2.2.2 偏微分方程的数学分类
高等数学中的微分方程与变分法
高等数学中的微分方程与变分法引言在高等数学领域中，微分方程和变分法是两个重要的概念。
微分方程是描述自然现象中变化规律的数学工具，而变分法则用于求解最优化问题。
本文将深入探讨微分方程和变分法的基本原理和应用。
一、微分方程的基本概念与分类1.1 微分方程的定义微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一阶微分方程包含一阶导数，二阶微分方程包含二阶导数，以此类推。
1.2 微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
二、常微分方程的求解方法2.1 可分离变量法可分离变量法是常微分方程中最常用的求解方法之一。
通过将方程中的变量分离，可以将微分方程转化为可积的形式，从而求得解析解。
2.2 齐次方程法齐次方程法适用于一阶线性常微分方程。
通过引入新的变量，将齐次方程转化为可分离变量的形式，进而求得解析解。
2.3 一阶线性常微分方程的常数变易法常数变易法适用于一阶线性常微分方程。
通过猜测特解的形式，将方程中的常数变为函数，从而求得解析解。
2.4 高阶常微分方程的特征方程法对于高阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。
通过求解特征方程的根，可以得到方程的通解。
三、偏微分方程与变分法3.1 偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有多个自变量的微分方程。
常见的偏微分方程有波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程等。
3.2 变分法的基本原理变分法是求解泛函极值问题的数学方法。
通过对泛函进行变分，可以得到极值条件，从而求解偏微分方程的解。
3.3 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的基础。
通过最小化作用量，可以得到物理系统的运动方程。
3.4 应用举例：拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一种重要的偏微分方程，广泛应用于电场、热传导和流体力学等领域。
通过变分法，可以求解拉普拉斯方程的解析解。
结论微分方程和变分法是高等数学中的重要概念，对于理解自然现象和解决实际问题具有重要意义。
通过学习微分方程和变分法的基本原理和应用，我们可以更好地理解数学在自然科学中的应用，为解决实际问题提供有效的数学工具。
偏微分方程的分类与性质
偏微分方程的分类与性质偏微分方程是数学中一个非常重要的分支，它广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
偏微分方程的分类与性质是深入研究偏微分方程、解决实际问题的前提和基础。
本文将介绍偏微分方程的分类方法和相关性质。
一、偏微分方程的分类方法根据方程中未知函数的个数和自变量的个数，可以将偏微分方程分为一维偏微分方程和多维偏微分方程。
一维偏微分方程中只有一个自变量，多维偏微分方程中有多个自变量。
1. 一维偏微分方程一维偏微分方程比较简单，可以按照方程中阶数的不同进行分类。
一般来说，可以将一维偏微分方程分为以下三种类型：（1）线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的线性函数时，就称其为线性偏微分方程。
线性偏微分方程多数可以通过常数变易法求解。
例如：$au_x+bu_{xx}+c=0$（2）半线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u是关于自变量x的线性函数，而其偏导数项中含有u关于自变量的非线性函数时，就称其为半线性偏微分方程。
这类方程的求解利用抛物型偏微分方程理论，例如：$u_t = \frac{1}{2}u_{xx} + u^2$（3）非线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的非线性函数时，就称其为非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程的求解相对较难，很少能用解析法求解。
例如：$u_x+uu_{xx}=0$2. 多维偏微分方程多维偏微分方程具有更广泛的应用，包括流体力学、弹性力学、电磁场理论、热传导等方面。
多维偏微分方程的分类方法比较复杂，可以按照方程的形式、变量的类型、方程的类型等多个方面进行分类。
本文只介绍比较常用的分类方法：（1）仿射型偏微分方程多维偏微分方程中，如果只涉及到变量的一次多项式和常数的线性组合，就称为仿射型偏微分方程。
例如：$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \partialy}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partialu}{\partial x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0$（2）椭圆型偏微分方程多维偏微分方程中，如果方程的解在变量取值范围内无界或呈指数增长，则该方程就称为椭圆型偏微分方程。
数学物理方程02_线性偏微分方程的分类【OK】
数学物理方程
i
满足方程（4）
( i ) 2 ( i ) ( i ) ( i ) 2 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 0 x x y y
* * * a11 a22 ia12 0
a a 0, a 0
称（5）的积分曲线为PDE（1）的 特征曲线。
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
2 a12 a12 a11a22 dy dx a11
（6）
17
数学物理方程
记 ( x, y) a a11a22
2 12
定义
