一阶微分方程的解法及应用
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如般)”的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)(1-2)其中c任意常数。
例1求方程£=pa)y的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到—=p(x)dx y两边积分，即得In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有lyl y=g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx求解方程生一¥ dx y将变量分离，得到y d y=・x d x,两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解y=dy y | . y例3求解方程〒=-+tan- dx X Xy dy du解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为K dx dxdu IA+u=u+anudu tan udx X将上式分离变量，即有cot udu =—x两边积分，得到n I sm U1 = n I xl +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为例4 求方程X+2jxy=y (x<0)y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx临甥P(1-3)分离变量，du dx两边积分，得到(1-3)的通解Jp- = In(-x) + c 于是p = In(-x) + c .2(In (・x)+c>0)其中c是任意常数。
一阶与二阶微分方程的解法与应用
一阶与二阶微分方程的解法与应用微分方程是数学中的重要内容，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将重点介绍一阶和二阶微分方程的解法以及其在实际应用中的重要性。
一、一阶微分方程的解法一阶微分方程是指涉及一阶导数的方程。
常见的一阶微分方程形式多种多样，例如求解形如dy/dx = f(x)的微分方程可以使用分离变量法。
具体步骤如下：1. 将方程表达式中的dy和dx分离，形成f(x)dx = dy；2. 对方程两边同时积分，得到∫f(x)dx = ∫dy；3. 求出右边的积分得到y的表达式，即可得到原方程的解。
除了分离变量法，还有其他一阶微分方程的求解方法，例如齐次微分方程的解法、一阶线性微分方程的解法等。
齐次微分方程可以通过引入新的变量转化为分离变量的形式，而一阶线性微分方程可以利用积分因子法求解。
二、二阶微分方程的解法二阶微分方程涉及到二阶导数的方程。
解二阶微分方程的方法较为复杂，但常见的二阶线性齐次微分方程可以使用特征方程法进行求解。
具体步骤如下：1. 将方程形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0转化为特征方程r² + pr + q = 0；2. 求解特征方程，得到两个特征根r₁和r₂；3. 根据特征根的情况，分为三种情况进行求解：a. 当r₁和r₂为不相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)；b. 当r₁和r₂为复数共轭时，方程的通解为y = e^(ax)(C₁cos(bx) + C₂sin(bx))；c. 当r₁和r₂为相等的实数时，方程的通解为y = C₁e^(r₁x) +C₂xe^(r₁x)，其中C₁、C₂为常数。
三、微分方程在实际应用中的重要性微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个典型的应用领域：1. 物理学中的应用：微分方程可用于描述物理系统的运动规律，例如牛顿第二定律的微分方程形式为F = ma，其中a是加速度，F是力，m是质量。
1_8一阶微分方程的应用
沈阳化工学院
或 dx = 初值条件x(0) = 0.2，积分，得 ∫ x
0.2
4 (0.05 − x)dt 45 ∫
0
dx = 0.05 − x
t
4 dt 45
解得 x = 0.05 + 0.15e− 45 t
4
又t = 30min = 1800s，得x ≈ 0.05 四、课堂练习 例：质量为100kg 的物体，在和水平面成30◦ 的斜面上由静止下滑，如 果不计摩擦，试求 1、物体运动的微分方程 2、求5s后物体下滑的距离及此时的速度和加速度 解：设物体速度v = v (t)，下落距离x = x(t)，从而 { dv ◦ dt = g · sin 30 v (0) = 0 解得v (t) = g 2 t，又因为 { =v x(0) = 0
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化简，得曲线族C 满足的微分方程F (x, y, y ′ ) = 0 从而，α ̸= π 2 时的等角轨线方程： F (x, y1 , 当α = π 2 时的正交轨线方程： F (x, y1 , − 1 ′ )=0 y1
′ −k y1 ′ )=0 1 + ky1
例：求直线束y = Cx的等角轨线和正交轨线 解：首先求直线束满足的微分方程 将y = Cx两端求导，得y ′ = C ，则 { y = Cx y′ = C 从而，得直线束的微分方程 dy y = dx x 1、当φ ̸= π 2 时，等角轨线的方程： y′ − k y = ′ 1 + ky x 或 xdx + ydy = 即 xdx + ydy 1 xdy − ydx = 2 2 x +y k x2 + y 2 积分，得 1 1 y ln(x2 + y 2 ) = arctan + lnC 2 k x 或 √ x2 + y 2 = Ce k arctan x 2 email:teacherxi@
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法一阶常微分方程是微积分中的一种基础概念。
它描述了一个未知函数及其导数之间的关系。
求解一阶常微分方程是微积分研究的重要内容之一，它在科学、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍几种解一阶常微分方程的常用方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最常用的方法之一。
通过将未知函数的变量和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的求解即可得到问题的解。
例如，对于形式为dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将dy/g(y) =f(x)dx进行变量的分离，然后对两侧进行积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，进一步求解得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程是指形如dy/dx = f(y/x)的一阶常微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的代换来将其转化为分离变量法适用的形式。
例如，令u = y/x，对原方程进行偏导数变换，可得du/dx = (dy/dx - u)/x，进而得到线性微分方程du/dx + u/x = f(u)。
对该线性微分方程应用分离变量法即可求解得到u(x)的表达式，再将u(x)代回原来的变量即可获得y(x)的解析表达式。
3. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程。
其中P(x)和Q(x)是已知函数。
对于这种类型的微分方程，可以通过一阶线性微分方程的解析公式进行求解。
一阶线性微分方程的解析公式为y = e^(-∫P(x)dx)∫[e^(∫P(x)dx)Q(x)]dx + Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
4. 变量可分离线性微分方程法变量可分离线性微分方程是指形如dy/dx = f(x)/g(y)的微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的移项和对两侧的积分进行求解。
例如，对于形如dy/dx = x/y的微分方程，可以将其转化为xydy = y^2dx，然后进行两侧的积分，得到∫xydy = ∫y^2dx，进一步求解即可得到y的表达式。
