数学物理方程讲义课后答案三四章 姜礼尚版本
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数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数学物理方程 陈才生主编 课后习题答案1-3章
−1
其中ε为介电常数, ρ为电荷密度. (7) 胡克(Hooke)定律. 在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比, 即f = −kx, 其中k为 弹性体的劲度(倔强)系数, 倔强系数在数值上等于弹性伸长(或缩短)单位长度时的 弹力, 负号表示弹力的方向和形变量的方向相反. 另外, 有 应力 = 杨氏模量 × 相对伸长.
Stt − a2 ∆S = 0,
(1.3.7)
(1.3.8)
这就是声波方程, 其中a2 =
γp0 . ρ0 1.6 一均匀细圆锥杆, 用均匀材料制成, 质量密度为ρ, 杆材料的杨氏模量为E ,杆 E ∂ ∂2u = 2 ∂t2 ρx ∂x ∂u ∂x
上各点的纵方向位移为u(x, t).试证明杆做纵向微振动的方程为
图1.1
图1.2
1.7 真空中电磁场的Maxwell方程组的微分形式为 ∇ · E = 0, 1 ∇ × E = − H t, c ∇ · H = 0 , ∇ × H = 1 Et. c
(1.3.12)
试由这一组方程导出电磁波方程
1.3
补充习题解答
其中P (x, t) 是在x点的截面S (x) 上于t时刻沿x轴方向所受到的应力. 令∆x → 0, 得
ρS (1.3.10)
∂u 而由Hooke定律, 得P = E . 又因为S = πr2 = π(x tan α)2 , 把P 和S 代入方 ∂x 程(1.3.10), 得到 ρπx2 tan2 α ∂2u ∂ = ∂t2 ∂x πx2 tan2 αE ∂u ∂x ,
第1章
绪
论
1.1 基本内容提要
1.1.1
用数学物理方程研究物理问题的步骤
(1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释. 1.1.2
其中ε为介电常数, ρ为电荷密度. (7) 胡克(Hooke)定律. 在弹性限度内,弹性体的弹力和弹性体的形变量成正比, 即f = −kx, 其中k为 弹性体的劲度(倔强)系数, 倔强系数在数值上等于弹性伸长(或缩短)单位长度时的 弹力, 负号表示弹力的方向和形变量的方向相反. 另外, 有 应力 = 杨氏模量 × 相对伸长.
Stt − a2 ∆S = 0,
(1.3.7)
(1.3.8)
这就是声波方程, 其中a2 =
γp0 . ρ0 1.6 一均匀细圆锥杆, 用均匀材料制成, 质量密度为ρ, 杆材料的杨氏模量为E ,杆 E ∂ ∂2u = 2 ∂t2 ρx ∂x ∂u ∂x
上各点的纵方向位移为u(x, t).试证明杆做纵向微振动的方程为
图1.1
图1.2
1.7 真空中电磁场的Maxwell方程组的微分形式为 ∇ · E = 0, 1 ∇ × E = − H t, c ∇ · H = 0 , ∇ × H = 1 Et. c
(1.3.12)
试由这一组方程导出电磁波方程
1.3
补充习题解答
其中P (x, t) 是在x点的截面S (x) 上于t时刻沿x轴方向所受到的应力. 令∆x → 0, 得
ρS (1.3.10)
∂u 而由Hooke定律, 得P = E . 又因为S = πr2 = π(x tan α)2 , 把P 和S 代入方 ∂x 程(1.3.10), 得到 ρπx2 tan2 α ∂2u ∂ = ∂t2 ∂x πx2 tan2 αE ∂u ∂x ,
第1章
绪
论
1.1 基本内容提要
1.1.1
用数学物理方程研究物理问题的步骤
(1) 导出或者写出定解问题,它包括方程和定解条件两部分; (2) 求解已经导出或者写出的定解问题; (3) 对求得的解讨论其适定性并且作适当的物理解释. 1.1.2
数学物理方程讲义课后答案三四章 姜礼尚版本
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普通物理学程守洙江永久03守恒定律习题详细解答
目录 结束
3-4 一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它 伸长的反方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。 （1）试求把弹簧从x=0.50拉长到 x =1.00 时，外力克服弹簧力所作的功。 （2）将弹簧的一端固定，在另一端栓一质 量为 2.17 kg 的物体 ，然 后 把 弹 簧 拉到 x =1.00,开始无初速地释放物体，试求弹簧 缩回到x=0.5。时物体的速率。
目录 结束
已知： l = 3.6m m = 50kg M = 100kg 解：由动量守恒 M V m v = 0 v mv V V dt = m v dt V= M M t m t v dt s = 0V d t = l M 0 t m s + s´= l s´= 0 v d t s = s´ M m s s s m = = = s´ M M + m s ´+ s l m 50 × 3.6 = 1.2m s= l = M +m 100 + 50 目录 结束
设弹簧最大伸长为 x m
1 mv 2 + 1k x 2 mg x0 = 0 0 2 2 mg 将 x0= 代入，得： k mg 1 1k ( m g ) 2 2 mg = mv 0 + 2 k k 2 mg 2 v = k
2 0
m v 0 =g k
目录 结束
3-9 一小船质量为100kg，船头到船尾共 长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走 到船头时，船头将移动多少距离？假定水的 阻力不计。
b
2
1 mbω 2 Ay = 0 m y dy = ω 2 两分力的功和路径无关，是一恒量。 所以有心力为保守力。
