山东省济南市2020年高三数学一模试题含答案答案
2020年3月济南市高三统一考试
xx 年3月济南市高三统一考试数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至8页，共150分。
测试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合{}1x 0,x 2y |y B ,1x 1,x y |y A 31≤<-==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==，则B A I 等于（ ）A. ]1,(--∞B. [－1，1]C. ΦD. {}1 2. 如果R a ∈且0a a 2<+，那么22a a a a --、、、的大小关系是（ ） A. a a a a 22->->> B. a a a a 22>->>- C. 22a a a a ->>>-D. 22a a a a ->>->3. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=60°，24b ,34a ==，则角B=（ ）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上答案都不对4. 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3a 23S n n -=，则数列{}n a 的通项公式是（ ）A. )1n n (2a 2n ++= B. 3n 3a n +=C. n n 23a ⋅=D. nn 32a ⋅=5. 以0y 4x 3=±为渐近线的双曲线过点（3，－4），则此双曲线的离心率e 等于（ ）A. 45B. 35C. 34D. 3545或6. 已知向量(2,1)b (1,3),a ==，若)b (3a )b 2a (λ++与平行，则实数λ的值等于（ ）A. 6-B. 6C. 2D. 2-7. 由1x 3y 2+=、1x =、3x =及x 轴围成的图形的面积为（ ）A. 28B. 26C. 30D. 3328. 关于函数)43x 3sin(2)x (f π-=，有下列四个命题：（ ）①其最小正周期为π32； ②其图象由x 3sin 2y =向左平移4π个单位而得到；③其表达式可写成)43x 3cos(2)x (f π+=； ④在]125,12[x ππ∈上为单调递增函数。
山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题含答案
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） ―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=12|M x x -<<，{|N x y ==，则=M N ⋂A ．{}1|x x >-B ．2|}0{x x ≤<C ．{}2|0x x <<D ．{12}x x |≤<2．函数()34=f x x x +-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33．已知命题1:,e 2exx p x ∀∈+≥R ，则p ⌝为 A ．1,e 2e xxx ∃∈+≥R B ．1,e 2e xx x ∃∈+<R C ．1,e 2exx x ∃∈+≤R D ．1,e 2exx x ∀∈+≤R 4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑．国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015─2019年GDP 数据．根据表中数据，2015-2019年我国GDP 的平均增长量为 A ．5.03万亿B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=则下列说法错误的是 A ．双曲线C 的实轴长为8 B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =±C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为947．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是 A ．14B ．516C ．38D ．128．在ABC 中，cos c os A B +=AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知复数1cos2sin 2()22z i ππθθθ=++-<<（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为 A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DPD 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>a ．，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．下列说法正确的是 A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________． 14．若5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________．15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为________．16．已知函数()2ln f x x =，21()(0)2g x ax x a =-->．若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x = 的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的取值范围是________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点．（1）求证：BMDF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2,,n n a n a n n b ⎧=⎨⎩奇数为偶数为，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A A πωω=+>>能同时满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2； ②函数()f x的图象可由)4y x π=-的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和． 20．（12分）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g ．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附： ①若()2~,X Nμσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知；随机变量2~(,)25Y N σμ；②若()2~,Nημσ，则0.68()26P μσημσ-<<+=，220.9()544P μσημσ-≤<+=， 330.9()974P p σημσ-<<+=；③通常把发生概率在0．05以下的事件称为小概率事件． 21．（12分）已知函数()ln()f x a x b =+-（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数． 22．（12分）已知平面上一动点A 的坐标为2(2,2)t t -． （1）求点A 的轨迹E 的方程； （2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t． （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆两圆公共弦的中点为H ．在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．–1；14．4.5；15．3； 16．32，32a ≥（本小题第一空2分，第二空3分）． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）证明：【方法一】连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面， 因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ， 因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥， 所以BMDF ⊥．【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1AD AF ==，2BC BE ==，所以()0,0,0B ，M ，()0,1,1D ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,1,0)DF =-，所以20BM DF ⋅==，所以BMDF ⊥．（2）【方法一】连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DFEN =，所以四边形ENDF 为平行四边形， 所以//EF DN ，所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为BD DN BN ===所以BND 为等边三角形，所以60BND ∠=，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒． 【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1AD AF ==，2BE =，所以()0,0,0B ，M ，()2,0,0E ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,0,1)EF =-所以1cos ,2||||BM EF BM EF BM EF ⋅<>===-．所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒．18．【解析】 （1）因为21122n S n n =+ 所以当1n =时，111a S ==. 当2n ≥时，2211111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式， 所以n a n =．（2）因为,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以对任意的+k ∈N ，2121(21)(21)2k k b b k k +--=+--=，则{}21k b -是以1为首项，2为公差的等差数列；222222242k k k k b b ++==， 则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()2462(12321)2222n n =++++-+++++()414(121)214nn n -+-=+- 124433n n +=+-19．【解析】（1）函数()sin(6x f x A πω=+）满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件之一，由③可知，Tπ=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件为①③；由①可知2A =， 所以()2sin(2)6f x x π=+（2）因为()10f x +=，所以1sin(2)62x π+=-， 所以22()66x k Z k πππ+=-+∈或722()66x k Z k πππ+=+∈， 即()6x k k ππ-+∈=Z 或()2x k k ππ+∈=Z又因为],[x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 所以方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为23π． 20．【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2．0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=．（个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ．假设面包师没有撒谎，则2~(1000,50)X N ． 根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则2~(1000,10)Y N ． 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据， 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．21．【解析】（1）当1a =，0b =时，l (n )f x x =-此时，函数()f x 定义域为(0,)+∞，1()f x x '=-=，． 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在(4,)+∞上单调递减．所以max ()(4)2ln 22f x f ==-．（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[0,)+∞，()a f x xb '==+， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的,()0x ∈+∞恒成立， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即()f x '在(0,)+∞上无变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ⅱ）当3440a b ->，即a >记方程()0h x =的两根分别为1x ，2x ，则120x x a +=>，120x x b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为2个．综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个．22．【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为2(2,2)t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222(,)t t当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B AAB B A y y t k x x t-==--所以直线AB 的方程为222(2)1t y t x t t +=--， 整理得2(2)1ty x t =--所以直线AB 过定点()2,0；（ⅱ）【方法一】因为A 的坐标为2(2,2)t t -，且圆A 与直线2x =-相切， 所以圆A 的方程为222()()(2)A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A Bx x x y y y y y x x -+-+-=- 将2(2,2)A t t -，222(,)B t t 带入并整理得1()(1)y t x t =-+①， 由（i ）可知直线AB 的方程为2(2)1ty x t =--②， 因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得2(2)(1)y x x =--+， 整理得2219()24x y -+=，即点H 的轨迹是以1(,0)2为圆心，32为半径的圆， 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．【方法二】由题意知直线2x =-为圆A 与圆B 的公切线，设切点分别为E ，F ，设两圆的公共弦交公切线2x =-于点G ，则G 为E ，F 的中点， 所以G 点横坐标为2G x =-，G 点的纵坐标为122E F A B G y y y y y t t++===-， 即1(2,)G t t--，因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为211AB t k t--=， 故公共弦所在的直线方程为211()(2)t y t x t t---=+ 整理得1()(1)y t x t =-+，所以公共弦恒过()1,0S -；由平面几何的知识可知，公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，记直线AB 所过的定点为R ，则R ，S ，公共弦的中点H ，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点H 在以RS 为直径的圆上： 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．。
