变化规律。
微分方程作为数学分析的一个分支，解析地研究了方程的性质和解的存在性与唯一性，为我们提供了解决实际问题的有效方法。
本文将从微分方程的定义、分类、解法及应用等方面进行解析。
一、微分方程的定义微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的方程。
通常将未知函数用字母y表示，以自变量x为变量，方程中涉及到的导数用dy/dx或y'表示。
微分方程包含了函数的导数，所以它比普通的代数方程更复杂。
二、微分方程的分类微分方程根据方程中出现的未知函数和导数的阶数进行分类。
常见的分类包括：1. 一阶微分方程：方程中只包含一阶导数。
2. 二阶微分方程：方程中包含了一阶和二阶导数。
3. 高阶微分方程：方程中包含了高于二阶的导数。
4. 常微分方程：方程中只涉及一个自变量。
5. 偏微分方程：方程中涉及多个自变量。
三、微分方程的解法微分方程的解析解和数值解是两种常见的解法。
解析解是通过一系列推理和运算求得的解，它通常用公式或函数表达出来。
而数值解是通过数值计算方法得到的，具有一定的误差。
1. 一阶微分方程的解法一阶微分方程常见的解法有可分离变量法、齐次方程法、常系数线性方程法等。
可分离变量法是将微分方程中的变量分离到方程两边，并进行积分，最后得到解。
齐次方程法则将方程化为恰当方程或可化为恰当方程的形式，再进行求解。
常系数线性方程法适用于方程的系数为常数的情况，通过特征根和待定系数等方法求得解析解。
2. 二阶微分方程的解法二阶微分方程的解法比一阶微分方程更复杂一些，常见的解法有特征根法、待定系数法和变量变换法等。
特征根法是通过求解方程的特征方程，得到特征根和特征向量，进而得到方程的通解。
待定系数法则是根据方程的形式，猜测一个形式与未知常数，并通过代入原方程求解常数。
变量变换法则是通过引入新的变量，将二阶微分方程转化为一阶微分方程进行求解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理、工程、生物等领域，为解决实际问题提供了重要的数学工具。
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
微分方程及其分类
一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2)
，且在该曲线上任一点
M ( x, y ) 切线的斜率为 2 x ，求这曲线的方程。
解
设所求曲线为 y y( x )。则有 y 2 x
2 y x C 对上式两边积分有
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即 满 足 y
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式 一组共轭复变函数族．其特征方程的解为 ，所以特征曲线是
(10.3.7)
若令
(10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方程变为
(10.3.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
(2) 若 则
3．线性偏微分方程的叠加原理 需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则
的解（当然要假定这个方
一定是方程
程右端的级数是收敛的）．
微分方程及其解法
一、 微分方程的概念
二、二阶线性偏微分方程的分类
函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具
，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是
十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接
找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有
时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这
样的关系式就是所谓的微分方程。
确定通解中的任意常数的附加条件。
微分方程的基本概念与分类
微分方程的基本概念与分类微分方程是数学中的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
微分方程在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用，可以描述许多自然现象和物理问题。
本文将介绍微分方程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和掌握微分方程的知识。
一、微分方程的基本概念微分方程是表示未知函数与其导数之间关系的方程。
在微分方程中，未知函数一般用y表示，自变量一般用x表示。
微分方程根据未知函数的阶数和表达形式可以分为多种类型，下面将介绍几种常见的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为一阶的微分方程。
一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
一阶微分方程可以进一步分为可分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程等。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为二阶的微分方程。
二阶微分方程的一般形式为d²y/dx²=F(x,y,dy/dx)，其中F(x,y,dy/dx)是已知函数。
二阶微分方程可以进一步分为常系数二阶线性微分方程、变系数二阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程高阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为高于二阶的微分方程。
高阶微分方程的求解相对复杂，需要借助特殊函数或数值方法进行求解。
二、微分方程的分类根据微分方程的阶数、表达形式以及系数的性质，可以将微分方程进行进一步的分类。
1. 阶数分类根据微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程可以分为一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程等。
2. 标准形式分类根据微分方程的标准形式，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只涉及一元函数的微分方程，而偏微分方程是涉及多元函数和它们的偏导数的微分方程。
3. 特殊类型分类在微分方程中，有一些特殊类型的微分方程具有特定的特征和解法。
例如分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程、恰当微分方程等。
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确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义
通解的图象:
特解的图象:
积分曲线族.
