一阶微分方程的应用举例
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用一阶微分方程的应用【1】摘要：微分方程在实际中应用广泛。
简单介绍了一阶微分方程的几种应用。
关键词：微分方程;应用;研究微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.一、在力学中的运用动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为F=mg-kv2由牛顿第二定律列出微分方程m■=mg-kv2因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.求解上述微分方程的特解即得：v=■当t→+∞时，有v1=■=■.据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.二、流体混合问题中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.因为c2=■，代入上式有dx=(c1v1-■)dt，或■=-■x+c1v1.这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.于是有4050dx=360(0.05-x)dt，即dx=■(0.05-x)dt，初始条件为x(0)=0.2.将方程分离变量并积分，初值解满足■■=■■dt，求出x有x=0.05+0.15e-■t.t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.三、牛顿冷却定律的应用牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的'介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程■=-k(T-T0)，k>0.例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，解得T(t)=21+13e-0.167t.设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间t=■・ln■≈-1.25小时.由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.四、医学中的应用例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题■=-0.4SS(0)=0.3，通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为S(30)=0.3-0.4×30≈0，而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.参考文献：[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.一阶高次微分方程的求解【2】【摘要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。
微分方程在电气中的应用
电气工程案例在大学数学教学中的应用研究2018年7月-8月一、一阶微分方程当电路中的储能元件(电容C和电感L)的数目仅有一个，而电阻R的数目可以不论，由于描述这种电路性状的是一阶微分方程，故称为一阶电路，一阶电路可分为RC(电阻电容)电路和RL(电阻电感)电路。
从产生电路响应的原因来讲，响应可以是由独立电源的激励，即输入引起的；或者是由储能元件的初始状态引起的；也可以是由独立电源和储能元件的初始状态共同作用下产生的。
因此，按激励和响应的因果关系可划分为如下3种类型的响应。
(1)零输入响应——电路中没有电源的激励，即输入为0，响应是由初始时刻储能元件的中储存的电磁能量所产生的。
(2)零状态响应——储能元件的初始状态为0，仅由电源激励所引起的响应。
(3)全响应——由电源的输入激励与储能元件的初始能量共同作用下所产生的响应。
接下来，我们分别考虑RC电路的零输入响应和零状态响应两个案例在一阶微分方程教学中的应用。
1、一阶可分离变量微分方程(一阶齐次线性微分方程)RC电路的零输入响应(RC zero-input response)如上图(a)所示的电路中，换路前的电路是由电压源和电容C连接而成，电容电压()=，其中表示换路前的瞬间；在时，将开关从位置1改接到位置2，于是电容C将通过电阻R放电，如图(c)所示，电容C的电压由它的初始值开始，随着时间的增长而逐渐减少，最后趋近于零。
在该放电过程中电容C初始储存的电场能量，通过电阻R全总转换为热能发散出去。
此时电路中的响应仅由电容C的初始状态引起，故为零输入响应。
为定量分析电容电压和电流的变化规律需要确立微分方程。
根据上图(b)中的电流和电压的参考方向，应用基尔霍夫定律列出电压方程；；，；在和两个电路变量中，选取作为求解对象，应用上述一组关系，建立关于的一阶可分离变量的微分方程如下上述方程的本质是基尔霍夫定律，是放电过程中必须遵循的约束。
根据上述给定的初始条件可唯一地确定的变化规律。
一阶微分方程应用
将W (0) = W0代入，得方程通解
W = 6000+ (W0 6000)e0.05t
（3）由通解表达式知，当W0 = 5000百万时，净资产额 单调减少，公司将在第36年破产；当W0 = 6000百万时，
公司将收支平衡，净资产保持在600百万元不变；当
W0 = 7000百万时，公司净资产将按指数不断增长。
解：V = 4 R 3 , V'(t) = kS = 4kR 2 3
dV = dV dR = 4R2 dR dR = k
dt dR dt
dt dt
QD
Qs
例4 已知某商品的需求量Q对价格P的弹性
为 3 p3 ,而市场对该商品的最大需求量为1万
件,求需求函数.
