数学物理方程第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结
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我们能选择到方程
a 11 x 2 2 a 12 xy a 22 y 2 0 4 .8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a110； 。a220
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
a 1 u x 1 x 2 a 1 u x 2 y a 2 u y 2 y b 1 u x b 2 u y c f u 4 . 1
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11,a12,a22在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是双曲型的； a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; a1 22 a1a 122 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
x x (,),y y (,)4 .5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a 1 u 1 2 a 1 u 2 a 2 u 2 b 1 u b 2 u c u f4 . 6
运用复合函数的求导法则
a 11 a 1 1 2 x2 a 1 2xya 2 2 2 y
方程(4.1)的二阶导数项 a 1u 1 x x2 a 1u 2 x ya 2u 2 yy4 .2
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。 为此我们作下面的自变量变换
a 1 2 a 1x 1 x a 1 (2 xy yx ) a 2y 2 y 4 . 7
a 2 2a 1 1 2 x2 a 1 2x ya 2 2 2 y
§1-2 两个Baidu Nhomakorabea变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
ddyx(a12 a122a11a22)/a11 ddyx(a12 a122a11a22)/a11
4.10 4.11
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122a11a2的2符号不同，我们可以选取相应的变
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
Q ( l,m ) a 1 l2 1 2 a 1 l2 m a 2 m 2 2 0
(x ,y ), (x ,y )4 .3
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
JD D((x,,y))xx
y x
4.4
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
a1 22 a1a 122 0,
u u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .12
a1 22 a1a 122 0,
u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .13
a1 22 a1a 122 0,
u u A u B u C D u4 .14
章二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1二阶线性偏微分方程的分类 §3三类方程的比较
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双 曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域 Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a1(1d d)y x 22a12 d d y xa22 0 4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。
a 11 x 2 2 a 12 xy a 22 y 2 0 4 .8
的两个函数无关的解φ1(x,y)和φ2(x,y)，那么，将变换取为ξ=φ1
(x,y)和η=φ2 (x,y)，方程(4.6)的系数
a110； 。a220
这样就达到了简化方程(4.1)的主部的目的。下面考察这种 选取的可能性。
a 1 u x 1 x 2 a 1 u x 2 y a 2 u y 2 y b 1 u x b 2 u y c f u 4 . 1
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法(行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手段， 通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的，把不易 求解的方程转化为容易求解的。
的性质而定。由于这个曲线可以是椭圆、双曲线或抛物线，因此我们相应 地定义方程在一点的类型如下：
若方程(4.1)的主部系数 a11,a12,a22在区域Ω中某一点(x0，y0)满足
a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是双曲型的； a1 22 a1a 122 0,则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; a1 22 a1a 122 0, 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1.1 两个自变量的方程 §1.2 两个自变量的二阶线性
偏微分方程的化简 §1.3 方程的分类
§1 二阶线性偏微分方程的分类
§1-1 两个自变量的方程
遵循由简单到复杂的认知规律，我们先研究两个自变量的二 阶线性偏微分方程的分类问题。
前面遇到的一维热传导方程、弦振动方程和二维拉普拉斯 方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形式 特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如 下的形状
x x (,),y y (,)4 .5
也就是说，方程(4.1)可以采用新的自变量ξ,η表示为
a 1 u 1 2 a 1 u 2 a 2 u 2 b 1 u b 2 u c u f4 . 6
运用复合函数的求导法则
a 11 a 1 1 2 x2 a 1 2xya 2 2 2 y
方程(4.1)的二阶导数项 a 1u 1 x x2 a 1u 2 x ya 2u 2 yy4 .2
称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主 部可以得到简化。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
设(x0,y0)是区域Ω内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。 为此我们作下面的自变量变换
a 1 2 a 1x 1 x a 1 (2 xy yx ) a 2y 2 y 4 . 7
a 2 2a 1 1 2 x2 a 1 2x ya 2 2 2 y
§1-2 两个Baidu Nhomakorabea变量的二阶线性偏微分方程的化简
注意到(4.7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果
显然方程(4.9)可以分解为两个方程
ddyx(a12 a122a11a22)/a11 ddyx(a12 a122a11a22)/a11
4.10 4.11
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
这样根据 a122a11a2的2符号不同，我们可以选取相应的变
换代入方程(4.6) ，从而得到不同的化简形式
这三个方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(4.1)通过自变量的可逆变换(4.3)化为那一种 标准形式，主要决定于它的主部系数。也就是说由l,m平面上的二次曲线
Q ( l,m ) a 1 l2 1 2 a 1 l2 m a 2 m 2 2 0
(x ,y ), (x ,y )4 .3
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式
JD D((x,,y))xx
y x
4.4
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆 的，也就是存在逆变换
a1 22 a1a 122 0,
u u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .12
a1 22 a1a 122 0,
u A 1 u B 1 u C 1 u D 1 4 .13
a1 22 a1a 122 0,
u u A u B u C D u4 .14
章二阶线性偏微分方程 的分类与总结
§1二阶线性偏微分方程的分类 §3三类方程的比较
在前面的章节中，我们分别讨论了弦振动方程、 热传导方程与拉普拉斯方程。这三类方程的形状很特 殊，它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。一 般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异，往 往可以从对这三类方程的研究中得到。本章中，我们 将以这三类方程的知识为基础，研究一般形式的二阶 线性偏微分方程，并对这三类方程的性质进行比较深 入的分类和总结。
相应地， (4.12)、(4.13)和(4.14)这三个方程分别称为双曲型、 抛物型和椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
§1-3 方程的分类
如果方程在区域Ω中每一点上均为双曲型，那么我们称方程在区域Ω中是双 曲型的。类似的，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。如果一个方程在区域 Ω中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上 表现为抛物型，那么，这样的方程在在区域Ω中称为混合型的。
§1-2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
我们知道，方程(4.8)的求解可以转化为下述常微分方程在 (x,y)平面上的积分曲线问题：
a1(1d d)y x 22a12 d d y xa22 0 4.9
设φ1(x,y)=c 是方程(4.9)的一族积分曲线，则z=φ1(x,y)是方程(4.8) 的一个解。称方程(4.9)的积分曲线为方程(4.8)的特征线，方程 (4.9)有时也称为方程(4.8)的特征方程。