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究
一阶线性常微分方程的解法及其应用探究一阶线性常微分方程是微积分中的重要内容，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍一阶线性常微分方程的解法以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来了解一下什么是一阶线性常微分方程。
一阶线性常微分方程是指形如dy/dt + p(t)y = q(t)的微分方程，其中p(t)和q(t)是给定的连续函数。
解一阶线性常微分方程的方法之一是分离变量法。
首先将方程变形为dy/y = -p(t)dt，然后对两边同时积分，得到ln|y| = -∫p(t)dt + C，其中C为常数。
再通过对数的性质，得到y = Ce^(-∫p(t)dt)，其中C为任意常数。
另一种解一阶线性常微分方程的方法是常数变易法。
假设方程的解为y =u(t)e^(∫p(t)dt)，将其代入原方程后化简可以得到对于函数u(t)的一个关系式，通过求解这个函数关系式可以得到原方程的解。
除了以上两种方法外，还有一种更一般的解法，即利用积分因子法。
积分因子的定义为μ(t) = e^∫p(t)dt，将方程两边同时乘以积分因子，可以将原方程化为d(μ(t)y)/dt = μ(t)q(t)，然后对方程两边同时积分，最后可以得到y =(1/μ(t))(∫μ(t)q(t)dt + C)，其中C为常数。
除了以上介绍的解法，还有一些特殊类型的一阶线性常微分方程可以通过其他方法解决，比如可分离变量、恰当微分方程等。
在具体问题中，我们可以根据方程的形式选择适当的解法。
一阶线性常微分方程的应用非常广泛。
在物理学中，一阶线性常微分方程经常被用于描述一些物理过程，比如弹簧振动、电路中的电流变化等。
在经济学中，一阶线性常微分方程也被广泛用于建模，比如描述投资增长、人口增长等经济现象。
此外，在工程学、生物学等领域中，一阶线性常微分方程也有许多应用。
例如，在电路中，根据基尔霍夫定律可以得到电路中的电流满足一阶线性常微分方程。
通过解这个微分方程，可以得到电路中电流的变化规律，进而帮助工程师设计电路、解决电路中的问题。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学领域，微分方程是一种描述变量及其变化率之间关系的方程。
一阶常微分方程是指方程中包含未知函数的一阶导数，并且未知函数只出现一次的微分方程。
本文将详细介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。
一、定义一阶常微分方程可以用以下一般形式表示：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是独立变量，f是已知函数，称为方程的右端函数。
二、解法对于一阶常微分方程，常见的解法有分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法分离变量法的思想是将方程中的变量分开，使得其中一个变量只与自身有关，然后积分求解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx = g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别表示x和y的函数。
(2) 将方程两边同时乘以h(y)，并将包含y的项移到方程的一边，包含x的项移到另一边。
(3) 对两边同时积分，并加上常数C，得到方程的通解。
(4) 若已知初始条件y(x0) = y0，将初始条件代入通解中，求解得到特解。
2. 常数变易法常数变易法是通过对方程中的未知函数引入一个待定的参数，然后通过求解该参数的值来得到方程的解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx + p(x)y = q(x)的形式，其中p(x)和q(x)为已知函数。
(2) 设y = u(x)v(x)，其中u(x)为待定的函数，v(x)为积分因子，通常取v(x) = exp(∫p(x)dx)。
(3) 将上述表达式代入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程。
(4) 解关于u(x)的方程，并代入v(x)求得y的通解。
三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程领域有广泛的应用。
下面介绍其中几个常见的应用：1. 经济学经济学中常常用微分方程来描述经济系统的变化。
例如，人口增长、资源利用和市场供求关系等都可以用一阶常微分方程来模拟和预测。
2. 物理学物理学中常用微分方程来描述物体的运动和变化。
例如，牛顿第二定律F = ma可以写成二阶微分方程形式，而一阶微分方程则可以描述电路中的电荷、电流等量的变化。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。
在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。
本文将介绍一阶常微分方程的解法及其应用。
1. 分离变量法一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧；（2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解；（3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。
我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。
通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3+ C，其中 C 是常数。
这样我们就求得了方程的通解。
2. 齐次方程的解法对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。
如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。
我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。
将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。
显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。
将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。
3. 一阶线性方程的解法一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx+ P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
一阶线性方程的解法如下：（1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)；（2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)；（3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中C 是常数。
例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。
首先，我们求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
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F ( x) 2 F ( x) 4e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
e 2 x 4e 4 x d x C
4e
2x
2d x d x C e
e 2 x Ce 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式，得 C 1
于是
F ( x) e 2 x e 2 x
总习题: P353 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (9), (10)
(题3只考虑方法及步骤)
P353题2 求以
为通解的微分方程.
