一维谐振子的本征值问题
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
力学量本征值问题的代数解法
2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态 （1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可 以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j
一维谐振子的本征函数 传播因子
一维谐振子的本征函数传播因子一维谐振子的本征函数和传播因子是量子力学中非常重要的概念，对于理解和研究束缚系统以及量子力学基本原理具有重要意义。
本文将从深度和广度两个方面探讨一维谐振子的本征函数和传播因子，以便更全面地理解这一主题。
一、一维谐振子的本征函数1. 本征函数的定义和基本性质一维谐振子的本征函数是指满足薛定谔方程的解，描述了系统的可能状态。
本节将从数学角度介绍本征函数的定义和基本性质，为后续深入探讨打下基础。
2. 本征函数的物理意义本节将从物理学角度解释一维谐振子的本征函数代表着系统的可能状态，以及如何通过本征函数来描述系统的能量级和波函数。
3. 本征函数的计算方法介绍一维谐振子本征函数的计算方法，包括解薛定谔方程和使用数值方法等，帮助读者更加深入地理解本征函数的实际应用。
二、一维谐振子的传播因子1. 传播因子的定义和物理意义一维谐振子的传播因子描述了系统在空间中的传播特性，本节将介绍传播因子的定义和物理意义，包括传播速度和传播如何受势能影响等方面。
2. 传播因子的数学表达通过数学公式和推导，介绍一维谐振子的传播因子在数学上的表达方式，为读者展示传播因子的具体形式和计算方法。
3. 传播因子的应用介绍传播因子在物理学和工程领域的应用，包括波函数演化、能量传递和量子隧穿效应等，帮助读者理解传播因子在实际问题中的作用和意义。
总结与展望通过本文的介绍，我们全面地认识了一维谐振子的本征函数和传播因子，从数学和物理两个角度进行了深入探讨，帮助读者更好地理解这一重要的量子力学概念。
未来，我们可以进一步研究多维谐振子系统的本征函数和传播因子，以及在更加复杂情况下的应用，为量子力学的发展提供更多的思路和方法。
个人观点在研究和撰写这篇文章的过程中，我深刻地体会到一维谐振子的本征函数和传播因子对于量子力学的重要性。
通过深入地挖掘和解释这些概念，我对量子力学的基本原理和应用有了更加深刻的理解，也为我的学术研究提供了更多的思路和方法。
一维谐振子的本征值问题
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrdinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrdinger 创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国强2019年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为V (x ) =12μωx （1）22其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为H =p22μ12μωx （2）22体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为⎛ 2d 2122ˆ-+μωx 22⎛2μdx⎛⎛ψ⎛(x )=E ψ(x ) （3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：ψ(x )−−→0 （4）x →∞将方程（3）无量纲化，为此，令2ξ==αx ，α=λ=2E ω（5）（3）式可改写为d ψd ξ+λ-ξ(2)ψ=0 （6）这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当⎛⎛ξ⎛⎛很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为d ψd ξ22-ξψ=02 （7）±ξ/22它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ2。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，2/2不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ/2。
方程(6)在ξ为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：ψ(ξ)=A eξ22H (ξ) （8）式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得d2H2d ξ-2ξd H（9）+(λ-1)H =0d ξ用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
16-4 一维谐振子问题
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
量子力学3.3一维谐振子
x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 因 H n ( x ) 为
当 n 为偶数时，只存在偶幂次。
( 1) n 。 所以： n ( x ) ( 1) n n ( x ) ，即宇称为
(3) n 有 n 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同） ，分 布关于 y 0 对称。
1 2 2 x 2 0 ( x) e 3
（偶宇称）
（奇宇称）
5 n 2, 第二激发态 E2 ， 2 1 1/ 2 x 2 2 2 ( x) (2 x 1)e 2 2
2 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
