一阶线性偏微分方程
第七章一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
(2) µ0dx + µ1dy1 + · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。
【例1】 求方程组
的通积分。 【例2】 解方程组
dx xz
=
dy yz
=
dz xy
dx x
=
dy y
=
z
+
dz x2 + y2 + z2
7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
7.2.1 首次积分
定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组
dy1 dx
dy2 dx
= f1(x, y1, y2, · · · , yn), = f2(x, y1, y2, · · · , yn),
x2,
·
·
·
,
xn)
∂u ∂xi
=
0
(7.3)
则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程
n j=1
bj
(x1,பைடு நூலகம்
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
5
7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。
一阶拟线性偏微分方程广义Cauchy问题的整体光滑解
0, u # = Υ(x ) , # : x = r (Ρ) , t= s (Ρ). 证明了该问题在一定条件下, 于上半平面 8 = {- ∞< x < + ∞, t≥0}上存在整体光滑解.
关键词 广义 Cauchy 问题, 一阶拟线性偏微分方程, 整体光滑解. 分类号 AM S (1991) 36L 65 CCL O 175. 22
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成立:
inf d Κ(Υ(x ) ) ≥ 0,
(12)
x
dx
inf{d Κ(Υ(x ) )
x
dx
d dx
[ r (x )
-
Κ(Υ(x ) ) s (x ) ]} > -
□
推论 设 Κ(u ) , Υ(x ) ∈C 1 (- ∞, + ∞) , 且满足
d dx
[
Κ(Υ(x
)
]
≥
0,
(18)
则一般 Cauchy 问题:
5u 5t
+
Κ(u )
5u 5x
=
0,
(19)
t = 0: u = Υ(x ).
(20)
于上半面 8 上存在整体光滑解.
注 (19) , (20) 在 8 上存在整体光滑解有多种证法, 这儿将 (19) , (20) 作为 (1) , (2) 的特
先就 h> 0来验证 J ≠0 (h= 0时由下面定理给出). 为此, 对任意的 Ε> 0, 作闭区域
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。
先看几个例子。
例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。
2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。
〔〕叫做〔〕的首次积分。
注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。
因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。
为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一阶偏微分方程求解方法
加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψi 的线性组合表达，表达中有待定系数 Ci 即：
近似解
问题的自 由度
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
2
w*j
(
n
（2）) d
wj (2 q) d
1 w*j (（1） g) d
2
w*j
(
n
h)
d
n
其中近似解： Ci i ，理论上尝试函数可任意选，
i 1
但适当的选取（作限制）可简化计算,
常常选取 i，使得 ＝g，则第一类边界条件自动满足
如选取加权函数：w
＝
j
w*j，则上式被大大简化
由于近似解在1类边界 上常数，所以此项为0
选取特殊加权函数后，两 项和为0
第二类边界条件也消失了，说 明已经自动满足了
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：
Fj(R) wj d wjq d 2 wjh d 0
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
2 0 0 0; d 10;
3. 加权余量法－－例
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系
