总结一阶微分方程的类型及其解法
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶微分方程的解法
dy 2 y 2 xy 2 dx x xy y 2
y y 2 y x x 令u , 2, y y x 1 x x
2
则 dy xdu udx , u xu
2u u , 2 1 u u
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
dy xy 的通解. 例2 求解微分方程 2 dx 1 x
dy xdx 解 , 两端积分 2 y 1 x
dy xdx y 1 x2 ,
1 ln y ln(1 x 2 ) ln C 2
y c 1 x 2为所求通解.
dy x 2 例3 求解微分方程 e 1 y . dx
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
du dx f ( u) u x
dy y y 2 1 ( ) 例8 求解微分方程 dx x x
y 解：令u , 则原方程化为： x du 2 u x u 1 u dx
du 即： x 1 u 2 (9 18) dx 2 当1 u 0时，分离变量得： du dx 2 x 1 u
例5 求微分方程的通解
( xy2 x)dx ( y x 2 y )dy 0
解：分离变量得（ x y 1)dx （ y 1 x )dy 0 xdx ydy 2 0 2 1 x 1 y
2 2
xdx ydy 两边积分 C1 2 2 1 x 1 y 1 y2 ln 2C1 2 1 x
解 这是可分离变量的微分方程，分离变量得 xdx ydy 0 1 x2 1 y2
两边同时积分
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。
一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。
1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。
形式为dy/dx = f(x)g(y)。
首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
最后可以求出y的解。
2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。
这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。
3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。
通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。
然后可以使用可分离变量的方法来求解。
4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。
1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。
5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。
一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。
6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。
对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。
一阶微分方程总结
1 N ( y)
y c( x )e
P ( x ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx
P ( x ) dx e 1 n z y
Pdx Qdy 0
1 xM yN
P Q y x
dy ax by c f( ) dx a1 x b1 y c1
一阶线性 齐次型 Bernoulli
N
二、典型例题
例1 求一微分方程使其通解为
c1 x c2 解 由 y x c3
求导得 再求导
( x c3 ) y c1 x c2
c1 x c2 y x c3
y ( x c3 ) y c1 2 y ( x c3 ) y 0
通解为
u( x , y ) c
例7
设曲线积分
L
yf ( x )dx [2 xf ( x ) x 2 ]dy
在右半平面内与路径无关 其中 f (x) 可导 且f(1)=1 求f (x) 解 由曲线积分与路径无关的条件知
[ yf ( x )] [2 xf ( x ) x 2 ] y x 2 f ( x ) 2 xf ( x ) 2 x f ( x )
e
2x
e ( x y x )dx e ydy 0 为全微分方程
u( x , y ) P ( x ,0)dx Q( x , y )dy
x y 0 0
e ( x x )dx e
2x 2 0
x
2x
ydy 0
y
1 2 ( x y 2 )e 2 x 2
z Cx ,
2 3
设 z C ( x) x ,
一阶常微分方程解法总结
v 2dv 2u - v u ，令 t = v ，有 dv = tdu + udt ，代入得到 t + u dt = 2 - t ，化简 = = du u - 2v 1 - 2 v u du 1 - 2t u
得到，
du 1 - 2t d (1 - t + t 2 ) ln(1 - t + t 2 ) = dt = ln u = +C ， 有 u 2 - 2t + 2t 2 2(1 - t + t 2 ) 2
2 2
y x dy = 2 dx 两边积分得到 2 1- y x -1
ln x 2 - 1 + ln y 2 - 1 = ln C
2 2
(C ¹ 0) ，所以有 ( x 2 - 1)( y 2 - 1) = C
(C ¹ 0) ；
当 ( x - 1)( y - 1) = 0 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为 ( x - 1)( y - 1) = C
¶M ¶N j ( x ) dx ¶y ¶x = j ( x) ，原方程有只与 x 有关的积分因子，且为 µ ( x, y ) = e ò ①当且仅当 ， N
两边同乘以 µ ( x, y ) ，化为恰当方程，下同(4)。
¶M ¶N f ( y ) dy ¶y ¶x = f ( y ) ，原方程有只与 y 有关的积分因子，且为 µ ( x, y ) = e ò ②当且仅当 ， -M
-n
du + (1 - n) P( x)u = (1 - n)Q( x) ，下 dx
