偏微分方程分类
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在 ( x0 , y0 ) 不等于零.
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
ξ = ξ(x, y) η =η(x, y)
a11uξξ +2a12uξη +a22uηη +b1uξ +b2uη +cu= f (2)
由于
⎧⎪ux = uξξx +uηηx,
⎪uy = uξξy +uηηy,
⎪
⎨uxx = uξξξx2 +2uξηξxηx +uηηηx2 +uξξxx +uηηxx,
⎪ ⎪uxy
=
uξξξxξy
+ uξη (ξxηy
+ξyηx ) +
uηηηxηy
+ uξξxy
+ uηηxy ,
⎪⎩uyy = uξξξy2 +2uξηξyηy +uηηηy2 +uξξyy +uηηyy,
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
在OXY平面上的积分曲线问题.
方程 a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(的积分曲线)叫做方程
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
的特征方程(特征线).
分解方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
得
dy dx
=
a12
+
a122 − a11a22 a11
(3)
dy dx
=
a12
−
a122 − a11a22 a11
(4)
双曲型偏微分方程的化简
Δ
≡
a2 12
−a11a22
>
0,
方程(3)和(4)的右端是相异的实值,故积分曲线为
两族不同的实曲线,依次表示为 ϕ1( x, y) = c1 及
ϕ2( x, y) = c2
y = y(x)
的一般积分.
对于 ω = ϕ ( x, y)
我们可得
dy = − ωx . dx ωy
( ) a11 ωx 2 + 2a12ωxω y + a22 (ω y )2
=
⎛
⎜ ⎜
a11
⎝
⎛ ⎜⎜⎝
−
ω ω
x y
⎞2 ⎟⎟⎠
+
2a12
ωx ωy
+
a22
⎞
⎟ ⎟
(ω
y
)2
⎠
=
⎛ ⎜⎜⎝
a11
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异.
1
一、二阶线性偏微分方程的分类 二、两个自变量的二阶方程的化简 三、两个自变量二阶常系数方程
设 ( x, y) 为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
其中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 是关于 x, y 在区域 Ω 上
引理2 如果 ϕ( x, y) = c 是方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
的一般积分.
则 ω = ϕ( x, y) 满足方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
证明：由隐函数 ϕ ( x, y) = c 确定的函数
是
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
的实值函数，且连续可微。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡
a2 12
−a11a22
>
0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
在点 ( x0 , y0 ) 为双曲型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡ a2 12
−a11a22
在点 ( x0 , y0 ) 为椭圆型的。
Δ > 0 时，方程称为双曲型;
Δ = 0 时，方程称为抛物型;
Δ < 0 时，方程称为椭圆型;
作变量变换 ξ = ξ ( x, y) η = η( x, y)
(1)
假设变换 (1)是二次连续可微的,且函数行列式
D(ξ ,η) = ξx ξy D( x, y) ηx ηy
故方程(2)中的 a11,a12,a22 为
⎧⎪⎪⎨aa1112
= =
a11ξx2 + a11ξxηx
2a12ξxξy + + a12(ξxηy
a22ξ
2 y
,
+ ξ yηx
)
+
a22ξ yηy
,
⎪ ⎪⎩a22
=
a11ηx2
+
2a12ηxηy
+
a22ηy2 .
设法选取变换(1),使得方程(2)的二阶偏导数项化为
(6)
Φ
=
1 2a12
(
f
− b1uξ
− b2uη
− cu).
在方程(6)中再作自变量变换
ξ = 1 (s + t), η = 1 (s − t),
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
2a12
dy dx
+
a22
⎞ ⎟⎟⎠
(ω
y
)2
( ) =
a11 (dy )2 − 2a12dydx + a22 (dx )2
(ωy )2 = 0
dx
关于 ω=ϕ ( x, y) 的一阶偏微分方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
的求解问题. 转化为求常微分方程
且 dy = − ωx . dx ωy
因此
a11
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
2a12
dy dx
+
a22
=
⎛ a11 ⎜⎜⎝ −
ωx ωy
⎞2 ⎟⎟⎠
+
2a12
ωx ωy
+
a22
所以
( ) = a11
ωx
2
+ 2a12ω xω y (ω y )2
+ a22 (ω y )2
=
0
Βιβλιοθήκη Baidu
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
最简形式.
引理1 如果 ω = ϕ( x, y) 是方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
的一个特解．则 ϕ( x, y) = c 是方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(a)
的一般积分(积分曲线或者通解).
证明：由隐函数 ϕ( x, y) = c 确定了函数 y = y(x)
令 ξ = ϕ1( x, y), η = ϕ2( x, y) (5)
则 a11 = 0,a22 = 0
假设 ϕ1x 及 ϕ1y ,ϕ2x ,ϕ2 y , 不同时为零,则变换(5)
是可逆的.且 a12 ≠ 0. 方程(2)可以化为双曲型方程的第一标准形式
其中
uξη = Φ (ξ ,η , u, uξ , uη ),
=
0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
在点 ( x0 , y0 ) 为抛物型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡ a2 12
−a11a22
< 0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
ξ = ξ(x, y) η =η(x, y)
a11uξξ +2a12uξη +a22uηη +b1uξ +b2uη +cu= f (2)
由于
⎧⎪ux = uξξx +uηηx,
⎪uy = uξξy +uηηy,
⎪
⎨uxx = uξξξx2 +2uξηξxηx +uηηηx2 +uξξxx +uηηxx,
⎪ ⎪uxy
=
uξξξxξy
+ uξη (ξxηy
+ξyηx ) +
uηηηxηy
+ uξξxy
+ uηηxy ,
⎪⎩uyy = uξξξy2 +2uξηξyηy +uηηηy2 +uξξyy +uηηyy,
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
在OXY平面上的积分曲线问题.