2020-2021年山东省济南市质检一：济南市2020届高三第一次质量检测数学(理)试题附答案
山东省济南市2020届高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈A}，则B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2}C．{0，2，4}D．{1，2}
2．（5分）复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知p：2m+4n＜4，q：m+2n＜2，则p是q的（）
A．充分而非必要条件B．必要而非充分条件
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2020年山东省济南市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z•（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i2．已知集合M={x|﹣x≤x＜3}，集合N={x|y=}，则M∪N=（）A．M B．N C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣3≤x＜3}3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26 C．25 D．244．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．45．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]9．已知函数f（x）=ax2﹣bx2+x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f （x）在x=1处取得最值的概率是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y2=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，则++的值为（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：（本题共5小题，每题5分，共25分）11．设ln3=a，ln7=b，则e a+e b=_______．（其中e为自然对数的底数）12．已知向量，，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是_______．13．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为_______．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为_______．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为_______．三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号/户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9A户型0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B户型 1.08 1.11 1.12 b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，E，H分别为AB，PC，BC的中点（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．19．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求m的取值范围．21．设函数f（x）=ax2+b（lnx﹣x），g（x）=﹣2+（1﹣b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．2020年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z•（2+i）=10﹣5i（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．﹣3+4i B．﹣3﹣4i C．3+4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•（2+i）=10﹣5i，得z=，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：由z•（2+i）=10﹣5i，得=3﹣4i，则z的共轭复数=3+4i．故选：C．2．已知集合M={x|﹣x≤x＜3}，集合N={x|y=}，则M∪N=（）A．M B．N C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|﹣3≤x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合M、N的范围，从而求出其并集即可．【解答】解：集合M={x|﹣x≤x＜3}={x|0≤x＜3}，集合N={x|y=}={x|﹣3≤x≤2}，则M∪N={x|﹣3≤x＜3}，故选：D．3．某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本．已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26 C．25 D．24【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，则系统抽样的分段间隔为8，可求得余下的同学的编号．【解答】解：∵从48名学生从中抽取一个容量为6的样本，∴系统抽样的分段间隔为=8，∵学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，∴抽取的另一个同学的学号应为27，故选：A．4．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2C．4 D．4【考点】基本不等式．【分析】直线ax+by=1经过点（1，2），可得：a+2b=1．再利用基本不等式的性质、指数的运算性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．则2a+4b≥==2，当且仅当时取等号．故选：B．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据线面垂直的性质定理进行判断．②根据线面平行的判定定理进行判断．③根据线面平行的判定定理进行判断．④根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断．【解答】解：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β成立，故①正确；②若m∥α，m∥β，则α∥β不一定成立，有可能相交，故②错误；③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β；故③错误，④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故④错误，故正确的是①，故选：A6．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．已知x，y满足约束条件，则z=的范围是（）A．[，2]B．B[﹣，]C．[，]D．[，]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，根据z=的几何意义求出z的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，2），由，解得B（3，1），而z=的几何意义表示过平面区域内的点与（﹣1，﹣1）的直线的斜率，显然直线AC斜率最大，直线BC斜率最小，K AC==，K BC==，故选：C．9．已知函数f（x）=ax2﹣bx2+x，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数f （x）在x=1处取得最值的概率是（）A．B．C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】所有的（a，b）共计6×6=36个，函数f′（x）=ax2﹣bx在x=1处取得最值等价于f″（1）=2a﹣b=0，用列举法求得满足条件的（a，b）有3个，再根据概率公式计算即可．【解答】解：连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，共有36种等可能事件，∵f（x）=ax3﹣bx2+x，∴f′（x）=ax2﹣bx+1，∵函数f′（x）=ax2﹣bx+1在x=1处取得最值，∴f″（x）=2ax﹣b，∴f″（1）=2a﹣b=0，即2a=b，满足的基本事件有（1，2），（2，4），（3，6），共3种，故函数f′（x）在x=1处取得最值的概率为=，故选：C．10．已知抛物线y2=2px（p＞0），△ABC的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，Q，且M，N，Q的纵坐标分别为y1，y2，y3．若直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，则++的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB，BC，AC的方程，联立方程组消元，利用根与系数的关系解出y1，y2，y3，根据斜率之和为﹣1化简++即可得出答案．【解答】解：设AB的方程为x=m1y+t1，BC的方程为x=m2y+t2，AC的方程为x=m3y+t3，联立方程组，消元得：y2﹣2pm1y﹣2pt1=0，∴y1=pm1，同理可得：y2=pm2，y3=pm3，∵直线AB，BC，AC的斜率之和为﹣1，∴++=﹣1．∴则++=++=（++）=﹣．故选：B．二、填空题：（本题共5小题，每题5分，共25分）11．设ln3=a，ln7=b，则e a+e b=10．（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质．【分析】使用对数恒等式解出．【解答】解：∵ln3=a，ln7=b，∴e a=3，e b=7，∴e a+e b=10．故答案为10．12．已知向量，，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，∵||=，||=2，且（﹣）⊥，∴（﹣）•=||2﹣•=||2﹣||•||cosθ=3﹣2cosθ=0，解得cosθ=，∵0≤θ≤π，∴θ=，故答案为：．13．已知过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x﹣2）+4，求出圆C的圆心C（1，2），半径r=，圆心C（1，2）到直线l的距离d，由此能求出直线l的方程；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2也满足条件．由此能求出直线l的方程．【解答】解：设过点（2，4）的直线l的方程为y=k（x﹣2）+4，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0的圆心C（1，2），半径r==，圆心C（1，2）到直线l的距离d==，∵过点（2，4）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6，∴由勾股定理得：，即，解得k=，∴直线l的方程为y=（x﹣2）+4，即3x﹣4y+10=0，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心C（1，2）到直线x=2的距离d=1，满足，故x﹣2=0是直线l的方程．综上，直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．故答案为：x﹣2=0或3x﹣4y+10=0．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题:本大题共6小题，共75分16．近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响．某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米．下表是这18套住宅平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：房号/户型 1 2 3 4 5 6 7 8 9A户型0.98 0.99 1.06 1.17 1.10 1.21 a 1.09 1.14B户型 1.08 1.11 1.12 b 1.26 1.27 1.26 1.25 1.28（I）求a，b的值；（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知利用平均数公式能求出a，b．