( x C ) 2 y 2 1 消去 C 得 提示: 2 ( x C ) 2 y y 0 P353 题3 求下列微分方程的通解:
的改变量为 则在 [ t , t t ]内车间内 0.04 x 两端除以 t , t k t x k 100 5400 并令 t 0 得微分方程
初始条件
解定解问题
dx k k x d t 5400 2500
x
得
t0
0.12 54
k=?
0.06 5400 0.06 54 t = 30 时 x 100 k 180 ln 4 250
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
y a y 2 0 P354 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
提示: 可化为贝努里方程 令 z x2
(10) y x x 2 y
提示: 令 u x 2 y x , 即 y 2 x u u 2 , 则 du du dy 2u 2u 2x dx dx dx 原方程化为
2 d u e u
2 u du 2e
故通解为
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
P354 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 它的切线在纵 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为
y yx x 1 y y 1 即 x 定解条件为 y x 1 1 .
y
M ( x, y )
x tan x y
o
x
x
P354 题6. 已知某车间的容积为
的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ?( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 5400
提示: 设每分钟应输入
t 时刻车间空气中含
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
(2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x) f 2 ( x) [ g ( x) f ( x)]2 2 f ( x) g ( x) (2e x ) 2 2 F ( x)
dx 化为 2x y 2 , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
y y x 0 时， 1 x 1 (3) y 2 2x y
y x
6x 3 3x y 2 (4) y 2 3x y 2 y 3
齐次方程 .
v a b a
由此得微分方程
bx x y
2 2
,
by
2
x y
2
o
P a b v
x
dx vx a x2 y2 x by y dy vy
即
a dx b dy
x y
2
x ( 齐次方程 ) 1 y
定解条件 x
y h
0.
练习题: P354 题 5 , 6
1. 求下列方程的通解 1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 (3) y ; 2 2x y 提示: (1) 因 e
y3 x y3 x
(2) x y x 2 y 2 y ;
6x 3 3x y 2 (4) y 2 . 3 3x y 2 y
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
m 3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
第十二章
二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy 2 令 p ( x) d y dy dx f ( x, ) dx dx 2 dy 2 令 p ( y) d y dy dx f ( y, ) dx dx 2
解答提示
P353 题2 求以 故特征方程为 因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解 为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
y2 1 0, (7) y 2 y 5 y sin 2 x . (6) y y 则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
x
du C
1 2 2 u 2 du C u 故原方程通解
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
f ( x) cos x 0 f (t )d t x f (x) x f (x) f ( x) sin x f ( x)
问题化为解初值问题: 最后求得
x
f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
e e , 故为分离变量方程: d y e x dx
y e
通解
2 y3
1 y3 x e e C 3
x2 y2 y (2) x y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y y 1 x
2
y x
2
xu 1 u 2 xu 1 u 2
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dy y (3) d x 2 ( ln y x) 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) x y x3 y 3 0 dx z y 2 提示: 为伯努里方程 , 令
(9) ( y 4 3x 2 ) d y x yd x 0
可分离变量方程求解
3.
设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
f ( x) g ( x) 2e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
(b a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 . 提示: 如图所示建立坐标系. 则
A
h
b
P a
x
a (a , 0)
o
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
b b PO b
0
x x2 y2
,
y x2 y2
y A
h
dx d y 鸭子的实际运动速度为 v , , dt dt
y 令u x
2. 求下列方程的通解:
(1) x y y y ( ln x ln y )