方程 a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(的积分曲线)叫做方程
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
的特征方程(特征线).
分解方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
得
dy dx
=
a12
+
a122 − a11a22 a11
(3)
dy dx
=
a12
−
a122 − a11a22 a11
(4)
双曲型偏微分方程的化简
Δ
≡
a2 12
−a11a22
>
0,
方程(3)和(4)的右端是相异的实值,故积分曲线为
两族不同的实曲线,依次表示为 ϕ1( x, y) = c1 及
ϕ2( x, y) = c2
y = y(x)
的一般积分.
对于 ω = ϕ ( x, y)
我们可得
dy = − ωx . dx ωy
( ) a11 ωx 2 + 2a12ωxω y + a22 (ω y )2
=
⎛
⎜ ⎜
a11
⎝
⎛ ⎜⎜⎝
−
ω ω
x y
⎞2 ⎟⎟⎠
+
2a12
ωx ωy
+
a22
⎞
⎟ ⎟
(ω
y
)2
⎠
=
⎛ ⎜⎜⎝
a11
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程 的共性与差异.
1
一、二阶线性偏微分方程的分类 二、两个自变量的二阶方程的化简 三、两个自变量二阶常系数方程
设 ( x, y) 为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
其中 a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 是关于 x, y 在区域 Ω 上
引理2 如果 ϕ( x, y) = c 是方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
的一般积分.
则 ω = ϕ( x, y) 满足方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
证明：由隐函数 ϕ ( x, y) = c 确定的函数
是
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
的实值函数，且连续可微。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡
a2 12
−a11a22
>
0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
在点 ( x0 , y0 ) 为双曲型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡ a2 12
−a11a22
在点 ( x0 , y0 ) 为椭圆型的。
Δ > 0 时，方程称为双曲型;
Δ = 0 时，方程称为抛物型;
Δ < 0 时，方程称为椭圆型;
作变量变换 ξ = ξ ( x, y) η = η( x, y)
(1)
假设变换 (1)是二次连续可微的,且函数行列式
D(ξ ,η) = ξx ξy D( x, y) ηx ηy
故方程(2)中的 a11,a12,a22 为
⎧⎪⎪⎨aa1112
= =
a11ξx2 + a11ξxηx
2a12ξxξy + + a12(ξxηy
a22ξ
2 y
,
+ ξ yηx
)
+
a22ξ yηy
,
⎪ ⎪⎩a22
=
a11ηx2
+
2a12ηxηy
+
a22ηy2 .
设法选取变换(1),使得方程(2)的二阶偏导数项化为
(6)
Φ
=
1 2a12
(
f
− b1uξ
− b2uη
− cu).
在方程(6)中再作自变量变换
ξ = 1 (s + t), η = 1 (s − t),
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
2a12
dy dx
+
a22
⎞ ⎟⎟⎠
(ω
y
)2
( ) =
a11 (dy )2 − 2a12dydx + a22 (dx )2
(ωy )2 = 0
dx
关于 ω=ϕ ( x, y) 的一阶偏微分方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
的求解问题. 转化为求常微分方程
且 dy = − ωx . dx ωy
因此
a11
⎛ ⎜⎝
dy dx
⎞2 ⎟⎠
−
2a12
dy dx
+
a22
=
⎛ a11 ⎜⎜⎝ −
ωx ωy
⎞2 ⎟⎟⎠
+
2a12
ωx ωy
+
a22
所以
( ) = a11
ωx
2
+ 2a12ω xω y (ω y )2
+ a22 (ω y )2
=
0
Βιβλιοθήκη Baidu
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
最简形式.
引理1 如果 ω = ϕ( x, y) 是方程
a11ω
2 x
+
2a12ω xω y
+
a22ω
2 y
=
0
的一个特解．则 ϕ( x, y) = c 是方程
a11dy2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0
(a)
的一般积分(积分曲线或者通解).
证明：由隐函数 ϕ( x, y) = c 确定了函数 y = y(x)
令 ξ = ϕ1( x, y), η = ϕ2( x, y) (5)
则 a11 = 0,a22 = 0
假设 ϕ1x 及 ϕ1y ,ϕ2x ,ϕ2 y , 不同时为零,则变换(5)
是可逆的.且 a12 ≠ 0. 方程(2)可以化为双曲型方程的第一标准形式
其中
uξη = Φ (ξ ,η , u, uξ , uη ),
=
0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f
在点 ( x0 , y0 ) 为抛物型的。
若在区域 Ω 上某点 ( x0 , y0 )
Δ
≡ a2 12
−a11a22
< 0,
则称
a11uxx +2a12uxy +a22uyy +b1ux +b2uy +cu= f