（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，B户型小于100万的有4套，先求出买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数，再列举法求出事件A=“至少有一套面积为100平方米住房所含基本事件个数，由此能求出至少有一套面积为100平方米的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：（0.98+0.99+1.06+1.17+1.10+1.21+a+1.09+1.14）=1.1，解得a=1.16，（1.08+1.11+1.12+b+1.26+1.27+1.26+1.25+1.28）=1.2，解得b=1.17．…（Ⅱ）A户型小于100万的有2套，设为A1，A2，B户型小于100万的有4套，设为B1，B2，B3，B4…买两套售价小于100万的房子所含基本事件总数为=15，…令事件A=“至少有一套面积为100平方米住房”，则A中所含基本事件有{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共9个…∴P（A）=，∴至少有一套面积为100平方米的概率为．．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，解得，又C是三角形的内角，即可得解C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∴，又∵C是三角形的内角，∴…（Ⅱ）∵，∴，∴ab=4，…又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=（a+b）2﹣2ab﹣ab，∴a+b=4，∴a=b=2．…18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，E，H分别为AB，PC，BC的中点（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAH⊥平面DEF．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN，则FN∥PD，EN∥AD，故而平面EFN∥平面PAD，所以EF∥平面PAD；（Ⅱ）由侧面PAD⊥底面ABCD可得PA⊥平面ABCD，故PA⊥DE，由正方形的性质可得DE⊥AH，故DE⊥平面PAH，于是平面PAH⊥平面DEF．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点N，连接FN，EN．∵在△CPD中，F，N为中点，∴FN∥PD．∵正方形ABCD中，E，N为中点，∴EN∥AD，∵EN⊂平面EFN，FN⊂平面EFN，EN∩FN=N，PD⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PD∩AD=D，∴平面EFN∥平面PAD，∵EF⊂平面EFN，∴EF∥平面PAD．（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA，∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC中点，∴Rt△ABH≌Rt△ADE，则∠BAH=∠ADE，∴∠BAH+∠AED=90°，则DE⊥AH，∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH=A，∴DE⊥平面PAH，∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF．19．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列{b n}的前三项（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2T k=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∴，解得a1=3，d=2，∵b1=a1=3，b2=a4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a n=3+2（n﹣1）=2n+1．，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离为定值，并求m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程和“相关圆”E 的方程．（Ⅱ）联立方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线AB的距离为定值，并能求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为若抛物线y2=4x的焦点为（1，0）与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为…证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0…，由条件OA⊥OB得3m2﹣2k2﹣2=0…所以原点O到直线l的距离是由3m2﹣2k2﹣2=0得为定值．…此时要满足△＞0，即2k2﹣m2+1＞0，又，即，所以，即或…21．设函数f（x）=ax2+b（lnx﹣x），g（x）=﹣2+（1﹣b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=2a=﹣1，求出a的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的导数，结合二次函数的性质，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，b]，求出F（x）的导数，得到F（x）max﹣F（x）min=F（b）﹣F（1）=blnb﹣b+1，问题转化为即blnb﹣b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb﹣b，b∈[1，+∞），通过讨论函数t（b）的单调性，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），所以k=f'（1）=2a=﹣1，所以…（Ⅱ），其定义域为（0，+∞），，令h（x）=﹣x2﹣bx+b，x∈（0，+∞）△=b2+4b（i）当﹣4≤b≤0时，△=b2+4b≤0，有h（x）≤0，即f'（x）≤0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，故f（x）在区间（0，+∞）无极值点；（ii）当b＜﹣4时，△＞0，令h（x）=0，有，，x2＞x1＞0，当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（0，x1）上递减；当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（x1，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）有一个极小值点和一个极大值点．（iii）当b＞0时，△＞0，令h（x）=0，有，，当x∈（0，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（0，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）唯一的极大值点，无极小值点．综上可知，当b＜﹣4时，函数f（x）有一个极小值点和一个极大值点．当﹣4≤b≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有无极值点；当b＞0时，函数f（x）有唯一的极大值点，无极小值点；…（III）令F（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，b]，则F（x）==blnx﹣x若总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣f（x2）﹣1＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，即总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2）+m+1成立，即总存在x1，x2∈[1，b]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m+1成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m+1，因为x∈[1，b]，所以F'（x）≥0，即F（x）在[1，b]上单调递增，所以F（x）max﹣F（x）min=F（b）﹣F（1）=blnb﹣b+1，即blnb﹣b+1＞m+1对任意b∈（1，+∞）成立，即blnb﹣b＞m对任意b∈（1，+∞）成立．构造函数：t（b）=blnb﹣b，b∈[1，+∞），t'（b）=lnb，当b∈[1，+∞）时，t'（b）≥0，∴t（b）在[1，+∞）上单调递增，∴t（b）min=t（1）=﹣1．∴对于任意b∈（1，+∞），∴t（b）＞t（1）=﹣1．所以m≤﹣1…2020年9月12日。
2020届山东省济南市高三第一模数学试题(word版含答案)
2020年山东省济南市高三一模数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知全集U R ＝，集合A ＝2{}x x x ｜＞，则UA ＝A ． []0,1B ． （0，1）C ． (],1-∞D ． 1-∞（，） 2.设复数21iz i+＝（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位:kg ）约为（参考数据:取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，） A ． 63 B ． 69 C ． 75 D ．814.已知函数y f x ＝（）的部分图象如图，则f x （）的解析式可能是 A ． f x x tanx （）＝＋ B ． 2f x x sin x （）＝＋ C ．1 22f x x sin x -（）＝ D. 1cos 2f x x x -（）＝ 5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。
某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。
若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A ． 甲 B ． 丙 C ． 戊 D ．庚6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q 。
若8AB PQ ＝，则＝ A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 87.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
2020届山东省济南市高考数学一模试卷(含解析)
2020届山东省济南市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z 满足z =，则z 对应的点位于复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈Z}，B ={x|1x+1≤0,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. (−1,2]B. [−1,2]C. {−1,0，1，2}D. {0,1，2}3. 已知等比数列{a n }满足a n >0，n =1.2，…，且a 5・a 2n−5=22n (n ≥2).则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+⋯+log 2a 2n−1=.A. n(2n −1)B. (n +1)2C. n 2D. (n −1)24. 在等比数列{a n }中，a 5=3，则a 1⋅a 2⋅a 3…a 9=39，若数列{b n }为等差数列，b 5=3，则数列{b n }的类似结论为( )A. b 1b 2…b 9=39B. b 1+b 2+⋯+b 9=39C. b 1b 2…b 9=3×9D. b 1+b 2+⋯+b 9=3×95. 若x ，y 为不等式组{x +y ≥12x −y ≤2y −2≤0表示的平面区域中的一点，且使得mx +y 取得最小值的点(x,y)有无数个，则m =( )A. 1B. 2C. −1D. 1或−26. 我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法有“纵式”和“横式”两种，规定个位数用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式，…，以此类推，交替使用纵横两式．例如：627可以表示为“”.如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用7根小木棍的概率为( )A. 1114B. 1721C. 2021D. 79847. 执行如图所示的程序，若输入的x =3，则输出的所有x 的值的和为( )A. 243B. 363C. 729D. 10928. 下列命题中是假命题的是( ) A.; B. 使得函数是偶函数； C. 使得； D. 是幂函数，且在上递减；9. 已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的菱形，若该四棱柱的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，则该四棱柱左视图面积的最小值是( )A. 4√3B. 2√3C. 2D. √3 10. 已知点，在单位圆上， (为坐标原点)，则的取值范围是 A. B. C. D.11. a ⃗ =(8+12x,x)，b ⃗ =(x +1,2)(其中x >0)，若a ⃗ //b ⃗ ，则x 的值为( )A. 8B. 4C. 2D. 012. 下列命题中是真命题的是( )A. x ∈R ，使得sinxcosx =B. x ∈(−∞,0)，2x >1C. x ∈R ，x 2≥x +1D. x ∈(0,)，tanx >sinx二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设G 为△ABC 的重心，且sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则角B 的大小为______．14.将全体正偶数排成一个三角数阵：按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为______．+x的最小值为______ ．15.已知x>3，则函数y=1x−316.