数学物理方程第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
偏微分方程的分类
偏微分方程的分类偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。
一、偏微分方程的分类1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。
一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。
二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。
高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。
4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。
线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。
5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。
非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。
6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。
椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。
7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。
抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。
8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。
双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。
二、结语偏微分方程的分类为我们理解和研究不同类型的偏微分方程提供了一定的指导。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ0),(),(≠y x D D ηξ 化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y xa a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如
代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与 是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有 (10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．为了化简，不妨令源自从而有(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数． 线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
最新二阶线性偏微分方程的分类与小结
二阶线性偏微分方程的分类与小结第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成«Skip Record If...»①它关于未知函数«Skip Record If...»及其一、二阶偏导数都是线性的，其中«Skip Record If...»都是自变量«Skip Record If...»的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域«Skip Record If...»内都连续，而且«Skip Record If...»不全为0 。
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»内给定的一点，考虑在«Skip Record If...»的领域内对方程进行简化。
取自变量变换«Skip Record If...»,«Skip Record If...»其中它们具有二连续偏导数，而且在«Skip Record If...»处的雅可比行列式。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»根据隐函数存在定理，在«Skip Record If...»领域内存在逆变换,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»将代入①使其变为«Skip Record If...»经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以«Skip Record If...»不全为0。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
05
二阶线性偏微分方程的数值求解方法
思想
将微分方程转化为一组差分方程，通过求解差分方程得到原微分方程的数值解。
有限差分法
步骤
选择适当的差分格式，将微分方程中的微分项和代数项离散化，构建差分方程并求解。
特点
简单直观，易于编程实现，但精度较低，适用于简单问题和一维问题。
思想
将微分方程所描述的区域划分成一系列离散的小单元，通过对每个小单元进行数值求解，得到原微分方程的数值解。
在工程中的应用
04
二阶线性偏微分方程的求解方法
行波法
要点三
概述
行波法是一种通过假设解的形式为行波函数，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有波形的二阶线性偏微分方程，如波动方程、热传导方程等。
步骤
选择适当的行波函数，将其代入原方程，通过常微分方程求解，最后反推出原方程的解。
特征点不都位于任意位置，形式为$a(x)u''+b(x)u'+c(x)u=f(x)$；
非齐次二阶线性偏微分方程
特征点一部分位于任意位置，一部分不位于任意位置。
混合二阶线性偏微分方程
确定初始条件下的二阶线性偏微分方程
周期初始条件下的二阶线性偏微分方程
自然边界条件下的二阶线性偏微分方程
按照初始条件
在时间轴上，当$t<0$时，因果关系为$u(t)=0$；当$t>0$时，因果关系为$u(t)=F(t)$；
要点三
分离变量法
概述
分离变量法是一种通过假设解的形式为多个变量的乘积，将偏微分方程转化为多个常微分方程进行求解的方法。
适用范围
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。
常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。
2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。
3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。
二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。
下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。
它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。
它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
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§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a1(1d d)y x 22a12 d d y xa22 0 4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11,a12,a22在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是双曲型的； a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; a1 22 a1a 122 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
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显然方程(4.9)可以分解为两个方程
ddyx(a12 a122a11a22)/a11 ddyx(a12 a122a11a22)/a11
4.10 4.11
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122a11a2的2符号不同，我们可以选取相应的变
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
a 1 2 a 1x 1 x a 1 (2 xy yx ) a 2y 2 y 4 . 7
a 2 2a 1 1 2 x2 a 1 2x ya 2 2 2 y
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
Q ( l,m ) a 1 l2 1 2 a 1 l2 m a 2 m 2 2 0
章二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1二阶线性偏微分方程的分类 §3三类方程的比较
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
(x ,y ), (x ,y )4 .3
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
JD D((x,,y))xx
y x
4.4
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
a1 22 a1a 122 0,
u u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .12
a1 22 a1a 122 0,
u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .13
a1 22 a1a 122 0,
u u A u B u C D u4 .14
方程(4.1)的二阶导数项 a 1u 1 x x2 a 1u 2 x ya 2u 2 yy4 .2
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。 为此我们作下面的自变量变换
x x (,),y y (,)4 .5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a 1 u 1 2 a 1 u 2 a 2 u 2 b 1 u b 2 u c u f4 . 6
运用复合函数的求导法则
a 11 a 1 1 2 x2 a 1 2xya 2 2 2 y
a 1 u x 1 x 2 a 1 u x 2 y a 2 u y 2 y b 1 u x b 2 u y c f u 4 . 1
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
我们能选择到方程
a 11 x 2 2 a 12 xy a 22 y 2 0 4 .8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a110； 。a220
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双 曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域 Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。