例5 设f (x)可微，且f (x) +
W(t)变化特点。
解:（1）利用平衡法，即
净资产增长速度=资产本身增长速度
职工工资增长速度
得到方程
dW = 0.05W 300 dt
dW = 0.05W 300
dt
（2）分离变量，得
W
dW = 0.05dt 6000
积分得 ln|W 6000|= 0.05t + c1
于是 W 6000 = ce0.05t (c = ec1为任意常数)
第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用
微分方程的应用举例
例1 设某企业t时刻产值y(t)的增长率与产值y(t) 及 新增投资2bt有关,并有y = -2aty + 2bt,(常数a,b > 0, y(0) = y0 < b, )求y(t)
例2 一个半径为R的雪球,融化时体积V的变化率正比于 雪球的表面积S,比例系数k > 0,若开始时雪球半径为r0 , 问全部融化完需多少时间? (W 2000513)
一阶微分方程
一阶微分方程1. 简介微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与它的导数之间的关系。
一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过一阶微分方程来建模和解决。
本文将介绍一阶微分方程的基本概念、求解方法以及一些应用。
2. 基本概念在介绍一阶微分方程之前，我们需要先了解一些基本概念。
2.1 导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为：f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示一个无限小的增量。
导数可以理解为函数在某一点的斜率，它的值越大，表示函数在该点的变化越快。
2.2 一阶微分方程一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
通常形式为：dy/dx = f(x, y)1其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。
这个方程描述了未知函数y的导数与x和y之间的关系。
3. 求解方法解一阶微分方程的方法有很多种，这里介绍两种常见的方法：分离变量法和常系数线性微分方程的求解。
3.1 分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离开来，分别对x和y进行积分。
具体步骤如下：1.将一阶微分方程写成dy/dx=f(x, y)的形式；2.将方程两边关于x和y进行分离；3.对两边同时进行积分，得到一个含有常数C的通解；4.如果给定了一个初始条件y(x0) = y0，则可以通过代入初始条件来确定常数C，得到一个特解。
3.2 常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
它的求解方法基于特解与齐次方程解的叠加原理。
1.首先求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0，得到一个通解；2.再寻找一个特解，使得它满足原方程dy/dx + P(x)y = Q(x)；23.最终的通解等于齐次方程的通解与特解之和。
6-4-一阶线性微分方程的应用举例
由（4）式可以看出，随着时间 t 的增大，速度 v 逐
渐接近于常数 mg , 且不会超过mg ，也就是说，跳伞后开
k
k
始阶段是加速度运动，但以后逐渐接近于匀速运动.
例 3 一曲线过点（3，4），在该曲线上任意点处的 切线在 y 轴上的截距恰等于原点（0，0）到该点的距离.
解 i）列方程并确定初始条件
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（其中 a 为加速度），得3)
dt
按题意，处始条件为
ii）求通解
v 0 t0
方程（3）是可分离变量后，得
dv dt mg kv m
两端积分
dv mg
第四节 一阶微分方程的应用举例
学习的目的在于应用，在本节我们将通过举例着重介 绍一阶微分方程的一些简单应用和利用一阶微分方程解决 实际问题的一般步骤.
利用微分方程解决几何、物理等实际问题的一般步骤 如下：
(1)根据题设条件，利用已知的公式或定理，建立相应 的微分方程及确定初始条件；
(2)分辨所建立的微分方程的类型，运用相应解法求出 其通解；
内容小结
解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
作业
P231 1, 3
Qdp
已知该商品的最大需求量为1200，故得初始条件Q p0 1200.