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且a3，a4+2，a5成等差数列，则数列{a n}的前5项和S5=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知3a2−4√3S=3b2+3c2．(1)求A；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P−AC−E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．(a,b∈R)，若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1．19.设函数f(x)=ax+bx(Ⅰ)用a表示b；(Ⅱ)设g(x)=lnx−f(x)，若g(x)≤−1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围．20.某社区居委会用“百分制”调查该社区居民对社区的治安满意度，现从调查的居民中随机选取14名，将他们的治安满意度分数的数据绘制成如下的茎叶图，若治安满意度不低于89分，则称该居民对社区的治安满意度为“非常好”．(1)若从这14人中任选3人，求至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率；(2)若从这14人中任选2人，记X表示这2人中对社区治安满意度为“非常好”的人数，求X的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=a |x|−|x|+2．(1)若x ∈[12,2]时f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a =−34时，求函数f(x)在x ∈[−2,0)上的最大值．22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，已知过点P(−2,−4)的直线l 的参数方程为{x =−2+t y =−4+t，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23.已知函数f(x)=|x+2|+|2x−4|．(1)求f(x)<6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥m2−3m的解集是R，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：对应的点为，位于第二象限，故B正确．考点：复数的运算、复数的几何意义．2.答案：C解析：解：∵集合A={x||x|≤2,x∈z}={−2,−1,0，1，2}，B={x|1≤0,x∈R}={x|x<−1}，x+1∴C R B={x|x≥−1}，∴A∩∁R B={−1,0，1，2}．故选：C．先求出集合B，再求出C R B，由此利用交集定义能求出A∩∁R B.本题考查的知识点是集合的交集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．3.答案：C解析：解析：，所以a n=2n，又有log2a1+log2a3+⋯+log2a2n−1=log2(a1×a3×…×a2n−1)=log2(2n)n=n2．4.答案：D解析：等差和等比的类比时，在等比中为积在等差中为和，按此规律写出规律即可．本题考查等差和等比数列的类比、考查利用所学知识解决问题的能力．解：因为在等比数列中有a1⋅a9=a2⋅a8=a3⋅a7=a4⋅a6=a52有a1⋅a2⋅…⋅a9=a59，而等差数列中有b1+b9=b2+b8=b3+b7=b4+b6=2b5，故在等差数列{b n}中，类似地，有b1+b2+⋯+b9=9b5=3×9．故选D ．5.答案：D解析：解：作出不等式组{x +y ≥12x −y ≤2y −2≤0对应的平面区域：由题意，z =mx +y 取得最小值的最优解有无数个，最优解应在线段AC 或BC 上取到，故mx +y =0应与直线AC 或BC 平行，∴−m =−1，或−m =2即m =1或m =−2．故选：D ．由题设条件，目标函数z =x +ay ，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数的斜率为正，最小值应在左上方边界AC 上取到，即ax +y =0应与直线AC 或BC 平行，进而计算可得a 值．本题考查线性规划最优解的判定，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：至少要用7根小木棍的对立事件为用5根小木棍和6根小木棍这两种情况， 用5根小木棍为126这一种情况的全排列，用6根小木棍为123，127，163，167这四种情况的全排列，故至少要用7根小木棍的概率为1−5A 33A 93=7984． 故选：D ．利用已知条件，推出对立事件的个数，利用古典概型概率的求法，转化求解即可．本题考查古典概型概率的求法，对立事件的概率的求法，分析题意的解题的关键，中档题． 7.答案：D解析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，分析程序的功能，以便得出正确的结论，是基础题．解：模拟程序的运行可得：当x=3时，y是整数，当x=32时，y是整数，依此类推可知当x=3n(n∈N∗)时，y是整数，则由x=3n>1000，得n≥7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092．故选D．8.答案：A解析：答案A当时，，所以该命题是假命题，选A．考点：全称命题与特称命题真假判断．9.答案：B解析：解：由已知四棱柱的侧棱长为2，且侧棱垂直于底面，底面是边长为2且有一个内角为60°的菱形，若该四棱锥的俯视图的面积与四棱柱的底面积相等，说明棱柱是放倒图形，如图：侧视图是菱形，侧视图的面积的最小值为：2×2sin60°=2√3．故选：B．通过题意判断四棱柱放置的形状，画出图形，然后确定侧视图的形状，即可得到结果．本题考查简单几何体的三视图的画法，视图面积是的求法．考查空间想象能力以及计算能力．10.答案：B解析：本题考查三角函数的定义、向量的数量积、三角函数的化简求值，考查计算能力．求出的表达式，结合角的范围，求出其取值范围．解：设，，则，则则，当中一个为240°，另一个为120°时，有最大值为，当中一个为60°，另一个为−60°时，有最小值为，故选B．11.答案：B解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ，且x >0； ∴2(8+12x)−x(x +1)=0； 解得x =4，或x =−4(舍去)． 故选：B ．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出2(8+12x)−x(x +1)=0，再根据x >0，即可解出x 的值． 考查向量坐标的定义，以及向量平行时的坐标关系．12.答案：D解析：当x ∈(0,)时，0<cosx <1，0<sinx <1， ∴>sinx ，即tanx >sinx ．13.答案：π3解析：解：∵G 是△ABC 的重心，∴GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∵sinA ⋅GA⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ −sinB ⋅(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(sinA −sinB)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(sinC −sinB)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 又∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与GC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴sinA −sinB =sinC −sinB =0， ∴sinA =sinB =sinC ． ∴a =b =c ． ∴A =B =C =π3．故答案为：π3．由G 是△ABC 的重心，可得GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .又sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinB ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得sinA ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ −sinB ⋅(GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+sinC ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，即(sinA −sinB)GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(sinC −sinB)GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，由于GA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与GC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，可得sinA −sinB =sinC −sinB =0，即可得出a =b =c ．本题考查了三角形的重心性质、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．14.答案：n2−n+6解析：解：观察三角形数阵知第n行有n个正偶数，则第n行(n≥3)前共有1+2+3+⋯+(n−1)=(n−1)n2个数，所以第n行(n≥3)从左向右的第3个数为2[(n−1)n2+3]=n2−n+6，故答案为：n2−n+6．首先找出三角形数阵的规律，求出前n−1行正偶数的个数，然后由偶数的特点求出第n行第3个偶数．本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．15.答案：5解析：解：x>3，则函数y=1x−3+x=1x−3+x−3+3≥2√(x−3)⋅1x−3+3=2+3=5，当且仅当x=4时取等号，故函数y=1x−3+x的最小值为5，故答案为：5．根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，关键掌握一正二定三相等，属于基础题．16.答案：31解析：解：由题意可得2(a4+2)=a3+a5，即2(8a1+2)=4a1+16a1，解得a1=1．∴S5=1×(1−25)1−2=31．故答案为：31．由已知列式求得等比数列的首项，再由等比数列的前n项和求解S5．本题考查等差数列和等比数列的通项与前n项和，是基础题．17.答案：解：(1)∵S=12bcsinA，∴由已知得：b2+c2−a2=−4√33S=−4√33⋅12bcsinA，∴化简得：b2+c2−a22bc =−√33sinA=cosA，∴tanA=−√3，A∈(0,π)，∴A=2π3．(2)在△ABC中，由正弦定理得：．∴b=2√3sinB，c=2√3sinC=2√3sin(π3−B)，记△ABC周长为y，∴y=a+b+c=2√3sinB+2√3sin(π3−B)+3．化解得：y=2√3sinB+2√3(√32cosB−12sinB)+3=2√3sin(B+π3)+3．∵B∈(0,π3)，∴周长y∈(6,3+2√3]综上所述：△ABC周长的取值范围(6,3+2√3].解析：本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．(1)已知等式利用面积、余弦定理化简，整理后求出A的度数即可；(2)记△ABC周长为y，y=a+b+c=2√3sinB+2√3sin(π3−B)+3=2√3sin(B+π3)+3.根据B∈(0,π3)，可得ABC周长的取值范围．18.答案：(1)见解析(2)解析：(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC ． (2)如图，以点C 为原点，，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(1,1，0)，B(1,−1,0)，设P(0,0，a)(a >0)， 则E，=(1,1，0)，=(0,0，a)，=.取m =(1,−1,0)，则m ·=m ·=0，m 为面PAC 的法向量．设n =(x,y ，z)为面EAC 的法向量，则n ·=n ·=0，即取x =a ，y =−a ，z =−2，则n =(a,−a,−2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|===，则a =2.于是n =(2,−2,−2)，=(1,1，−2).设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos 〈，n 〉|==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为19.答案：解：(Ⅰ)函数的导数为f′(x)=a −bx 2，因为f(x)在点(1,f(x))处的切线斜率为1， 所以f′(1)=a −b =1，解得b =a −1； (Ⅱ)因为g(x)=lnx −f(x)， 所以g(x)=lnx −f(x)=lnx −(ax +a−1x)=lnx −ax −a−1x，要使g(x)≤−1恒成立，即g(x)max ≤−1． g′(x)=1x −a +a−1x =−ax 2+x+a−1x =−(ax+a−1)(x−1)x ，①当a =0时，g′(x)=x−1x 2，当x ∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1，不符题意；②当a≠0时，g′(x)=−(ax+a−1)(x−1)x2=−a[x−(−1+1a)](x−1)x2=0⇒x=1,x=−1+1a，(1)若a<0，−1+1a<0，当x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1−2a>1>−1，不符题意；(2)若a>0，若0<a≤12，−1+1a>1，当x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(−1+1a )=ln(−1+1a)+2a−1>−1，不符题意；若12<a<1，0<−1+1a<1，x∈(0,−1+1a)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(1)=1−2a>1−2=−1，不符题意；若a≥1，−1+1a≤0，x∈(0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)max=g(1)=1−2a≤−1，符合题意；综上，得g(x)≤−1恒成立，实数a的取值范围为a≥1．解析：(Ⅰ)由f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1，则得到f′(1)=1，进而可得结果；(Ⅱ)由于g(x)≤−1恒成立，等价于g(x)max≤−1.