一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系摘要本文利用首次积分建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,并对求解常微分方程组的方法进行了分析和讨论.关键词首次积分一阶线性偏微分方程常微分方程组1.引言在常微分方程这门课程中,我们已经了解了常微分方程的基本知识.那么我们就来探讨一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系,然后再分析利用首次积分求解常微分方程组的方法.由常微分方程组的首次积分可以确定常微分方程组的任意一般解,这样的一个结论为我们求解常微分方程组奠定了基础，同时也是我们求解方程组的理论依据.所以，只要求得常微分方程组的彼此独立的首次积分,我们就可以确定常微分方程组的任意一般解.2.下面就给出关于首次积分的基础理论知识.定义2.1 在域G内连续可微且不恒等于常数的函数 ,如果其中的变元用方程组的任一解代替时,它就取常数值 ,则关系式 =c称为方程组的首次积分,有时也称为首次积分.这里c是可允许范围内的任意常数.这里为定义2.2 方程组(1)的n个首次积分 =c 为彼此独立的，如果雅可比行列式在G内恒为零.下面我们就建立一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系.定理 2.1 =c称为方程组的首次积分的充要条件是在G内成立着恒等式证明: 由微分方程组存在定理知,对于任意一点 G,方程组(1)存在唯一解满足初始条件，若 =c称为方程组的首次积分,则 const,从而 .特别地, 当时有，再由 G的任意性,得:.反之,若上面的恒等式在G内成立,自然在方程组的解有意义处也成立.因此.即是方程组(1)的首次积分.定理2.2 如果是方程组(1)的n个彼此独立的首次积分,则方程组的任意一般解均可由( )式通过选取适当的一组常数来确定.证明: 依定义 ,从而可由( )式确定出且存在,连续.首先,我们证明是方程组(1)的解.显然,因而, . (2)另一方面,由于是方程组(1)的首次积分,则根据定理2.1当时有. (3)用(2)减去(3)可得到:.注意到: 由上式推得.这表明是方程组(1)的解其中是任意常数.现在设方程组(1)的任意解 ( ).记 ,由上述知是方程组(1)的解.注意到= ( ),由解的存在唯一性定理知:= ( ).从而, 可以由( )式确定出.只需取 ( ).由上面的定理可以看出,求解方程组(1)的问题就可以归结为寻求它的n个彼此独立的首次积分.但是如何求首次积分呢?却没有确定的方法,但下面的事实对我们求解微分方程组(1)却是有益的.将方程组(1)写成对称形式,其中 .如果能求得n+1个不同时为零的函数使得. ,. 是某一函数的全微分,则就是方程组(1)的首次积分.参考文献【1】王高雄等.常微分方程(第二版) .北京：高等教育出版社.1983.【2】马知恩等.常微分方程定性与稳定性方法 .北京：科学出版社.2001.本文：河南省科技发展计划项目122300410276。
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
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第七章 一阶线性偏微分方程
研究对象
一阶线性齐次偏微分方程
0),,,(),,,()
,,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂n
n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程
形如
0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂n
n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n
R D ⊂内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。
2） 一阶拟线性偏微分方程
形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n
n n n =∂∂++∂∂ （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。
n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+⊂'n R D 内不同时为零。
所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。
3） 特征方程组
常微分方程组
n
n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。
常微分方程组
Z
dz Y dx Y dx Y dx n n ==== 2211 （7.4） 称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。
4）首次积分
对一般的常微分方程组
),,2,1)(,,,(1n i y y x f dx
dy n i i == （7.5） 其中，右端函数n f f f ,,,21 都在某个域1+⊂'n R D 内连续，设),,,,(21n y y y x Φ=Φ在域D 内连续可微，并且不是常数。
如果以方程组（7.5）的任一解)(,),(),(21x y x y x y n 代入Φ之后，使得函数))(,),(),(,(21x y x y x y x n Φ等于与x 无关的常数，则称表达式C =Φ),,,,(21n y y y x 为方程组（7.5）的一个首次积分，其中C 是任意常数，有时也简称),,,,(21n y y y x Φ为首次积分。
设),,,2,1(),,,,(21n k k i C y y y x i n i ≤==Φ 是方程组（7.5）k 个首次积分，如果雅可比矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂n k k k
n n y y y y y y y y y
