一阶微分方程的解法及应用

所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
F ( x) 2 F ( x) 4e 2 x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
F ( x) e
2 d x
e 2 x 4e 4 x d x C
4e
2x
2d x d x C e
e 2 x Ce 2 x 将 F (0) f (0) g (0) 0 代入上式，得 C 1
(7) y 2 y 5 y sin 2 x
特征根: 齐次方程通解: Y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) 令非齐次方程特解为 代入方程可得 A 117 ,
原方程通解为 y e x ( C1 cos 2 x C2 sin 2 x )
可分离变量方程求解
3.
设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞)
内满足以下条件: f ( x) g ( x), g ( x) f ( x), 且 f (0) 0,
f ( x) g ( x) 2e x . (1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;

f ( x) cos x 0 f (t )d t x f (x) x f (x) f ( x) sin x f ( x)
问题化为解初值问题: 最后求得
x
f ( x) f ( x) sin x
f (0) 0 ,
f (0) 1
思考: 设 ( x) e x
dx 化为 2x y 2 , 调换自变量与因变量的地位 , dy 用线性方程通解公式求解 .
y y x 0 时， 1 x 1 (3) y 2 2x y

y x
6x 3 3x y 2 (4) y 2 3x y 2 y 3
齐次方程 .
y
M ( x, y )
x tan x y
o
x
x
P354 题6. 已知某车间的容积为
的新鲜空气 输入 , 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ?( 假定输入的新鲜空气 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 5400
提示: 设每分钟应输入
t 时刻车间空气中含
dp f ( x, p ) dx
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 • 常系数情形 非齐次 * 欧拉方程
代数法
x 2 y p x y q y f (x) d t 令 x e ,D dt D( D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2（2）; 3 (6) ,(7) ; 4(2)。
故通解为
y y x y x 0 0 , y
x 0
0
y C1 cos x C2 sin x x
利用 y x 0 0, y x 0 0, 得
处的衔接条件可知,
解满足
y 4 y 0
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
第十二章
一阶微分方程的 解法及应用
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 三个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
e e , 故为分离变量方程: d y e x dx
y e
通解
2 y3
1 y3 x e e C 3
x2 y2 y (2) x y
方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分
离变量方程.
y y 1 x

2
y x
2
xu 1 u 2 xu 1 u 2
1. 求下列方程的通解 1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 (3) y ; 2 2x y 提示: (1) 因 e
y3 x y3 x
(2) x y x 2 y 2 y ;
6x 3 3x y 2 (4) y 2 . 3 3x y 2 y
y
1 sin 2 x (1 ) cos 2 x , 2 2
x 2
例2.
x 0
且满足方程
f ( x ) sin x ( x t ) f ( t ) dt
求 f ( x) .
f (t ) d t , 则
提示: f ( x) sin x x
x x f (t ) d t t 0 0
思考
B 417
若 (7) 中非齐次项改为
提示:
特解设法有何变化 ?
故 y* A cos 2 x B sin 2 x D
y a y 2 0 P354 题4(2) 求解 y x 0 0 , y
x 0
1
提示: 令 则方程变为 1 积分得 a x C1 , 利用 p x 0 y x 0 1 得 C1 1 p dy 1 , 并利用 y x 0 0 , 定常数 C2 . 再解 dx 1 ax
(b a), 且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 . 提示: 如图所示建立坐标系. 则
A
h
b
P a
x
a (a , 0)
o
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
b b PO b
0
x x2 y2
,
y x2 y2

y A
h
dx d y 鸭子的实际运动速度为 v , , dt dt
提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中
dy y (3) d x 2 ( ln y x) 提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) x y x3 y 3 0 dx z y 2 提示: 为伯努里方程 , 令
(9) ( y 4 3x 2 ) d y x yd x 0
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y d y 3 ( x 1) 2 y 2 化方程为 dx 2 y ( x 1)
d y d y dt d y 令t=x–1,则 dx d t dx d t d y 3t 2 y 2 (齐次方程) dt 2ty 令y=ut
m 3 新鲜空气 . 因此每分钟应至少输入 250
第十二章
二阶微分方程的 解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法
二、微分方程的应用
一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d y f ( x) 2 dx
2
逐次积分求解
dy 2 令 p ( x) d y dy dx f ( x, ) dx dx 2 dy 2 令 p ( y) d y dy dx f ( y, ) dx dx 2
于是
F ( x) e 2 x e 2 x
总习题: P353 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (9), (10)
(题3只考虑方法及步骤)
P353题2 求以
为通解的微分方程.
( x C ) 2 y 2 1 消去 C 得 提示: 2 ( x C ) 2 y y 0 P353 题3 求下列微分方程的通解:
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解. 解: (1) 由反函数的导数公式知
提示: 可化为贝努里方程 令 z x2
(10) y x x 2 y
提示: 令 u x 2 y x , 即 y 2 x u u 2 , 则 du du dy 2u 2u 2x dx dx dx 原方程化为
2 d u e u
2 u du 2e
x
x 0
( x u ) d u, (0) 0,
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
例3. 设函数
数, 且
内具有连续二阶导
(1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 2 d x dx 3 ( y sin x)( ) 0 2 dy dy
变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ;
解答提示
P353 题2 求以 故特征方程为 因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解 为通解的微分方程 .
提示: 由通解式可知特征方程的根为
y2 1 0, (7) y 2 y 5 y sin 2 x . (6) y y 则方程变为 提示: (6) 令 dp yp p2 1 0 , dy
的改变量为 则在 [ t , t t ]内车间内 0.04 x 两端除以 t , t k t x k 100 5400 并令 t 0 得微分方程
初始条件
解定解问题
dx k k x d t 5400 2500
x
得
t 0
0.12 54
k=?
0.06 5400 0.06 54 t = 30 时 x 100 k 180 ln 4 250
x

du C
1 2 2 u 2 du C u 故原方程通解
二、解微分方程应用问题
关键问题是正确建立数学模型, 要点: 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.
例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸
为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点 y O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b
v a b a
由此得微分方程
bx x y
2 2
,
by
2
x y
2

o
P a b v
x
dx vx a x2 y2 x by y dy vy
即
a dx b dy

x y

2
x ( 齐次方程 ) 1 y
定解条件 x
y h
0.
练习题: P354 题 5 , 6
y 令u x
2. 求下列方程的通解:
(1) x y y y ( ln x ln y )
(2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1) d x 0
3x 2 y 2 6 x 3 (3) y 2x y 2 y
提示: (1) 原方程化为 du u ln u (分离变量方程) 令u=xy,得 dx x (2) 将方程改写为 dy 1 y3 2 y (伯努里方程) 令 z y d x 2 x ln x 2x
P354 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 它的切线在纵 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为
y yx x 1 y y 1 即 x 定解条件为 y x 1 1 .
思考 若问题改为求解 y
则求解过程中得
x 0
0,
问开方时正负号如何确定?
y y x, x 2 例1. 求微分方程 y 4 y 0 , x 2
满足条件
处连续且可微的解.
提示:
解满足
特征根 : r1,2 i , 设特解 : y Ax B, 代入方程定 A, B, 得
(2) 求出F(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) 的表达式 . 解: (1) F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
g 2 ( x) f 2 ( x) [ g ( x) f ( x)]2 2 f ( x) g ( x) (2e x ) 2 2 F ( x)