dy y = 6 - xy 2 dx x
-1 -2
解：令 u = y ，有 du = - y dy ，代入得到 有 µ ( x) = e ò
高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型
高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型在高考数学中，一阶常微分方程是一个重要的考点，掌握其解法和类型对于提高数学成绩至关重要。
接下来，让我们一起深入探讨这个关键知识点。
一阶常微分方程，简单来说，就是含有一个自变量及其一阶导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
首先，我们来了解一下一阶常微分方程的常见类型。
第一种是可分离变量的一阶常微分方程。
形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程就是可分离变量的方程。
其解法是将方程两边分别除以$g(y)＄，然后将变量$x$和$y$分离到等式两边，接着分别对两边进行积分，就可以得到方程的解。
例如，方程$dy/dx ＝ x/y$就是可分离变量的方程。
我们将其变形为$ydy ＝ xdx$，然后两边分别积分：＄＼int ydy ＝＼int xdx$，得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，即$y^2 ＝ x^2 ＋ 2C$。
第二种类型是一阶线性常微分方程。
它可以分为一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程。
一阶线性齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ 0$，其解为$y ＝ Ce^｛＼int P(x)dx}＄。
而一阶线性非齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，我们可以使用常数变易法来求解。
先求出对应的齐次方程的通解，然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛＼int P(x)dx}＄，代入非齐次方程求出$u(x)＄，从而得到非齐次方程的通解。
例如，方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 2x$，这里$P(x) ＝ 2x$，＄Q(x) ＝ 2x$。
先求对应的齐次方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 0$的通解，即$y ＝ Ce^｛＼int2xdx} ＝ Ce^｛x^2}＄。
然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛x^2}＄，代入原方程求出$u(x)＄，最终得到非齐次方程的通解。
除了以上两种常见类型，还有一些特殊的一阶常微分方程，比如伯努利方程。
一阶微分方程的类型及其解法
一阶微分方程的类型及其解法
一、一阶微分方程
一阶微分方程（ODE）是指具有一个未知函数及其反问因子的微分
方程。
它可以用来求解解析方程，研究它们的解的性质以及求解复杂
的物理问题。
一阶微分方程可以分为常微分方程、拟齐次线性微分方
程和非线性微分方程三大类。
二、解法
（1）常微分方程可以用积分因子分离变量法、限制变量法及特征
积分法等解法进行求解。
（2）拟齐次线性微分方程的解可用积分系数、分步求积法、可积
方程法等解法得到。
（3）非线性微分方程的解可用近似法（也称为等价线性化法），
极限积分法，pictctc函数法，水平法，积分矩阵法，置换法等解决。
三、总结
一阶微分方程是数学中常见的重要类型，它包括常微分方程、拟
齐次线性微分方程和非线性微分方程。
它可以用来求解解析方程，研
究它们的解的性质以及求解复杂的物理问题。
三类微分方程分别有各
自的求解解法，诸如常微分方程可用积分因子分离变量法、限制变量
法及特征积分法等解法进行求解，拟齐次线性微分方程可用积分系数、
分步求积法、可积方程法等解法得到，而非线性微分方程则可用各种近似法，极限积分法，pictctc函数法等解决。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的通解形式为：
$${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$$。
其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。
解法有以下几种：
1. 变量分离法：将 $dy$ 和 $dx$ 分离到方程两边，然后积分得到$y$ 的通解。
2. 齐次方程法：当 $Q(x)=0$ 时，方程被称为齐次方程。
通过将$y$ 转化为 $u=\frac{y}{x}$ 的方式，将齐次方程转化为分离变量的形式，然后积分得到 $u$ 的通解，再将 $u$ 转化为 $y$。
3.一阶线性非齐次方程法：对于一阶线性非齐次方程，可以通过求解齐次方程的解和特解的方式得到通解。
4. 一阶恰当方程法：对于一个形如 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 的微分方程，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
N}{\partial x}$，那么该方程就是恰当方程。
此时，可以通过求解方程的积分因子，将恰当方程变为恰好可积分的形式，然后求解得到通解。
5.变系数线性微分方程法：如果$P(x)$或$Q(x)$是$x$的函数，那么可以通过变量代换将其转化为常数系数的线性微分方程，然后采用常数系数线性微分方程的解法求解得到通解。
这些解法都有其适用的场合，具体应根据问题的特点来选择相应的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
0
2
两边取自然对数，得
1 5730k= ln 2 0.69315 ,即 k 0.00012097
于是， c 含量的函数模型为 p f (t ) p0e 14 由题设条件可知，遗体中 c的含量为原含量 p0 的80%， 故有 即 0.00012097 t 0.00012097 t 0 .8 p p e 0 .8 e 0 0 两边取自然对数，得
14
0.00012097 t
ln 0.8 0.00012097 t
于是
ln 0.8 0.22314 t 1845 0.00012097 0.00012097 由此可知，遗体的活性人体大约死亡于1845年前。
Thank
you!
