数学物理方法作业
数学物理方法习题总稿-csy
数学物理方法习题习题一1．把下列复数分别用代数、三角式和指数式表示出来： （1）i -; (2).11ii-+;(3). 1; (4). 1ie+;(5).1cos sin i αα-+; (6) 3()z z x iy =+2、下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？并作图表示出来. (1) ||2z =; (2) ||3z ≤;(3)1Re 2z ≥; (4) ||||z a z b -=- (a b 、皆为复实数）; (5) ||Re 1z z +≤; (6) 1||11z z -≤+; (7) 1Re 2z=; (8) 1Im 2z <<;(9) 0arg4z i z i π-<<+; (10) |2||2|5z z ++-=. 3、计算下列各式：（1 （2）ii ；（3 （4（5a b （、皆为实常数）； （6）21)(1)nn i i ++-（； （7）cos cos 2cos3cos n ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+（ϕ为实数）习题二1、设,z x iy =+试证：|sin |z =和|s |co z =2、计算下列各式:（1）sin()a ib +和s()co a ib +（其中a b 、为实数，用三角函数和双曲函数表出结果）； （2）22;ch z sh z - （3）(1);Ln - 一1 一（4）cos ix 和sin ix （x 为实数）； （5）chix 和shix （x 为实数）； （6）sin ||iaz ib z e -（a b 、为实常数）。
3、解方程：（1）sin 2z =； （2） 2.tgz =习题三1、 若一实函数在区域G 内解析，试证该实函数必为实数。
2、 试讨论下列函数的可导性和解析性，并在可导区域求其导数： （1）212;z z ω=-- （2）1zω=（3）Im Re ;z z z ω=- （4）||.w z =3、设函数3222()()f z my mx y i x lxy =+++是全平面上的解析函数，试确定m n l 、、的值。
《数学物理方法》第一章作业参考解答
《数学物理方法》第一章作业参考解答1. 利用复变函数导数的定义式，推导极坐标系下复变函数),(),()(ϕρϕρiv u z f +=的C-R 条件为∂∂−=∂∂∂∂=∂∂ϕρρϕρρu v vu 11 证：由于复变函数)(z f 可导，即沿任何路径，任何方式使0→∆z 时，z z f z z f ∆−∆+)()(的极限都存在且相等，因此，我们可以选择两条特殊路径，（1）沿径向，0→∆=∆ϕρi e z.ϕϕρρϕρρϕρρϕρϕρϕρρϕρρϕρϕρρi i e v i u e iv u iv u z f f −→∆∂∂+∂∂=∆−−∆++∆+=∆−∆+),(),(),(),(),(),(),(),(lim（2）沿半径为ρ的圆周，()()ϕρρρρϕϕϕϕϕ∆≈−=∆=∆∆+i i i i e i e e e zϕϕϕϕϕρϕϕρϕϕρϕρϕρϕρϕϕρϕϕρρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρi i i i e u i v ie iv u iv u e e iv u iv u zf f −∆→∆∂∂−∂∂=∆−−∆++∆+=−−−∆++∆+=∆−∆+1),(),(),(),(),(),()1(),(),(),(),(),(),(lim以上两式应相等，因而，ϕρρ∂∂=∂∂vu 1 ϕρρ∂∂−=∂∂u v 1 2. 已知一平面静电场的等势线族是双曲线族C xy =,求电场线族，并求此电场的复势（约定复势的实部为电势）。
如果约定复势的虚部为电势，则复势又是什么？解：0)(2=∇xy xy y x u =∴),(由C-R 条件可得C x x b x y u x b x v x b y y x v y x u y v +−=⇒−=∂∂−=′=∂∂+=⇒=∂∂=∂∂2221)()()(21),(C y x y x v +−−=)(21),(22电场线族为：（或者：由 +−=+−=∂∂+∂∂=222121),(y x d ydy xdx dy y v dx x v y x dv ，得C y x y x v +−−=)(21),(22）iC z i i C y x xy +−=+−−+=2222)(21w 复势为：若虚部为电势，则xy y x v =),(同理由C-R 条件可得Cx x A x y v x A x u x A y y x u y x v y u +=⇒=∂∂=′=∂∂+−=⇒−=∂∂−=∂∂2221)()()(21),(C y x y x u +−=)(21),(22C z ixy C y x +=++−=22221)(21w 复势为：3．讨论复变函数||)(xy iy x z f =+=在0=z 的可导性？（提示：选择沿X 轴、Y 轴和Y=aX 直线讨论）解：考虑当函数沿y=ax 趋近z=0时2)(ax z f = )1()1(||||lim )()(lim00+±=+∆−∆+=∆−∆+→∆→∆ia aia x x a x x a z z f z z f x z 可见上式是和a 有关的，不是恒定值所以该函数在z=0处不可导4.判断函数()()111)(2−++=−+=z z z z z z f 的支点，选定一个单值分支)(0z f ，计算)(0x f ？计算)(0i f −的值？ 解：可能的支点为∞−=,1,1,0z 。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法姚端正CH1作业解答