2122212
1211
1 中某个k 阶子阵的行列式不为零，而所有1+k 阶子阵的行列式都等于零，即雅可比矩阵的秩为k ，则称),,,2,1(),,,,(21n k k i C y y y x i n i ≤==Φ 是方程组（7.5）的k 个独立的首次积分。
2基本理论与基本方法
1）常微分方程组的首次积分解法
定理7.1 设已知微分方程组（7.5）的n 个独立的首次积分
),,2,1(,),,,,(21n i C y y y x i n i ==Φ
则它们构成方程组（7.5）的通积分（或隐式解），并由它们可确定含n 个任意常数的函数组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)
,,,;(),,,;(),,,;(2121222111n n n n n C C C x φy C C C x φy C C C x φy
则该函数组就是微分方程组（7.5）的通解。
常微分方程组的首次积分解法就是通过求方程组（7.5）的n 个独立的首次积分来得到它的通积分（或通解）的方法。
首次积分一般可通过下列两种方法得到
)a 把方程组（7.5）中的部分或全部方程进行重新组合，引进新的变量代换，以获得只含一个未知函数和一个自变量的一阶方程。
)b 利用已得到的积分消去一部分未知函数，以减少方程和未知函数的个数。
2）一阶线性齐次偏微分方程与常微分方程组的关系
定理7.2 设函数),,,,(21n y y y x Φ在域D '内连续可微，并且不是常数，则C y y y x n =Φ),,,,(21 是常微分方程组（7.5）的首次积分的充分必要条件为在域D '内成立恒等式
011≡∂Φ∂++∂Φ∂+∂Φ∂n n
f y f y x 。
设),,,(21n x x x u ϕ=在域D G ⊂内连续可微，并且代入方程（7.1）之后，能使该式在域G 内成为恒等式，则称),,,(21n x x x u ϕ=是方程（7.1）的一个解，域G 是该解的定义域。
定理7.3 ),,,(21n x x x u ϕ=是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的解的充分必要条件是C x x x n =),,,(21 ϕ是方程（7.1）的特征方程组
)
,,,(),,,(),,,(2121222111n n n n n x x x X dx x x x X dx x x x X dx === （7.3） 的首次积分。
3）一阶线性齐次偏微分方程的解法
定理7.4 设)1,,2,1( ),,,(21-==n i C x x x i n i ϕ是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）对应的特征方程组（7.3）的1-n 个独立的首次积分，),,,(121-Φn u u u 是任意的连续可微函数，则
)),,,(,),,,,(),,,,((211212211n n n n x x x φx x x φx x x φu -Φ= （7.6） 包括了方程（7.1）的所有解，称（7.6）为（7.1）的通解。
对方程（7.1）可给出如下的初始条件
),,,,,(1110n i i x x x x x x f u i i +-== （7.7）
其中i 为n ,,2,1 中某一数，0i x 是给定的数，f 为某一给定函数，求一阶线性齐次偏微分
方程（7.1）满足初始条件（7.7）的解的问题称为初值问题或柯西问题。
定理7.5 假设方程（7.1）中),,2,1)(,,,(21n i x x x X n i =在域D 内连续可微，且0≠i X ，则初值问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂+-==∑),,,,,(0),,,(1111
210n i i x x n
i i n i x x x x f u x u x x x X i
i 存在唯一的解，其中0
i x 是任意给定的数，),,,,,(111n i i x x x x f +-是变元的已知可微函数。
一阶线性齐次偏微分方程的解法
步骤1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组（7.3）。
步骤2 求出常微分方程组（7.3）的1-n 个独立的首次积分)1,,2,1(),,,(φ21-==n i C x x x i n i 。
步骤3写出通解 )),,(,),,,(),,,((111211n n n n x x φx x φ,x x φu -Φ= ， 其中Φ是各变元的任意连续可微函数。
4）一阶拟线性偏微分方程的解法
定理7.6 设),,2,1();,,,(21n i c z x x x ψi n i ==是常微分方程组（7.4）的n 个独立的首次积分，那么，若
0),,,(21=Φn ψψψ （7.8）
并能从（7.8）确定函数),,,(21n x x x z z =，则（7.8）即为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的通解，其中),,,(21n u u u Φ为n u u u ,,,21 的任意连续可微函数。
一阶拟线性偏微分方程的解法
步骤1 首先写出（7.2）的特征方程组（7.4）。
步骤2 求出（7.4）的n 个独立的首次积分),,2,1();,,,(21n i C z x x x ψi n i ==。
步骤3写出通解 0)),,,(,),,,,(),,,,((11211=Φz x x ψz x x ψz x x ψn n n n ， 其中Φ是各变元的任意连续可微函数。
注：求解一阶线性偏微分方程实际上转化为求解一个常微分方程组的问题。