目录 结束
3-3 一根原长 l0 的弹簧，当下端悬挂质 量为m的重物时，弹簧长l = 2l0 。现将弹簧 一端悬挂在竖直放置的圆环上端A点。设环 的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑 圆环的B点，如图所示。已知AB长为1.6R。 当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求： A （1）重物在B点的加 速度和对圆环的正压力； （2）重物滑到最低点 R C 时的加速度和对圆环 B 的正压力。
数理方程习题解答
+
α
2 2
=
α32
+
α
2 4
，取单位特征方向，
α12
+
α
2 2
+ α32
+
α
2 4
= 1。所以，α12
+
α
2 2
= α32
+
α
2 4
=
1 2
。记
α1
=
1 2
cosθ ,
α2
=
1 2
sinθ ,α3
=
1 2
cosϑ,
α4
=
1 2
sinϑ
，则
α
=
⎛ ⎜⎝
1 2
cosθ ,
1 sinθ , 2
1 2
cosϑ,
则杆上各点 在时刻 的位移是
。
在杆上任取一段，其两端点静止时的坐标为
,此小杆段在时刻 的相对伸长
为： 律知张力为
，令
得 点在时刻 的相对伸长为ux (x, t) ，由 Hooke 定
，再此小杆段上用 Newton 第二定律得
两边同除 并令
得：
若杨氏模量为 为常数则得：
。
1 牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价，也可以用动量守恒定律来见方程，见《数学物理方程 讲义》 （姜礼尚、陈亚浙）P1
=
1 2
sinθ ,α3
=
±
1 sinθ ，则 2
α
=
⎛ ⎜⎝
cosθ
,
1 sinθ , ± 2
1 2
sin
θ
⎞ ⎟⎠
。
( ) 2 对波动方程utt − a2 uxx + uyy = 0 过直线l : t = 0, y = 2x 的特征平面。
数学物理方程第二版习题解答 第三章教学文稿
x = r sinθ cosϕ ， y = r sinθ sinϕ ， z = r cosθ
（1）
∆u = ∂ 2u + ∂ 2u + ∂ 2u ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
为作变量的置换，首先令 ρ = ρ sinθ ，则变换（1）可分作两步进行
x = ρ cosϕ ， y = ρ sin ϕ
（2）
∂ϕ ρ
= sinϕ ∂ ( ∂u sinϕ + ∂u ⋅ cosϕ ) +
∂ρ ∂ρ
∂ϕ ρ
+ cosϕ ∂ ( ∂u sinϕ + ∂u ⋅ cosϕ )
ρ ∂ϕ ∂ρ
∂ϕ ρ
= sin 2 ∂ 2u + 2sin ϕ cosϕ ∂ 2u + cos2 ϕ ⋅ ∂ 2u −
∂ρ 2
ρ
∂ρ∂ϕ ρ 2 ∂ϕ 2
⋅
∂2u ∂ϕ 2
=
0
3． 证明拉普拉斯算子在柱坐标 (r,θ , z) 下可以写成
∆u
=
1 r
⋅
∂ ∂r
(r
∂u ) ∂r
+
1 r2
⋅
∂2u ∂θ 2
+
∂2u ∂z 2
证：柱坐标 (r,θ , z) 与直角坐标 (x, y, z) 的关系
x = r cosθ ， y = r sinθ ， z = z
第三章 调 和 方 程
§1 建 立 方 程 定 解 条 件
1． 设 u(x1, x2 ,, xn ) = f (r) (r = x12 + + xn2 ) 是 n 维调和函数（即满足方程
∂ 2u + + ∂ 2u = 0 ），试证明
数学物理方程答案(全)
化简之后，可以得到定解问题为
utt (Y / )uxx a2uxx u |x0 0,ux |xL 0
u
|t 0
0, ut
|t 0
I
(x
L)
5.高频传输线，原点端施以电动势 E，另一端接地，初始电流为(x) ，电压为 (x) 。
试建立电压的定解问题。（忽略电阻和介质的电导）
Q3 c 4 r2drdu
Q3 Q1 Q2
c 4 r2drdu kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt kur (r,t)4 r2dt
4
k
r
(r
2ur
)drdt
即
ut
k c
1 r2
r
(r2ur )
3.设物体表面的绝对温度为 u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定 律正比于 u4 ，即 dQ ku4dSdt ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传
习题 2.4 1.判断下列方程的类型 (1) auxx 4auxy auyy bux cuy u 0 4a2 a2 0 ,双曲型 (2) auxx 2auxy auyy bux cuy u 0 a2 a2 0 ,抛物型 (3) 2auxx 2auxy auyy 2bux 2auy u 0 a2 2a2 0 ,椭圆型 (4) uxx xuxy 0
ut
k c
ux
2k1 cr
(u
u1 )
0
2.导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
S1
S2
r r+dr
解： dt 时间内通过 S1 流入壳层的能量 Q1 kur (r,t)4 r2dt dt 时间内通过 S2 流入壳层的能量 Q2 kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt dt 时间内壳层升高 du 所需的能量
数学物理方程课后参考答案第三章
试求解之（提示：令 以引入新的未知函数 ,并选择适当的 值，使 满足调和方程，再用分离变量法求解。）
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
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