二、举例说明微分方程的应用
1.衰变问题 2.逻辑斯蒂方程 3.价格调整问题 4.人才分配问题
（1）衰变问题
例：碳-14（ c）是放射性物质，随时间而衰竭，碳-12是非 放射性物质，活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳-14 衰减损失量而保持碳-14和碳-12之比为常数，通过测量， 已知一古墓中遗体所含碳-14的数量为原有碳-14的80%。 试确定遗体的活性人体的死亡年代。
例：求微分方程
dy 2 xy 的通解 dx
dy 解 题设方程是可分离变量的，分离变量得 y 2 xdx
dy 2 xdx 得 两端积分 y
从而
ln y x c1
2
y e
x 2 c1
e e
c1
x2
记
c e
c1
则得到题设方程的通解
y ce
1 sin x y ' y 例. 求方程 x x 的通解
解：题设方程是一阶非齐次线性方程，这里 1 sin x p( x) ，Q( x) x x
sin x 于是，所求通解为 y e ( e dx c) x sin x ln x ln x e ( e dx c) x 1 1 ( sin xdx c) ( cos x c) x x
x2
2. 齐次方程
dy y f( ) 形如 dx x 的一阶微分方程称为齐次微分 方程，简称齐次方程。齐次方程通过变量替换，可 化为可分离变量的方程来求解。
y 2 ( ) dx y2 x 2 y dy xy x 例. 求解微分方程 x2 x
易见，题设方程是齐次方程，令 则 y ux ， dx u x du
令
dy 1 1 y a ln x dx x
z
dz 1 1 z a ln x y ，则上述方程变为 dx x
a 2 解此方程得 z x c (ln x) 2
以
y
1
a 2 代z，得通解为 yx (ln x) 1 2
1 dx x
1 dx x
4.伯努利方程
dy p ( x) y Q( x) y n 形如 dx 的方程称为伯努利方程，
其中n为常数，且
n 0.1
例. 求方程 解，以
dy y 2 (a ln x) y 的通解 dx x
y
2
除方程的两端，得 y
2
d( y 1) 1 1 y a ln x 即 dx x
x u y
dy
于是，原方程变为
即
du u x dx u 1
dy u 2 ux dx u 1
dx
1 dx 1 ）du 分离变u c ln x ，或 ln xu u c
y 将 u x
回代，
14
解：放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符 合指数函数的变化规律。设遗体的活性人体当初死亡时 14 c 14 p p f ( t ) o 的含量为 ，t时的含量为 ,于是， c 含量的函 kt 数模型为 p f (t ) p 0 e 其中 p0 f (0) k是一常数 常数k可以这样确定：由化学知识可知， 14 c 的半衰期为 5730年，即 14 c 经过5730年后其含量衰减一半， 1 p0 5730 k 5730 k 故有 即 e pe
y 则得到题设方程的通解为 ln y c x
一阶线性微分方程
dy p( x) y Q( x) 形如 dx 的方程称为一阶线性微分方程， p( x), Q是某一区间 ( x) 其中 I上的连续函数，当 dy Q( x) 0 时，方程变为 p( x) y 0 ，这个方程称为 dx dy 一阶齐次线性微分方程。相应地，方程 p ( x) y Q( x) dx 称为一阶非齐次线性微分方程。
总结一阶微分方程 的类型及其解法
（一）总结一阶微分方程的类型及其 解法
1
可分离变量的微分方程
dy 设有一阶微分方程 dx F ( x, y ) ，如果其右端函数能 dy 分解成 F ( x, y) f ( x) g ( y) 即有 dx f ( x) g ( y ) ，
则称方程为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(y)都 是连续函数。