利用导数可求得函数的最大值，可验证此时满足要求，从而得到a的范围．本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，本题综合性强，运算量大，对能力要求较高．20.答案：解：(1)由茎叶图得这14人中对社区治安满意度为“非常好”的人数为5，从这14人中任选3人，基本事件总数n=C143=364，至多有2人对社区治安满意度为“非常好”包含的基本事件个数：m=C143−C53=354，∴至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率p=mn =354364=177182．(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C92C142=3691，P(X=1)=C91C51C142=4591，P(X=2)=C52C142=1091∴X的分布列为：E(X)=0×3691+1×4591+2×1091=6591．解析：(1)由茎叶图得这14人中对社区治安满意度为“非常好”的人数为5，从这14人中任选3人，基本事件总数n=C143=364，至多有2人对社区治安满意度为“非常好”包含的基本事件个数：m= C143−C53=354，由此能求出至多有2人对社区治安满意度为“非常好”的概率．(2)由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的概率分布、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(1)由x∈[12,2]时f(x)≥0恒成立，可得ax−x+2≥0恒成立，故a≥x2−2x在x∈[12,2]时恒成立，由二次函数的性质可知，x∈[12,2]，y=x2−2x∈[−1,0]，故a≥0，∴实数a的取值范围[0,+∞)，(2)当a=−34时，x∈[−2,0)，f(x)=34x+x+2，结合对勾函数的性质可知，f(x)在[−2,0)上先增后减，当x=−√32时，函数取得最大值2−√3．解析：(1)由已知进行分离参数后转化为求解二次函数的范围，即可求解a 的范围； (2)把a 的值代入后，然后结合对勾函数的性质可求．本题主要考查了由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．22.答案：解：(1)由曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ(a >0)，可得ρ2sin 2θ=2aρcosθ，化为y 2=2ax ．由直线l 的参数方程为{x =−2+ty =−4+t ，消去参数t 可得直线l ：y =x −2．(2)联立{y =x −2y 2=2ax，化为x 2−(4+2a)x +4=0， ∵直线l 与抛物线相交于两点，∴△=(4+2a)2−16>0，解得a >0或a <−4.(∗) ∴x 1+x 2=4+2a ，x 1x 2=4．∴|MN|=√(1+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√2[(4+2a)2−16]=√8a 2+32a ． |PM|=√(x 1+2)2+(y 1+4)2=√2|x 1+2|，|PN|=√2|x 2+2|．∴|PM||PN|=2|(x 1+2)(x 2+2)|=2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4| =2|16+4a|∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴|MN|2=|PM||PN|，∴(√8a 2+32a)2=2|16+4a|， 化为a(4+a)=|4+a|， ∵a >0或a <−4． 解得a =1． ∴a =1．解析：(1)利用极坐标化为直角坐标方程的公式x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 的方程；消去参数t 即可得到直线l 的方程；(2)把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．.23.答案：解：(1)由题设知：当x≥2时，不等式等价与x+2+2x−4<6，即2≤x<83当2>x>−2时，不等式等价与x+2+4−2x<6，即2>x>0.当x≤−2时，不等式等价于−x−2+4−2x<6，x无解．}.综上可得，满足不等式的解是{x|0<x<83(2)由函数f(x)的图象可得f(x)=|x+2|+|2x−4|的最小值为4，则由题意可得m²−3m≤4，解之得，−1≤m≤4．即m的范围为−1≤m≤4．解析：本题考查带绝对值的函数的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义是解题的关键．(1)分当x≥2时、当2>x>−2时，当x≤−2时三种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．(2)求出函数的最小值，然后求解m²−3m≤4，得到实数m的取值范围．。
2020-2021学年山东省济南市高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题及答案解析
高考数学模拟试题参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3-- 2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.函数()3log 21y x =-的定义域为 A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b < C.若a b >，则()()22a c b c +>+D.若0ab >，则2a b b a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.9B.16C.25D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,a b c ππ=== A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225x f x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r 是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）设函数()223cos 2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π. （I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分）如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0x f x e ax a a R a =+-∈≠且. （I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x =交于T 点.（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TF PQ的取值范围.17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分 （2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为: （1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点，所以//EF PD …………………………………4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o ，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA IDA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n qa a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=. 在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e . 综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分 21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分 解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+， 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则 436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434m G m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG -=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-）， 43m k OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时， 13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ -+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF 令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分 所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+> 设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(kk x k y +-=-=， 即)433,434(222kk k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），k k OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题含答案
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） ―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=12|M x x -<<，{|N x y ==，则=M N ⋂A ．{}1|x x >-B ．2|}0{x x ≤<C ．{}2|0x x <<D ．{12}x x |≤<2．函数()34=f x x x +-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33．已知命题1:,e 2exx p x ∀∈+≥R ，则p ⌝为 A ．1,e 2e xxx ∃∈+≥R B ．1,e 2e xx x ∃∈+<R C ．1,e 2exx x ∃∈+≤R D ．1,e 2exx x ∀∈+≤R 4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑．国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015─2019年GDP 数据．根据表中数据，2015-2019年我国GDP 的平均增长量为 A ．5.03万亿B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=则下列说法错误的是 A ．双曲线C 的实轴长为8 B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =±C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为947．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是 A ．14B ．516C ．38D ．128．在ABC 中，cos c os A B +=AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知复数1cos2sin 2()22z i ππθθθ=++-<<（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为 A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DPD 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>a ．，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．下列说法正确的是 A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________． 14．若5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________．15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为________．16．已知函数()2ln f x x =，21()(0)2g x ax x a =-->．若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x = 的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的取值范围是________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点．（1）求证：BMDF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2,,n n a n a n n b ⎧=⎨⎩奇数为偶数为，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A A πωω=+>>能同时满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2； ②函数()f x的图象可由)4y x π=-的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和． 20．（12分）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g ．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附： ①若()2~,X Nμσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知；随机变量2~(,)25Y N σμ；②若()2~,Nημσ，则0.68()26P μσημσ-<<+=，220.9()544P μσημσ-≤<+=， 330.9()974P p σημσ-<<+=；③通常把发生概率在0．