1 E n (n ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
E n E n 1 E n
即能级是等间距的。 1 E （基态能量） (2)存在零点能 0 。 2 在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导 致的。
§3.3
一维谐振子
引
言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x 2 k x x 2 x 0 k dt 其解为 x A cos t 。这种运动称为简谐振动，作这种运
代入方程(4)得u( )所满足的方程 2 d H dH 2 ( 1) H ( ) 0-------- 3 2 d d
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
一维谐振子能量本征值
一维谐振子能量本征值哎，今天咱们聊聊一维谐振子的能量本征值，听起来挺高大上的对吧？别担心，咱们尽量把这玩意儿说得简单点，就像跟朋友唠嗑一样。
想象一下，咱们有一个小球，在一根弹簧上来回跳动。
这个弹簧就像是物理学里的魔法，能把小球的运动变得有趣又复杂。
小球越靠近弹簧的中心，运动越平稳，离得越远，哎呀，能量就越大，就像咱们人也有一种追求，离得太远了总是想回家。
你知道吗，咱们说的能量本征值其实就是这个小球在不同位置上的“工作状态”。
小球在弹簧上运动的样子，跟我们生活中的很多事情都有点像。
比如说，工作压力大了，心情自然低落，想要放松，就得找个地方好好待着。
就像这个小球，越是待在弹簧中心，越能感受到宁静，嘿，真是说得太对了。
能量本征值就是这些状态的“身份证”，它告诉你在某个特定位置，小球有多少能量，就像我们每个人都有自己的小秘密，藏在心里不想让别人知道。
怎么计算这些能量值呢？其实不复杂，咱们用一个公式就能搞定。
这个公式里有一个神秘的“普朗克常数”，听起来高大上吧？但它其实就像一个神秘的调味品，让整个计算变得有滋有味。
接着还有一个叫“量子数”的东西，听着就像是给小球贴上了标签，告诉你它属于哪个能量层次。
每个能量层次都有自己的位置，越高的层次，能量就越大，嘿，真是跟升职加薪一样，让人羡慕不已。
一维谐振子的能量本征值按照“量子化”来分级，就像咱们上学时的考试分数，一分一分往上涨。
最底下那一层，能量最少，咱们叫它基态，这就像是小球乖乖待在弹簧，真是无忧无虑。
再往上，能量逐渐增加，运动也越来越活泼，就像你朋友聚会时那种热闹气氛，嘿，越来越嗨了。
这种状态让人感觉像是打开了一扇新窗户，外面的世界五光十色，充满了惊喜。
别以为只有小球才有能量，咱们也不能落下。
你知道吗，能量本征值不仅关乎物理，还关乎我们生活中的方方面面。
就像我们每天都在努力追求自己的目标，有时候很顺利，有时候又觉得自己像个跌跌撞撞的小球，真是一波三折。
不过，只要咱们保持乐观，努力向前，就能找到那个属于自己的“基态”，然后逐渐升华，迎接新的挑战。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。
学等领域]13一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
1.矩阵力学解法取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成221kx V x =（１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令μωk=（２）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势222ˆ212ˆˆx p H μωμ+= (3) 在能量Hˆ表象中，由于 ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(p xf ix x f -=∂ (4a) ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(x pf i x pf=∂ (4b) 因此有]ˆˆˆˆ[ˆˆˆ2H P P H i x x H --==∂∂μω (5a)]ˆˆˆˆ[ˆˆˆH X X H i pp H -==∂∂μ (5b) 取Hˆ表象的矩阵元ij ，由于 ij ij ij E H δ= (6)故有ij j i ij p E E ixˆ)(ˆ2--=μω (7a) ij j i ij xE E ipˆ)(ˆ-=μ(7b) 由于Hˆ矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。
且只是ij ϕ和ij p 两个未知量的方程，与x ，p 的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。
得ω ±=-j i E E (8)则有ωε )(+=i E i ， ...2,1,0±±=i 10≤≤ε (9)不为零的矩阵元为)(1,1,-++=i j i j ij ij p p δδ (10a) )(ˆˆ1,1,-++=i j i j ij ij x xδδ (10b) 由(6)式得ωε )(2,121,+=+-+i p p ii i i (11)此式的解为211,++=+εi c p i i (12) 由(10b)式可知0≥i ，为满足此条件应有00,1=-p 即0211=++-εc 得 21=ε (13) 则ω )21(+=i E i ， i =1，2… (14) 2. Dirac 算符算子代数解法 求解一维谐振子能量本征值由(3)式，采用自然单位1===μω ，则)(2122p x H +=(15) 因此H 具有相空中的旋转不变性，令)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa+=+= (16a) )ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa-=-=+ (16b) 利用 i p x=]ˆ,ˆ[，容易得 