方程(1)在点 M ( x, y ) 处是
的特解，则关系式 ( x, y) C 是常微分方程
（4）
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
的一般积分。反之亦然。
（5）
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分 方程（5）的一般积分。
16
数学物理方程
定义
称常微分方程（5）为PDE（1）的 特征方程。
双曲型：若在点M处，有 ( x, y) 0
椭圆型：若在点M处，有 ( x, y) 0 抛物型： 若在点M处，有 ( x, y) 0
18
数学物理方程
双曲型PDE
2 ( x, y) a12 a11a22 0
2 a12 a11a22 右端为两相异的 dy 实函数 dx a11 它们的一般积分为 ( x, y) C , ( x, y) C ( x, y ) 由此令 ，方程（1）可改写为 ( x, y ) 2u u u 双曲型方程的 A B Cu 第一标准型
偏微分方程的分类
偏微分方程的分类偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。
一、偏微分方程的分类1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。
一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。
二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。
高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。
4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。
线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。
5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。
非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。
6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。
椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。
7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。
抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。
8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。
双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。
二、结语偏微分方程的分类为我们理解和研究不同类型的偏微分方程提供了一定的指导。
数学专业的偏微分方程研究
数学专业的偏微分方程研究偏微分方程是数学领域中一门重要的学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它研究的对象是多个变量之间的关系，并通过建立数学模型来描述一系列现实问题。
本文旨在介绍数学专业中对偏微分方程的研究内容和方法。
一、偏微分方程的定义和分类偏微分方程是一个方程，它包含多个未知函数及其偏导数。
偏微分方程根据方程中涉及的未知函数的偏导数的阶数和个数的不同，可以分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：方程中只包含未知函数的一阶偏导数。
例：扩散方程（Diffusion Equation）2. 二阶偏微分方程：方程中包含未知函数的二阶偏导数。
例：波动方程（Wave Equation），热传导方程（Heat Equation）3. 高阶偏微分方程：方程中包含未知函数的高阶偏导数。
例：Navier-Stokes方程（Navier-Stokes Equation），Schrodinger方程（Schrodinger Equation）二、偏微分方程的求解方法对于一般的偏微分方程，通常没有解析解，需要借助数值方法来求解。
常用的求解方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法：将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，通过求解差分方程来逼近原方程的解。
2. 有限元法：将求解域分割成若干个单元，通过对单元内的函数进行逼近，将原方程转化为一个线性代数方程组。
3. 谱方法：将未知函数表示为特定函数的级数形式，通过求解级数展开的系数来获得原方程的解。
不同的求解方法适用于不同类型的偏微分方程，研究者需要根据具体问题的特点选择合适的方法。
三、偏微分方程的应用领域偏微分方程的研究在许多领域都有广泛的应用，下面以物理学和工程学为例进行介绍。
1. 物理学应用：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如量子力学中的薛定谔方程（Schrodinger Equation），电磁学中的麦克斯韦方程（Maxwell's Equations）等。
偏微分方程分类与标准型
3.判别式及分类：
0 2 a12 a11a22 = 0 0
双曲型 抛物型 椭圆型
思考：判断下列方程的类型
u 2 u a x 2 2 t x
2 2
2 2u u 2 a u 2 2 x t
2u 2 u a xu 2 x t
1 u 1 2 u 0 2 2
§3. 方程简化
1.线性二阶偏微分方程的一般形式(2个自变量)
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是区域 上的实函数， 其中，
2
特征根：
r1, 2