05以下的事件称为小概率事件． 21．（12分）已知函数()ln()f x a x b =+-（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数． 22．（12分）已知平面上一动点A 的坐标为2(2,2)t t -． （1）求点A 的轨迹E 的方程； （2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t． （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆两圆公共弦的中点为H ．在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．–1；14．4.5；15．3； 16．32，32a ≥（本小题第一空2分，第二空3分）． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）证明：【方法一】连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面， 因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ， 因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥， 所以BMDF ⊥．【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1AD AF ==，2BC BE ==，所以()0,0,0B ，M ，()0,1,1D ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,1,0)DF =-，所以20BM DF ⋅==，所以BMDF ⊥．（2）【方法一】连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DFEN =，所以四边形ENDF 为平行四边形， 所以//EF DN ，所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为BD DN BN ===所以BND 为等边三角形，所以60BND ∠=，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒． 【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1AD AF ==，2BE =，所以()0,0,0B ，M ，()2,0,0E ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,0,1)EF =-所以1cos ,2||||BM EF BM EF BM EF ⋅<>===-．所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒．18．【解析】 （1）因为21122n S n n =+ 所以当1n =时，111a S ==. 当2n ≥时，2211111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式， 所以n a n =．（2）因为,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以对任意的+k ∈N ，2121(21)(21)2k k b b k k +--=+--=，则{}21k b -是以1为首项，2为公差的等差数列；222222242k k k k b b ++==， 则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()2462(12321)2222n n =++++-+++++()414(121)214nn n -+-=+- 124433n n +=+-19．【解析】（1）函数()sin(6x f x A πω=+）满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件之一，由③可知，Tπ=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件为①③；由①可知2A =， 所以()2sin(2)6f x x π=+（2）因为()10f x +=，所以1sin(2)62x π+=-， 所以22()66x k Z k πππ+=-+∈或722()66x k Z k πππ+=+∈， 即()6x k k ππ-+∈=Z 或()2x k k ππ+∈=Z又因为],[x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 所以方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为23π． 20．【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2．0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=．（个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ．假设面包师没有撒谎，则2~(1000,50)X N ． 根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则2~(1000,10)Y N ． 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据， 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．21．【解析】（1）当1a =，0b =时，l (n )f x x =-此时，函数()f x 定义域为(0,)+∞，1()f x x '=-=，． 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在(4,)+∞上单调递减．所以max ()(4)2ln 22f x f ==-．（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[0,)+∞，()a f x xb '==+， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的,()0x ∈+∞恒成立， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即()f x '在(0,)+∞上无变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ⅱ）当3440a b ->，即a >记方程()0h x =的两根分别为1x ，2x ，则120x x a +=>，120x x b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为2个．综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个．22．【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为2(2,2)t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222(,)t t当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B AAB B A y y t k x x t-==--所以直线AB 的方程为222(2)1t y t x t t +=--， 整理得2(2)1ty x t =--所以直线AB 过定点()2,0；（ⅱ）【方法一】因为A 的坐标为2(2,2)t t -，且圆A 与直线2x =-相切， 所以圆A 的方程为222()()(2)A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A Bx x x y y y y y x x -+-+-=- 将2(2,2)A t t -，222(,)B t t 带入并整理得1()(1)y t x t =-+①， 由（i ）可知直线AB 的方程为2(2)1ty x t =--②， 因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得2(2)(1)y x x =--+， 整理得2219()24x y -+=，即点H 的轨迹是以1(,0)2为圆心，32为半径的圆， 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．【方法二】由题意知直线2x =-为圆A 与圆B 的公切线，设切点分别为E ，F ，设两圆的公共弦交公切线2x =-于点G ，则G 为E ，F 的中点， 所以G 点横坐标为2G x =-，G 点的纵坐标为122E F A B G y y y y y t t++===-， 即1(2,)G t t--，因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为211AB t k t--=， 故公共弦所在的直线方程为211()(2)t y t x t t---=+ 整理得1()(1)y t x t =-+，所以公共弦恒过()1,0S -；由平面几何的知识可知，公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，记直线AB 所过的定点为R ，则R ，S ，公共弦的中点H ，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点H 在以RS 为直径的圆上： 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．。
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保密★启用前2020年济南市高三模拟考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集U R ＝，集合A ＝2{}x x x ｜＞，则UA ＝A ． []0,1B ． （0，1）C ． (],1−∞D ． 1−∞（，） 2.设复数21iz i+＝（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位:kg ）约为（参考数据:取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，） A ． 63 B ． 69 C ． 75 D ．814.已知函数y f x ＝（）的部分图象如图，则f x （）的解析式可能是A ． f x x tanx （）＝＋ B ．2f x x sin x （）＝＋ C ．122f x x sin x −（）＝ D. 1cos 2f x x x −（）＝5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。
某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。
若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A ． 甲 B ． 丙 C ． 戊 D ．庚6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q 。
若8AB PQ ＝，则＝ A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 87.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是A ．13 B ． 16 C ． 172D ．1144 8.已知直线0y ax b b ＝＋（＞）与曲线3y x ＝有且只有两个公共点1122,A x y B x y （，），（），其中12x x ＜，则122x x ＋＝A ． 1−B ． 0C ． 1D ．a二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。
下面是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图。
下列说法正确的是A.2008年原油价格波动幅度最大B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C.2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶10.已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩下列说法正确的是A.函数y sgn x ＝（）是奇函数B.对任意的11x sgn x ＞，（ln ）＝C.函数x y e sgn x ⋅−＝（）的值域为1−∞（，）D.对任意的x R x x sgn x ∈⋅，＝（）11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，C 1重合），过点P 作平面α分别与棱ABC ，CD 交于M ，N 两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是 A ．1AC α⊥平面 B ． 存在点P ，使得1AC αP 平面 C ． 存在点P ，使得点A 1到平面α的距离为53D ．用过P ，M ，D 1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形12.已知函数 cos f x sinx cosx sin x x −（）＝（＋），下列说法正确的是 A.f x （）是周期函数 B.f x （）在区间22ππ［-，］上是增函数 C.若12+=2f x f x （）（），则12)2k x x k Z π∈＋＝（ D.函数1g x f x （）＝（）＋在区间02π［，］上有且仅有1个零点三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知2233cosπα−（)=，则21sin ()26πα−−的值为______________ 14.已知双曲线222210,0x y a b a b−＝（＞＞）的渐近线与圆（22(21x y −）＋＝相切，则该双曲线的离心率为_____________ 15.已知12e e ，是夹角为3π的单位向量，若123ae be a b R ∈＋=（，），则a b ＋的最大值为__________16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点A ，B 距离之比为常数01λλλ≠（＞且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆。
