山东省济南市2017届高三一模考试数学(理)试卷

高考模拟考试
理科数学
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
(1)设集合{}20,41=3x A x B x x A B x -⎧⎫=≤=-≤≤⋂⎨⎬+⎩⎭
，则 (A)[－3，1] (B)[－4，2] (C)[－2，1] (D)(－3，1]
(2)若复数z 满足)
=4i z i +⋅，其中i 为虚数单位，则z=
(A) 1 (B) i (C) i + (D)
1+
(3)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在
班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图
如右图．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，
小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学
生得到“诗词爱好者”的称号．根据该次比赛的成绩按照称号的不
同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”
称号的人数为
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6
(4)在1,60ABC AC BC B ∆===o 中，，则ABC ∆的面积为
(A) (B)2 (C) (D)3
(5)若变量x ，y 满足约束条件20,0,3220.x y y x y z x x y +≥⎧⎪-≤=⎨-⎪-+≥⎩
则的最小值等于 (A) 4- (B) 2- (C) 18- (D)0
(6)设x ∈R ，若“()1x a a R -<∈”是“220x x +->”的充分不必要条件，则a 的取值范围是
(A) (][),32,-∞-⋃+∞
(B) ()[),32,-∞-⋃+∞ (C) ()32-，
(D)[－3，2] (7)我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事
求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，
为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：
以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除
外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图
都是圆，则其俯视图形状为
(8)若110a b
>>，有四个不等式：①33a b <；②21log 3log 3a b ++>
<；④3322a b ab +>．则下列组合中全部正确的为
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①④
(9)已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点，A ，B 分别为左、右顶点，过点F 做x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ，
连结PB 交y 轴于点E ，连结AE 交QF 于点M ，若M 是线段QF 的中
点，则双曲线C 的离心率为
(A) 2 (B) 52 (C) 3 (D) 72
(10)设函数()22,0,11,22,0.
ax x x f x x ax x x ⎧+≥⎪⎡⎤=∈-⎨⎢⎥-+<⎣⎦⎪⎩当时恒有()()f x a f x +<，则实数a 的取值范围是
(A)
(B) 1⎛
- ⎝
(C) ⎫⎪⎪⎭ (D) 12⎫-⎪⎪⎭ 第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
(11)函数()31
f x x =++的定义域为____________． (12)执行下边的程序框图，当输入的x 为2017时，输出的y =___________．
(13)已知()()*
12n x n N -∈的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中所有项的系数和为_____________．
(14)在平面直角坐标系内任取一个点(),P x y 满足0202
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则点P 落在曲线1y x =与直线2,2x y ==围成的阴影区域(如图所示)内的概率为__________．
(15)如图，正方形ABCD 的边长为8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且AE=3ED ，CF=FB ，
如果对于常数m ，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PE PF uur uu u r g =m 成
立，那么m 的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
(16)(本小题满分12分)
已知函数()2
2sin cos 222x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭ (I)求()f x 的单调区间；
(II)求()[]0f x π在，上的值域．
(17)(本小题满分12分)
如图，正四棱台1111ABCD A B C D -的高为2，下底面中心为O ，
上、下底面边长分别为2和4．
(I)证明：直线1//OC 平面11ADD A ；
(II)求二面角1B CC O --的余弦值．
(18)(本小题满分12分)
已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，325149,,S a a a =，并且成等比数列，
数列{}n b 的前n 项和为1332
n n T +-=． (I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)若2318log n n n n n
a b c a b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n M ．
(19)(本小题满分12分)
2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，Mobike Lite 型(Lite 版)每30分钟收费0.5元 (不足30分钟的部分按30分钟计算)；Mobike (经典版)每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为
321,,432
，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用Lite 版单车，丙租用经典版单车．
(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
(20)(本小题满分13分) 已知函数()()211ln 2
f x ax a x x a R =
-++∈，其中． (I)当0a >时，讨论函数f (x )的单调性； (II)当0a =时，设()()2g x xf x =-+，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞使得函数()g x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ++⎡⎤⎣⎦?若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(21)(本小题满分14分) 设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，定义椭圆的“伴随圆”方程为2222x y a b +=+
；若抛物
线24x y =的焦点与椭圆C 的一个短轴端点重合，且椭圆C (I)求椭圆C 的方程和“伴随圆”E 的方程；
(II)过“伴随圆”E 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，延长PA 与“伴随圆”E 交于点Q ，O 为坐标原点．
(i)证明：PA ⊥PB ；
(ii)若直线OP ，OQ 的斜率存在，设其分别为12,k k ，试判断12k k ⋅是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．。