数学物理方法大作业

基于分离变量法的波导中的电磁波研究

1 空间当中的电磁波

在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在0==J σ情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为]4[

⎪⎪

⎪

⎭⎪

⎪⎪⎬⎫

=⋅∇=⋅∇∂∂=⨯∇∂∂-

=⨯∇00B D t D H t B E (1)

为了便于求解，通常将（1）式化为

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫=∂∂-∇=∂∂-∇0101

22

2

22

22

2

t B

c

B t E c E (2) 必须指出的是，（2）式中第一式E 的三个分量X E ，y E ，z E 虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件 0=⋅∇E 。 求解方程（1），即为求解

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪

⎬⎫∂∂-

=⨯∇=⋅∇=∂∂-∇t B

E E t E

c E 0012222

(3)

(3)式在给定的边界条件下，可以求得定解. 对于定态电磁波，场量可以表示为

t i e z y x E E ω-=),,( (4)

考虑(4)式，(3)式可表示如下：

⎪

⎪⎭

⎪

⎪

⎬⎫

⨯∇-==⋅∇=+∇E i

B E E k E ω002

2

(5)

设电磁波为时谐波，并考虑到关系H B μ=，由（5）式可得到z y x ,,三个分量的6个标量方程：

x y x

H i E y

E ωμγ-=+∂∂ (6) y x z

H i E x

E ωμγ-=-∂∂-

(7) z x

y H i y

E x

E ωμ-=∂∂-

∂∂ (8) x y z

E i H y

H ωεγ=+∂∂ (9) y x z

E i H x

H ωεγ=-∂∂-

(10) z x

y E i y

H x

H ωε=∂∂-

∂∂ (11) 以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量y x y x H H E E ,,,用两个纵向场分量

z z H E ,来表示，即：

)(1

2

y

E i x H k H z

z c

x ∂∂-∂∂-

=ωεγ

(12) )(12

x E i y H k H z

z c

y ∂∂+∂∂-

=ωεγ (13) )(12

y H i x E k E z z c

x ∂∂+∂∂-

=ωμγ (14) )(12

x H i y E k E z z c

y ∂∂-∂∂-

=ωμγ (15) 式中222

k k c +=γ

εμω=k

TM 波的纵向场分量与横向场分量关系[]1为：

y

E k i H z

c x ∂∂=

2

ωε (12*) x E k i H z

c

y ∂∂-

=2

ωε (13*) x

E k E z

c

x ∂∂-

=2

γ (14*)

y E k E z

c

y ∂∂-

=2

γ (15*)

TE 波的纵向场分量与横向场分量关系为[]1：

x

H k H z

c

x ∂∂-

=2

γ (12+)

y

H k H z

c y ∂∂-

=2γ （13+）

y

H k i E z

c x ∂∂-

=2

ωμ （14+） x H k i E z

c

y ∂∂=

2

ωμ （15+） 2 波导内的电磁场 2.1波导的几个假设

这里所讨论的波导,有以下假设:波导的横截面沿z 方向是均匀的,即波导内的电场与磁场只与坐标y x ,有关,与z 无关;构成波导壁的导体是理想导体,即

∞=σ;波导内的介质各向同性,并且0=σ;波导内的电磁场为时谐场,角频率为

ω。

2.2矩形波导中的电磁波

现在我们求解矩形波导中的电磁波解。选一直角坐标系，如图１所示。取波导内壁面为0=x 和a ，

0=y 和b ；z 轴沿电磁波传播方向。在一定频率下，

管内电磁波是方程（5）的解。次解在管壁上还满足边界条件0=⨯E n ]4[，即电磁场在管壁上的切向 分量为零。由于电磁波沿z 轴方向传播，它应有传播因子t i ik z e ω-。因此，我们把电场E 取为

E (x,y,z)= E (x,y)z ik z

e . (16)

将（16）代入（5）式得

()()

()0,,22

2222=-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x E k k y x E y x z ]4[ (17) 用直角坐标分离变量]12[，设()y x u ,为电磁场的任一直角分量，它满足方程(17)。设

()y x u ,)()(y Y x X = (18) 从而方程（17）可以分解为两个方程

02

2

2=+X k dx

X d x (19) 02

2

2=+Y k dy Y d y (20) 22

22k k k k z y x =++ (21) 求解方程（19）式和方程（20），得()y x u ,的特解

()()y k D y k C x k D x k C y x u y y x x sin cos sin cos ),(2211++= (22)

其中，1C ，1D ，2C ，2D 为任意实数，当()y x u ,具体表示E 某特定分量时，考虑边界条件0=⨯E n 及

0=∂∂n

E n

，可以得到对这些常数的一些限制条件。