根据以上信息，解决下面的问题:如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝.若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为_____;若点P 在长方体1111ABCD A B C D −内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF −的体积的最小值为_____________（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17.（10分）若数列n a ｛｝满足221n n a a p n N p +−∈＋＝（，为常数），则称数列n a ｛｝为等方差数列，p 为公方差。
（1）已知数列{}n n n c d x n ｛｝,｛｝，｛｝，y 分别满足2020,1,21,3nn n n n c d n x n y ＝＝＋＝＋＝，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）;（2）若数列n a ｛｝是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列2n a ｛｝的前n 项和S n18.（12分）如图，平面四边形ABCD ，点B ，C ，D 均在半径为533的圆上，且3BCD π∠＝（1）求BD 的长度；（2）若32AD ADB ABD ∠∠＝，＝，求△ABD 的面积19.（12分）如图1，平面四边形ABCD 中，2AB AC AB AC AC CD ⊥⊥＝＝，，，E 为BC 的中点，将△ACD 沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥 D ABC −. （1）证明:ADE BCD ⊥平面平面； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为4π，求二面角A BD C −−的余弦值20.（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评−分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物给商家计1分，中评计0分，差评计1流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。
（Ⅰ）求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）平台规定，当积分超过10 000分时，商家会获得“诚信商家称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家称号21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，①已知点A ），直线l :3x ＝，动点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2②已知圆C 的方程为224x y ＋＝，直线l 为圆C 的切线，记点A ,(到直线l 的距离分别为12d d ，，动点P 满足12PA d PB d ＝，＝ ③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST ＝，动点P 满足2133OP OS OT u u u r u u u r u u u r＝＋（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹方程； 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（2）记（1）中的轨迹为E ，经过点D （1，0）的直线l '交E 于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.22.（12分）已知函数2(1)x a e x f x x−−（）=，且曲线y f x ＝（）在22f （，（））处的切线斜率为1. （1）求实数a 的值；（2）证明:01x f x 当＞时，（）＞（3）若数列n x ｛｝满足1n xn e f x +＝（），且113x ＝，证明:211n xn e −＜高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案AABCDBCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
题号9 10 11 12答案 AC ABD ACD AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．13；14 15．2； 16．，94（本小题第一空2分，第二空3分）．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）由等方差的定义可知{}{}n n c d ，为等方差数列；.........................................................................................4分（2）因为数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以 212(1)21na n n =+-=-，.................................................................................7分所以2(121)2n n n S n +-==．................................................................................... 10分18．【解析】（1）【方法一】由题意可知，BCD △，由正弦定理22sin BD R BCD ==∠， .................................................................. 3分解得 5BD =； ............................................................................................................. 5分 【方法二】由题意可知，BCD △，设该外接圆的圆心为O ，则23BOD π∠=，OB OD ==，所以 2222cos 25BD OB OD OB OD BOD =+-⋅⋅∠=， ............................................. 3分 解得 5BD =； ............................................................................................................. 5分 （2）【方法一】在ABD △中，设ABD α∠=，α为锐角，则2ADB α∠=， 因为sin 2sin AB AD αα=，所以32sin cos sin AB ααα=， ................................................... 7分 所以 6cos AB α=，因为 2222cos AD AB BD AB BD α=+-⋅⋅，即 22936cos 2560cos αα=+-，所以 cos α，............................................9分则6cos AB α==，sin α所以 1sin 2ABD S AB BD α=⋅⋅=△．.................................................................... 12分 【方法二】在ABD △中，因为 2ADB ABD ∠=∠，所以sin sin 22sin cos ADB ABD ABD ABD ∠=∠=∠⋅∠，.........................................7分所以2222cos 22AB BD AD AB AD ABD AD AB BD+-=⋅∠=⋅⋅，因为53BD AD ==，，所以AB =， ............................................................... 9分所以 cos ABD ∠=，则 sin ABD ∠=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⋅⋅∠=△ ............................................................ 12分 【方法三】在ABD △中，设ABD α∠=，α为锐角，则2ADB α∠=，3BAD α∠=π-， 因为sin 3sin BD AD αα=，即53sin 3sin αα=， ............................................................... 7分 因为 sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ααααααα=+=+2332sin cos sin 2sin 3sin 4sin αααααα=+-=-，所以 21sin 3α=，则sin α= .................................................................................. 9分则cos α=sin 2α=， 所以1sin 22ABD S AD BD α=⋅⋅=△ ................................................................. 12分19．【解析】（1）证明：在三棱锥D ABC -中，因为 CD BC CD AC ⊥⊥，，AC BC C = ， 所以 CD ⊥平面ABC ， .............................................................................................. 2分 又AE ⊂平面ABC ，所以 AE CD ⊥， 因为 AB AC =， E 为BC 中点， 所以 BC AE ⊥，又BC CD C = ，所以 AE ⊥平面BCD ， .............................................................................................. 4分 又AE ⊂平面ADE ，所以 平面ADE ⊥平面BCD ． ................................................................................... 5分 （2）【方法一】由（1）可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以 4DEC π∠=，故 1CD CE ==； ....................................................................... 6分 作EF CD 交BD 于点F ，由（1）知EA EB EF ，，两两垂直，以E 为原点，EA EB EF ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建系， ................... 7分 则 (000)E ，，，(100)A ，，，(010)B ，，，(011)D -，，，易知 平面BCD 的法向量为1(100)=，，n ，.............................................................. 8分又(110)AB =- ，，，(111)AD =-- ，，， 设平面ABD 的法向量为2()x y z =，，n ， 则 2200AB x y AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，，n n 令1x =， 解得 2(112)=，，n ， ................................................................................................. 10分 所以121212cos ||||⋅<>==，n n n n n n ，由图可知 该二面角为锐角，所以 二面角A DB C --． ............................................................. 12分 【方法二】由（1）可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以 4DEC π∠=，故 1CD CE ==； ....................................................................... 6分 由（1）知AE ⊥平面BCD ， 过E 作BD EH ⊥于H ，连接AH ， 由三垂线定理可知 AH BD ⊥，故AHE ∠为二面角A DB C --的平面角. ................................................................ 8分 由BHE △BCD △，得BE EHBD CD=， 即1EH =， 得EH =所以 530=AH ， .................................................................................................... 10分故cos EH AHE AH ∠==所以 二面角A DB C --． ............................................................. 12分 20．【解析】 （1）由题意可得好评 中评或差评 合计 物流迅速 50 5 55 物流迟缓30 15 45 合计8020100......................................................................................................................................... 2分 22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，.............................................................. 3分所以 有99%的把握认为 “获得好评”与物流速度有关． ..................................... 4分 （2）（i ）由题意可知，X 的取值可能是101-，，，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.80.10.1，，， 所以 X 的分布列为X 1 0 1-P 0.8 0.1 0.1所以 10.800.1(1)0.10.7EX =⨯+⨯+-⨯=； ............................................................. 