+
g(
y)
③
再将 v 对 y 求偏导：
一方面，由 C-R 条件， ∂v = ∂u = 2x + y ， ④ ∂y ∂x
另一方面，由 ③式得： ∂v = 2x + dg
⑤
∂y
dy
由④⑤两式得 dg = y dy
所以 g = 1 y2 + c 2
所以 v = 2xy − 1 x2 + 1 y2 + c
⑥
∂x
∂y
∂x
∂y
可见， w 的实部和虚部有连续的一阶偏微商，且满足 C-R 条件，
所以， w = z2 在复平面可微，从而在复平面是解析的。
（2） w = z Re z
解：记 z = x + iy ， w = u(x, y) + iv(x, y) ；
则 w = z Re z = x2 + ixy
w 的实部 u = x2 ，虚部 v = xy
3
−
i
=
i(−π
2e 6
+ 2kπ
)
，则
z5
= 2 e5
i5(− π + 2kπ ) 6
i (− 5π +10kπ )
= 32e 6
−i 5π
= 32e 6
= 32[cos(− 5π ) + i sin( − 5π )] = −16(
3 + i)
6
6
7.求解方程
(1) z3 − 1 = 0
e0 = 1
所以，函数 z + z + 1 是 2 值的，支点是1， ∞
（6）
i arg z + 2kπ
《数学物理方法》第八章作业(边界条件)
第八章习题和部分定解问题。
P201：1，2，5，6，11，12，13，16，17，201.长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后突然撇除这力，求解弦的振动。
解：此题的定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =⎧-=<<⎪==⎪⎪-⎧⎪<<⎪⎪⎨=⎨⎪⎪⎪-<<⎪⎩⎪⎪=⎩ )4()3()2()1( 2.求解细杆热传导问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20/)(l x l bx u t -==。
此题的定解问题为220200,()(0),0,()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎪⎩5.长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
此题的定解问题为20000000,(0),0,0,(,0),(0),0.tt xx x x x l X X t t u a u x l u u F F X u u x dx dx x l x YS YS u ===⎧-=≤≤⎪==⎪⎪∂⎨===≤≤⎪∂⎪=⎪⎩⎰⎰ 6.长为l 的理想传输线，远端开路，先把传输线充电到电位差0u ，然后把近端短路。
求解线上的电压),(t x u 。
此问题的泛定方程为)0(,1,022l x LCa u a u xx tt <<==-， 边界条件为(0,)0,(,)0.x x l u t u l t R L j t ==⎧⎪∂⎨⎛⎫=-+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩，初始条件为00(,0),1(,0)0.t x t u x u u x j C ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩11.在矩形区域b y a x <<<<0,0上求解拉氏方程0=∆u ，使满足边界条件 00(),0,sin ,0.x x a y y b u Ay b y u x u B u a π====⎧=-=⎪⎨==⎪⎩。
数学物理方法第三版答案
数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
数学物理方法习题集
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
李明奇数学物理方法作业
杨立-201122050231-第1次作业-4班习题2.1.2长为L ，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。
试写出振动方向的定解条件。
解：由于x=0端固定，可知0|0x u ==，又L 端为自由端，知|0x L u ==。
t=0时刻杆上点的位移0|t b u kx x L===，又t=0时刻的速度为0，即0|0t t u ==。