p
2 r ( p 4q 0) r (1)有两个不相等的实根 1, 2
p 4q , 2
2
两个线性无关的特解
y1 e , y2 e ,
r1 x
r2 x
r1 x r2 x y C e C e ; 得齐次方程的通解为 1 2
2 ( p 4q 0) (2)有两个相等的实根时
x y e (C1 cos x C2 sinx ). 齐次方程的通解为
小结：二阶常系数线性齐次微分方程解
齐次方程：
y py qy 0
r1, 2 p p 2 4q , 2
2
特征方程： r 2 pr q 0 特征根：
特征根的情况 实根 r1 实根 r1
a11 1 a12 1 a22
x
C 2e
5x
x 5x y C1e 5C2e
偏微分方程的分类与应用场景
偏微分方程的分类与应用场景偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究函数的微分方程的一种重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它描述了多个变量之间的关系，并用于研究自然界中的各种现象和问题。
本文将探讨偏微分方程的分类以及在不同应用场景中的具体应用。
一、偏微分方程的分类偏微分方程按照方程所涉及的变量和未知函数的阶数，可以分为各种类型，常见的分类如下：1. 一阶偏微分方程（First-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为一阶。
例如线性传热方程、线性对流方程等都属于一阶PDEs。
2. 二阶偏微分方程（Second-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为二阶。
二阶偏微分方程是研究最广泛且也最有挑战性的类型，常用于描述波动、扩散、静电场和引力场等现象。
其中常见的二阶偏微分方程包括泊松方程、热方程和亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程（Higher-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数大于二阶。
高阶偏微分方程往往需要更复杂的数学方法和技巧来求解，因此在实际应用中较为罕见。
4. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
线性偏微分方程的求解比较容易，且可以通过叠加原理进行求解。
常见的线性偏微分方程有波动方程、亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程等。
5. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
非线性偏微分方程的求解相对困难，往往需要借助数值计算或其他近似方法来求解。
非线性偏微分方程在流体力学、非线性光学等领域具有重要应用。
二、偏微分方程的应用场景1. 热传导方程（Heat Equation）：热传导方程是一种描述物质温度分布随时间变化的偏微分方程，常应用于研究热传导、换热和热流动等问题。
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。
常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。
2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。
3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。
二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。
下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。
它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。
它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。
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0 0 1
特征方程
Ax B y 0
y 0 0 x y 0
Ax B y 0 0 0 0 0 x
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 y
x y x
Re Re Re
x y
0 Re
0
0 0 y
x
y
即：
y (x y ) 0
方程对定解条件的要求
• 平衡问题（椭圆型方程）：必须提封闭边界上每 一点的边界条件，要特别小心“无穷远边界”上 的条件
• 行进问题（抛物型、双曲型方程）：必须提初始 条件（二阶偏微分方程需要有函数值、一阶导数 值条件）； 空间无界定义域问题，有的可以不 提无界边界上的条件，但有界定义域问题，一般 需要规定一定的边界条件。
2．多个自变量的二阶偏微分方程 特征分类法
• 方程：
2u a jk H 0 x j xk j 1 k 1
N N
方程主部
• 主部系数矩阵 A • 寻找A的特征值：
A I 0
分类方法
(i) A 的特征值λ中的任意一个为零，则方程为抛物 型； (ii) A 的特征值λ全部非零并且同号，则方程为椭圆 型； (iii) A 的特征值λ全部非零, 并且除了一个之外其余同 号，则方程为双曲型。
• 直接规定边界上的函数值（可以随时间或 类时间变化）
T ( x, y, z, t )
w
Tw (t )
第二类边界条件 （Neumann）
• 直接规定在边界上的函数导数值
• 热物理问题一般规定：热流值 在流入边界 内部方向时为正
T ( x, y , z , t ) n
w
qw (t )
比较特征分类法：
y (x y ) 0
2 2 2
Fourier 分析法与特征分析法
• Fourier 分析法与特征分析法殊途同归，可 以得到一样的结论 • Fourier 分析法相对简单，适用面广 • Fourier 分析法在分析比较复杂的问题时更 有优势