7分 （ii ）【方法一】设商家每天的成交量为Y ，则Y 的取值可能为273036，，， 所以 Y 的分布列为Y 2730 36P 0.4 0.4 0.2所以 270.4300.4360.230EY =⨯+⨯+⨯=， ........................................................... 10分 所以 商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<， ...................................... 11分 所以 该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． ............................................ 12分 【方法二】商家每天的平均成交量为(361030202720)3050⨯+⨯+⨯=， ............................... 10分所以 商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<， ...................................... 11分所以 该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． .............................................. 12分 21．【解析】 （1）若选①，设()P x y ，，根据题意， =， ................................................... 3分 整理得2214x y +=，所以 所求的轨迹方程为2214x y +=． ......................................................................... 5分若选②，设()P x y ，，直线l 与圆相切于点H ，则12||||2||4||PA PB d d OH AB +=+==>=， .................................................. 2分 由椭圆定义知 点P 的轨迹是以A B ，为焦点的椭圆， .............................................. 3分所以 24a =，2||c AB ==， 故 2a =，c =，1b =，所以 所求的轨迹方程为2214x y +=． ......................................................................... 5分若选③，设()P x y ，，(0)S x '，，(0)T y '，，则3=（*），因为 2133OP OS OT =+ ，所以 2313x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，， ................................................................ 2分整理得 323x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，， .......................................................................................................... 3分代入（*）得 2214x y +=，所以 所求的轨迹方程为2214x y +=． ......................................................................... 5分（2）【方法一】设0(0)Q y ，，当l '斜率不存在时，00y =. ................................................................... 6分 当l '斜率存在时，设直线l '的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11()M x y ，，22()N x y ，． 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 并整理得 2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=. 0∆>恒成立，2122814k x x k +=+，. ................................................................................ 8分设线段MN 的中点为33()G x y ，，则212324214x x k x k +==+，332(1)14k y k x k =-=-+. 所以 线段MN 的垂直平分线的方程为22214()1414k k y x k k k +=--++.令0x =，得02331144k y k kk==++. .............................................................................. 10分 当0k <时，144k k +- ，当且仅当12k =-时，取等号，所以 0304y -< ；当0k >时，144k k + ，当且仅当12k =时，取等号，所以 0304y < ；综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[]44-，. ................................................................ 12分【方法二】设0(0)Q y ，，根据题意直线l '斜率不为0，设直线l '的方程为1x my =+．若0m =，则 00y =. ....................................................................................................... 6分 当0m ≠时，设11()M x y ，，22()N x y ，，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 并整理得 22(4)230m y my ++-=. 0∆>恒成立，12224my y m +=-+. ................................................................................. 8分 设线段MN 的中点为33()G x y ，，则 123224y y m y m +==-+，332414x my m =+=+. 所以 线段MN 的垂直平分线的方程为224(44m y m x m m +=--++. 令0x =，得023344m y m m m==++. ............................................................................... 10分 当0m <时，44m m +- ，当且仅当2m =-时，取等号，所以 0304y -< ； 当0m >时，44m m +，当且仅当2m =时，取等号，所以 0304y < ； 综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[]44-，. ................................................................ 12分【方法三】设0(0)Q y ，，当l '斜率不存在时，00y =. ................................................................... 6分 当l '斜率存在时，设l '斜率为k ，11()M x y ，，22()N x y ，，线段MN 的中点为33()G x y ，， 由221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得 12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.所以 33121212123324()424x x y y x xk x x y y y y -+==-=-=--+⨯， ................................................. 8分 线段MN 的垂直平分线的方程为33334()y y y x x x -=-， 令0x =，得033y y =-.由333341x yk y x =-=-，得222333311111()444216y x x x =-+=--+， ............................ 10分 因为 301x <<，所以 231016y < ，则 3104y -< 或3104y < ， 所以 0304y -< 或0304y < .综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[]44-，. ................................................................ 12分22．【解析】（1）3[(2)2]()x a x e x f x x -++'=，(2)12af '==， ............................................................................................................... 1分所以 2a =； .................................................................................................................. 2分 （2）要证()1f x >，只需证21()e 102x h x x x =--->，()e 1x h x x '=--，()e 1x h x ''=-， 因为 (0)x ∈+∞，，所以 ()0h x ''>， 所以 ()e 1x h x x '=--在(0)+∞，上单调递增，所以 ()e 1(0)0x h x x h ''=-->= ................................................................................... 5分所以 21()e 12x h x x x =---在(0)+∞，上单调递增，所以 21()e 1(0)02x h x x x h =--->=成立， 所以 当0x >时，()1f x >成立． ................................................................................ 6分 （3）【方法一】由（2）知当0x >时，()1f x >， 因为 1()n x n e f x +=，所以 1ln ()n n x f x +=， 设()ln ()n n g x f x =，则 1()n n x g x +=，所以 121()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====> ； ........................................ 8分 要证：2e 11n x n -<，只需证：1|e 1|()2n x n -<，因为 113x =，所以 113|e 1|e 1x -=-，因为 3327e ()e 028-=-<，所以 133e 2<，所以 1131|e 1|e 12x-=-<，故 只需证：11|e 1||e 1|2n n x x +-<-，因为 (0)n x ∈+∞，，故只需证：111e 1e 22n n x x +-<-，即证：11()1e 22n x n f x -<-，只需证：当(0)x ∈+∞，时，2211()(2)e 22022x x x x x ϕ=-+++>， .................... 10分 21()(2)e 22x x x x x ϕ'=+-++，21()(21)e 12x x x x ϕ''=+-+，21()(31)e 02x x x x ϕ'''=++>，所以 ()x ϕ''在区间(0)+∞，上是增函数，故 21()(21)e 1(0)02x x x x ϕϕ''''=+-+>=，所以 ()x ϕ'在区间(0)+∞，上是增函数，故 21()(2)e 2(0)02x x x x x ϕϕ''=+-++>=，所以 ()x ϕ在区间(0)+∞，上是增函数，所以 2211()(2)e 22(0)022x x x x x ϕϕ=-+++>=，所以 原不等式成立 ...................................................................................................... 12分 （ii ）【方法二】由（2）知当0x >时，()1f x >， 因为 1()n x n e f x +=，所以 1ln ()n n x f x +=， 设()ln ()n n g x f x =，则 1()n n x g x +=，所以 111()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====> ； .............................................. 8分 要证：2e 11n x n -<，只需证：1|e 1|()2n x n -<，因为 113x =，所以 113|e 1|e 1x -=-，因为 3327e ()e 028-=-<，所以 133e 2<，所以 1131|e 1|e 12x -=-<，故 只需证：11|e 1||e 1|2n n x x +-<-，因为 (0)n x ∈+∞，，故只需证：111e 1e 22n n x x +-<-，即证：11()1e 22n x n f x -<-， 只需证：当(0)x ∈+∞，时，2211()(2)e 22022x x x x x ϕ=-+++>， .................... 10分 因为 22111()(4)e (44)(2)[(2)(2)]222x xx x x x x x e x ϕ=-+++=+-++，设 ()(2)(2)x u x x e x =-++，故只需证：()0u x >，()(1)1x u x x e '=-+，()0x u x xe ''=>， 所以 ()u x '在区间(0)+∞，上是增函数， 故 ()(1)1(0)0x u x x e u ''=-+>=， 所以 ()u x 在区间(0)+∞，上是增函数， 故 ()(2)(2)(0)0x u x x e x u =-++>=，所以 原不等式成立 ...................................................................................................... 12分。