微分方程的积分曲线.
d2y 4y 0 2 dx
验证: y C1 sin2 x C 2 cos2 x 是 例3 的解, 并求满足初始条件 y x 0 0 , y x 0 1 的特解.
) 2 x 2 1 (5) x( y
解 （1）是，1阶； （3）是，2阶； （5）是，1阶；
(6) y 3 y 2 x 4
3
（2）是，1阶； （4）是，3阶； （6）不是。
4.微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。 （1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解 （2）微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解 （3） 微分方程的初始条件
解
dy 2C 1 cos 2 x 2C 2 sin2 x, dx
d2y dx
2
4C1 sin2 x 4C 2 cos 2 x
代入原方程 ，有
4C1 sin2 x 4C 2 cos2 x 4C1 sin2 x 4C 2 cos2 x 0.
故函数 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 是原方程的解。
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则 的解（当然要假定这个方
一定是方程 程右端的级数是收敛的）．
3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶
的微分方程？
(1) y x 2 y sinx
(3) y y 0
(2) xydx (1 x 2 )dy 0
(4) y 3 y x 1
1 C1 , 2
因此方程满足初始条件的特解为
1 y sin2 x cos 2 x 2
二阶线性偏微分方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方
法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏
微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微
分方程求解是十分有用的.
论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
（10.2.1） 其中 为 的已知函数．
定理10.2.1 如果
是方程
(10.2.2)
的一般积分，则
是方程
(10.2.3)
的一个特解．
在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
则 C 1. 所求曲线方程为 y x 1 .
2
x 1
2
1.微分方程的定义 凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方 程叫微分方程。 例 y xy ,
y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0.
2.微分方程的分类
未知函数是一元函数的 微分方程。 常微分方程： 偏微分方程： 未知函数是多元函数的 微分方程。
1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：
(1).当 (2)若 也是方程的解； 2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性： 为方程的解时，则 为方程的解，则 也为方程的解；
(1)若
为非齐次方程的特解， 为非齐次方程的通解；
为齐次方程的通解，则
(2) 若
则
3．线性偏微分方程的叠加原理 需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠
可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
微分方程及其解法
一、 微分方程的概念 二、二阶线性偏微分方程的分类
函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具 ，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是 十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接 找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有
时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这
样的关系式就是所谓的微分方程。
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
和
面的讨论，只不过得到的
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是
所以
方程(10.2.11)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2)
，且在该曲线上任一点
M ( x, y ) 切线的斜率为 2 x ，求这曲线的方程。
解
设所求曲线为 y y( x )。则有 y 2 x
y x2 C 对上式两边积分有
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即满 足 y
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与
是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的
偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方
程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解
也表现出各自不同的特点． 我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏 微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行 理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨
椭圆型偏微分方程的判别式 一组共轭复变函数族．其特征方程的解为 ，所以特征曲线是
(10.3.7) 若令
(10.3.8)
作自变量变换，则偏微分方程变为
(10.3.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步 化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式
所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
设特征方程的解为
令
(10.3.2)
进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
(10.3.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令
或
则偏微分方程又变为
(10.3.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
又因为这个解中含有两个独立的任意常数 C 1 ,C 2 ， 而方程为二阶微分方程，所以
函数 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 是原方程的通解。
把条件y x 0 0 代入 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 得
C2 1
把条件y x 0 1 代入 y 2C1 cos2 x 2C 2 sin2 x, 得
泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式 即可.
10.3 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
(10.3.1) 若判别式为 线性偏微分方程分为三类： ，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
时，从方程(10.2.10)可
也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）