2.2.3 解的适定和定解条件
• 矢量形式：
A
U U B E x y
特征方程
Ady Bdx 0
即：
dy A B 0 dx
求出特征值：
dy / dx
分类方法
(1) 特征值λ为两个互异的实根，则方程组为 双曲型 (2) 特征值λ为一个实根，则方程组为抛物型 (3) 特征值λ为两个共轭复根,则方程组为椭圆 型
变换
Fourier转换乘因子 或
时空域
2u 2u 2u a 2 b c 2 0 x xy y
频率域
2 2 a x b x y c y 0
微 b x y c 0
2 x 2 y
a( x y )2 b( x y ) c 0
2 2 2
y 为虚数：方程组相对 y 方向为椭圆型 取 x 1 ， x 为虚数：方程组相对 x 方向为椭圆型 取 y 1 ，
4. 偏微分方程分类的 Fourier 分析方法
又称为偏微分方程的符号(Symbol)
可适用于单个方程、方程组；可适用于高阶导 数情况；并且不需要引入中间变量
3．偏微分方程组的特征分类 方法
(1) 两个自变量的一阶方程组
• 两个函数的最简单情况：
u v u v a11 a12 b11 b12 e1 x x y y
u v u v a21 a22 b21 b22 e2 x x y y
a11 a12 b11 b12 e1 u U , A , B , E b b e v a21 a22 21 22 2
第三类边界条件 (Robin)
• 规定边界上的函数值与它的法向导数之间 的某个关系 • 冷却问题
T ( x, y , z, t ) n
w
h T f Tw (t )
从物理意义方面区分
1. 运动学条件 2. 动力学条件 3. 热力学条件
1 运动学条件 (Kinetic)
• 滑移边界条件：无粘流体沿固壁切向速度 不变 • 黏附条件：粘性流体在固壁上满足静止壁 上流体速度为零
• 特征方程：
Ax B y C z 0
• 考察法向方向数： 固定 1 ，若 y 全复根，则方程组相对 y 方向是椭圆型
x z
(3) 含有部分二阶以上导数的 偏微分方程组
实际问题基本上都含有二阶以上导数 一般做法：引入中间变量函数，化为包含有更多 函数的一阶偏微分方程组，然后进行分类。特别 注意：一阶方程组的系数矩阵不能等同以致使方 程组奇异。
6个函数 u、v、p、R、S、T
R vx , S vy , T uy
ux v y 0
1 ( u xx u yy ) 0 Re 1 uv x vv y p y ( v xx v yy ) 0 Re uux vu y p x
矩阵形式
U U A B H x y
n个函数两个自变量一阶方程组
(1) 特征值为n个互异实根，则方程组为双曲型
(2) 特征值有m个互异实根，无复根，且 1 m n 1 则方程组为抛物型 (3) 特征值无实根,则方程组为椭圆型 (4) 特征值一部分为实根，一部分为复根，则方程组 为混合型
(2) 多个自变量的一阶方程组
a. 包含时、空自变量的一阶方程组 b. 只有空间自变量的一阶方程组
-
u( x, y) exp(-i
x
x) exp( i y y )dxdy
• Fourier 转换： • 微分特性：
u Fu
微分关系
Fourier
函数每对 x 或 y 做一次偏导数
变换
Fourier转换乘因子 或
时空域
频率域
利用微分关系改写方程
Fourier
函数每对 x 或 y 做一次偏导数
意 义
• 物理过程 = 控制方程 + 定解条件
• 定解条件关系到具体方程是否有解，其解 是否可靠 • 定解条件：边界条件、初始条件 • 偏微分方程的适定性：
指定解条件能使方程 解存在、解唯一、解稳定（即解连 续地依赖它的初始或边界条件）
例2.5 给定边界条件下的 二维 Laplace 方程
u xx u yy 0 - x y 0 u ( x,0) 0 1 u y ( x,0) sin( nx ) n0 n
求解过程
分离变量：
u ( x, y ) f ( x ) g ( y )
利用定解条件：
1 u 2 sin( nx ) sh( ny ) n
此解在 y=0 附近有可能不连续：
n
y 接近 0 处
u
u( x,0) 0
原因分析
• 此方程分类？
椭圆型！！！
椭圆型方程要求提封闭边界上所有点的条件， 尤其是无穷远处的边界条件！
Fourier变换
Fourier 时空域
变换
频率域
• 主要应用了Fourier变换的微分关系
a. 单个方程的情况
2u 2u 2u a 2 b c 2 0 x xy y
Fourier级数表达的解：
u ( x, y ) 1 4
2 j k
u
ix i y 2 i( u x v y 1 ( x2 y ) 0 Re 1 2 2 0 i(u x v y (x y ) Re
0 u ix v 0 p i y
jk
exp[i( x ) j x ]exp[i( y ) k y ]
极限情况下用Fourier积分表达：
u ( x, y ) 1 4
2 -
u(
x
, y ) exp(i x x) exp(i y y )d x d y
Fourier 转换
• 系数：
u( x , y )
例2.4 二维稳态不可压Navier-Stokes方程
连续方程 动量方程
ux v y 0
1 uux vu y px ( uxx u yy ) 0 Re 1 uv x vv y p y ( v xx v yy ) 0 Re
• 引入中间变量
R vx , S vy , T uy
2.2.2 偏微分方程的数学分类
胡茂彬
/~humaobin/ humaobin@
内容提要
1. 两个自变量的二阶偏微分方程 2．多个自变量的二阶偏微分方程特征分类法 3．偏微分方程组的特征分类方法 (1) 两个自变量的一阶方程组 (2) 多个自变量的一阶方程组 i. 包含时间、空间自变量的一阶方程组 ii. 只有空间自变量的一阶方程组 (3) 含有部分二阶以上导数的偏微分方程组 4. 偏微分方程分类的Fourier分析方法 (Symbol)
方程组存在非平凡解的条件 是 系数矩阵行列式为零
2 2 2 2 i( u v ) ( x y x y x y ) / Re 0