1]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=+p x i a a(17) 对H 进行因式分解21ˆ)21ˆˆ(]1)ˆˆ)(ˆˆ[(21ˆ+=+=+++-=+N a a x x d d x x d d H(18)式中a a Nˆˆˆ+= (19) 则[Hˆ，N ˆ]=0 (20) 因为0ˆˆˆˆ2≥==+ϕϕϕϕϕa a a N(21)N a a a a Nˆˆˆ)ˆˆ(ˆ===++++ (22) 所以Nˆ为正定Hermite 算符，H ˆ亦为正定Hermite 算符 设n n n N=ˆ (23) n 为正数，n 表示Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得 a a Nˆ]ˆ,ˆ[-= (24a) ++=a a Nˆ]ˆ,ˆ[ (24b) n a n n N a a N n a N+++++=+=ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆˆ (25a) n a n n N a a N n aN ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆ-=+=(25b) 因此可知，若n 为Nˆ的本征态，且本征值为n ，则n a ˆ与n a +ˆ也是N ˆ的本征态，且本征值为n-1，n+1。
由(25a)式可知n aˆ是N ˆ的本征态，从N ˆ的某个本征态n 出发，逐次用降算符a ˆ运算可得N ˆ的一系列本征态，n ， n aˆ， 2ˆa n ， … (26) 相应的本征值为n ， n-1， n-2， (27)因为N ˆ为正定Hermite 算符，它的所有本征值必须0≥。
设N ˆ的最小本征值为0n ，本征态为0n 。
故它的必须满足0ˆ0=n a(28) 由此可得0ˆˆˆ00==+n a a n N (29) 即0n 是N ˆ的本征值，对应本征值为0n =0，因此0n 可记为0。
由(25b)式可知，n a +ˆ也是N ˆ的本征态，从N ˆ 的最小本征值 0n =0对应的本征态0出发，逐次运用算符+aˆ可得N ˆ的全部本征态 0， +aˆ0， 2)ˆ(+a 0， … (30) 相应本征值为0， 1， 2， (31)可以得 Nˆ的归一化本征态 0)ˆ(!1n an n +=(32) 它是Hˆ的本征态 0ˆn E n H = (33) 21+=n E n ， n=0，1，2… (34) 添上能量单位，ω )21(+=n E n ， n=0，1，2 (35)求解波函数由(28)式 aˆ0=0即00)ˆˆ(21=+p x得， 0)()ˆˆ(210=+x xd dxϕαα，μωα= (36)解得 20022)(x eN x αϕ-= (37)由归一化条件1)(2=⎰∞∞dx x n ϕ得，210)2(α=N (38)由(32)式得0)ˆ(!1n an n +=，即 )()ˆ(!1)(0x a n x nn ϕϕ+==22122)()!2(x n ne dx d x n n αααα-- (39) 令x αξ=，则(36)式可写成:22122)()!2()(x n nn e d d n n αξξαξϕ--= =22)(ξξ-e H N n n (40)n N =21)!2(n n nα(41) 22)()1()(ξξξξξ---=e d d e H n n n (42) 易得)(x n ϕ=n)1(-)(x n ϕ， 即n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。
Hermite 多项式的递推关系1)ˆˆ(21ˆ-=+=n n n xd dxn a(43) 11)ˆˆ(21ˆ++=-=+n n n xd dxn a(44) 因此211222)()()(21ξξξξξξ----=+eH N n eH N d dn n n n (45)211222)(1)()(21ξξξξξξ-++-+=-eH N n eH N d d n n n n (46)由(45)(46)两式得12121-+++=n nn n n ξ (47) 即2112112222)(2)(21)(ξξξξξξξ----++-++=eH N ne H N n eH N n n n n n n=212122)(22)()1(221ξξξξ---++++eH N n neH n N n n n n n 得)(2)()(211ξξξξ-++=n n n nH H H (48)由(43)得22)()(21ξξξξ-+eH N d dn n =22)(21ξξξ-e H N d dn n=2112)(ξξ---eH N n n n (49)而nN N n n 21-=(50)由(49)(50)两式得)(2)(1ξξξ-=n n nH H d d(51) 相干态与压缩态 2.4.1相干态由(24)式a a Nˆ]ˆ,ˆ[-=≠0。
N ˆ，a ˆ不对易。
又由(43)式1ˆ-=n n n a ，所以除n=0 以外，一般n 不是Nˆ的本征态。
而且设N ˆ的本征态为α则α必须包含所有的n 。
设 n C n n )(0αα∑∞== (52)满足方程αλα=aˆ (53) λ为本征值，利用式(43)，得n C n n ∑∞==0λαλ=n C a n n ∑∞=0=10-∑∞=n n C n n (54)即得10-''=∑∑∞=''∞=n n C n C n n n n λ (55)以1-'n 左乘上式，得1110-'-''=-'∑∑∞=''∞=n n n C n n C n n n n λ (56)利用正交归一条件n n n n '='δ，得1-=n n C nC λ(57)依次递推，即得0!C n C nn λ=(58)0C 为归一化常数，归一化条件为2∑∞==n n C αα=nn n n C ∑∞=022!λ=1 (59)由于2!λλen nn n=∑∞= (60)所以2120i C ee λδ-= (61)通常可以取0C 为正实数，即取 δ=0 ，这时α=n C n n ∑∞=0=n n en ∑∞=-0221!2λλ (62)此即为谐振子的相干态。