(ii) 求通解.
dQ Q
ln
3
dp,
ln Q p ln 3 C1
即所求通解为
一阶微分方程应用举例
t i1
?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
研究解的性质
模型4
di si i dt ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
SIR模型
消去dt
/
1 di 1 s ds i i0 ss
0
相轨线
i ( s ) ( s 0 i0 ) s
1 s s0
P2
im
s 1 / , i im
P1 P3
s 满足 s 0 i 0 s
ln
0
0
s
S0 1 /
s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
一阶微分方程的应用
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
例1混合溶液问题
问题 设有一容器，内有100升盐水，其中含盐50 克。要将浓度为2克/升的盐水以流速3升/分 钟注入容器内，同时将搅拌均匀的混合物 以流速2 升/分从容器内流出。试求30分钟 后容器内所含的盐量。
di i (1 i ) i dt i (0 ) i 0
一阶微分方程的应用
一阶微分方程的应用（1）数学建模列出微分方程（含初始条件）；（2）求解微分方程.步骤:利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.),(y x M y xo 例1 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标, 求它的方程.提示: 设曲线上的动点为M (x,y ),令X = 0, 得截距由题意知微分方程为xx y y ='-即11-=-'y x y 定解条件为.11==x y y x x '=αtan x 此点处切线方程为它的切线在纵1、几何应用2、物理应用（1）动力学：例2跳伞运动(如图)，求伞降落速度与时间的关系，初始时刻为原点.mg)( 阻力kv f =x o kv mg F ma -==作受力分析用ma F =（2）热学例3 发动机冷却系统设计(Newton 冷却定律:冷却速度与温差成正比)dtT T k dt dT e )(-+=α.之间的关系与试建立发动机温度t T ,),(e T t T 环境温度为工作温度为),(,e T T k -降温速率为升温速率为α例4. 已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在30 分钟后使车间空的含量不超过0.06 % ?提示: 设每分钟应输入t 时刻车间空气中含则在],[t t t ∆+内车间内=∆x 两端除以t∆并令0→∆t 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出)得微分方程t k ∆⋅10004.0t x k ∆⋅-54005400( 假定输入的新鲜空气输入, 的改变量为t = 30时5406.0540010006.0⨯=⨯=x 2504ln 180≈=k 25005400d d k x k t x =+5412.00⨯==t x解定解问题因此每分钟应至少输入250 3m 新鲜空气.初始条件得k = ?（3）电学例5 ~RL K)(t i tE E m ω=sin 0)(=--+iR dtdi L E ).(t i R L 串联电路，求下图为一个-（4）原子物理例6 铀的衰变规律M dtdM λ-=.,,0,)(),(0求衰变规律时成正比衰变速度与铀的现有量M M t t M t M M ===3、其它例7 种群增长模型2N N dt dN βα-=),0(),(:>=ααN t N N 出生率种群数量.)(的关系式试建立t N .,0),0(02N N t N ==>时死亡率ββ小结如何建立微分方程?(1) 利用已知规律(2) 微元法(3) 导数积分的几何意义等。
一阶微分方程的应用
正交，故满足方程 dy x dx 2 y
这是一个变量可分离方程求解得 y C x 2的正交
曲线族为
x2 2y2 k2
y
这是一个椭圆，如右图
放大此图
•第一章一阶微分方程的应用
x
图2.16
y
x
•第一章一阶微分方程的应用
应用二： 雨滴的下落
考虑雨滴在高空形成后下落的过程中速 度的变化
三种不同的假设 (1) 自由落体运动 (2) 小阻力的情况 (3) 大阻力的情况
Solution: exponential growth):
•第一章一阶微分方程的应用
Model 3: Population dynamics Logistic Growth
• An exponential model y' = ry, with solution y = e^{rt}, predicts unlimited growth, with rate r > 0 independent of population.
•第一章一阶微分方程的应用
Qualitative analysis of the logistic equation
• To better understand the nature of solutions to autonomous equations y’= f(y), we start by graphing f (y) vs. y. • In the case of logistic growth, that means graphing the following function and analyzing its graph using calculus.