习题2.2.1一根半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的均质园杆，如同界面上的温度相同，其侧面与温度为1u 的介质发生热交换，且热交换的系数为1k 。
试导出杆上温度u 满足的方程。
解：如图所示通过两截面而留下的热量=微元段升 温吸热+与侧面交换所留下的热量因为 11[(,)(,)(,)(,)]()2x x t kdt u x dx t s x dx t u x t s x t c sdxu dt k u u rdxdt ρπ++-=+- 其中，k 为进入截面的系数；s 为横截面；x u 为沿轴温度的法向导数；2πrdx 为侧面。
所以 221()t xx u a u b u u -=--，2k a cp =，212k b c r ρ= 习题2.3.3由静电场Gauss 定理 1s V E dS dV ρε⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ ，求证：E ρε∇⋅=，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
解：因为 s VE dS EdV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰且 1s VE dS dV ρε⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ 比较可得 E ρε∇⋅=即 ()E ερ∇⋅=可令 E u =-∇ 代入上式可得2u u ρε∇=∆=-0 x x+dx L X习题2.4.2求下列方程的通解（2）230xx xy yy u u u +-=；（5）161630xx xy yy u u u ++=；解：（2）230xx xy yy u u u +-=此方程式双曲型的第二标准型，将其化成第一标准型特征方程2230dy dy dx dx ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得12dy dx=± 令3x y x yζη=-⎧⎨=+⎩ 可得111212220880a a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦10b =；20b =；0c =；0f =可得标准型0u ζη=因此 (3)()u f x y g x y =-++。
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数学物理方法简答题
1.复数有哪几种表达方式？在复数的开方运算和对数函数的计算中，应特别
注意复数的什么性质？（复习掌握复数运算和几种基本函数的定义和计算）
书上列出了三种：代数式，三角式，指数式。
其实还可以用级数式表示复数。
注意角度是除以/乘以一个数。
2.复变函数可导的充分必要条件是什么？可导与解析这两个概念有什么联
系和区别？（复习掌握柯西-黎曼条件以及求解解析函数的实部或虚部的方法）
复变函数可导的充分必要条件：函数的偏导数存在且连续，并满足柯西-黎曼方程。
联系与区别：对于一个点，函数解析必定可导，反之不一定；对于一个区域，解析和可导等价。
3.解析函数的两条性质是什么？
一：函数的实部和虚部分别等于一个常数，这个两个曲线族在其区域B上是相互正交的。
二：函数的实部和虚部均为其区域B上的调和函数。
4.已知某函数在某一回路上的积分为零，可否据此对此函数的解析性质作出
判断？为什么？（复习掌握柯西定理、柯西公式）
可以，根据柯西定理，在闭单连通区域上的解析函数回路积分为零，可以据此对函数解析性质做出判断。
5.什么情况下某一积分回路的内部一定是复连通的区域？
在回路内有奇点，则该回路积分会等于对其内部奇点所有回路积分之和。
6.收敛的幂级数和双边幂级数的收敛区域分别是什么类型的区域？在收敛
区域的境界线和外部是否一定发散？（复习掌握计算泰勒展开和洛朗展开的基本方法，特别是有理分式的展开）
一个是圆一个是环。
在幂级数的境界线上要具体分析，其余都发散。
7.奇点可分为哪几类？孤立奇点可分为哪几类？简要说明它们之间的区别。
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点，。
函数在点z不可导，若在z的任意小领域除点z外处处可导，则为孤立奇点，若在任意小领域内可以找到除z以外不可导的点，则z为非孤立奇点。
孤立奇点根据挖去该点而形成环域上的解析函数的洛朗展开级数中负幂项情况，可以分为可取奇点（没有负幂项）、极点（有限个负幂项）、本性奇点（无限个负幂项）。
8.如何判断极点的阶数？
函数在该极点上的洛朗展开，最低次幂项的次数的绝对值是极点的阶数。
9.试用文字说明什么是留数？（复习掌握留数计算相关公式）
被积函数在回路上的积分，将被积函数展开后逐项积分，除去留下来的项其他都为零，则这个不为零的项除以一常数后称之为留数/残数。
10.留数定理将回路积分归结成什么？对于回路积分的计算有什么意义？（复
习掌握留数定理计算回路积分和实函数积分的相关公式）
将回路积分归结成根据极点求留数，简化了对回路积分的计算。