在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
16-4一维谐振子问题
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
3.正交归一性：
e
2
H
n
(
)H
n
'
(
)
d
2n n!
nn
4.完备性：
f ( ) cnHn ( ) 0
式中的展开系数为：
cn
1 2n n!
e 2
f
( )Hn ( )d
由式（2.7.1）即可得能量本征值 E为：
En
(n
1 )h
2
n 0,1, 2,3,L
U (x) 1 2 x2
2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！
2
2
2
U
(r)
(r)
E
(r)
————定态薛定谔方程
U (x) 1 2 x2
2
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2
2
d2 dx 2
2 px
vx 2a
p
2 x
mea
将算符
pˆ
2 x
(i
)2 x
2
x 2
代入上式，得
F
2 me a
2 x2
A A (r) Aˆ (r)d
一维无限深势阱的基态波函数为
1(x)
2 a
sin
x
a
1
(
x
)
电子对阱壁的平均冲力为
F
a
0
1
Fˆ
1dx
2π 22 me a 4
线性谐振子的不同解法比较
线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。
在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。
中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear HarmonicOscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunctionAbstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the differentproblems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.1． 引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。
6-4-7一维线性谐振子
6-4-7 定态薛定谔方程的应用（三）线性谐振子其能量是振幅的连续函数一、经典线性谐振子在势场中运动的质量为的微观粒子2221)(x m x U m 二、量子线性谐振子xU 当时，势能谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。
221E m A 2 谐振子在运动中能量守恒定态薛定谔方程1.谐振子的能量， )21()21( h n n E n n = 0, 1, 2, (22)222()1()()22d x m x x E x m dx (1) 能量量子化经典：能量连续(2) 最低能级01E h 2经典：的态对应00 E 0p x 零点能零点能不等于零是量子效应，是微观粒子波粒二相性的表现。
不可能静止E n nh 普朗克谐振子的能量：n = 1, 2, …(3) 能级间隔均匀E h假想存在许多虚构的粒子，其每个的能量为h 这种粒子叫做量子（Quantum ）在晶体中，这种量子叫做声子phonon(4) 当n 时，符合玻尔对应原理。
能量量子化 能量连续， 0Δ nE E(1)在E <U 区，概率密度不为0——隧道效应2. 概率密度例如基态位置概率分布在x =0处最大，经典振子在x = 0处概率最小。
(3) n 小时，概率分布与经典谐振子完全不同xn 很大E n E 1E 2E 00U (x )21 2n 22 20 (2) 波函数有n 个零点，在零点处概率为零。
n 为奇数时，x =0处，概率为零。
经典：无零点。
当n 时，符合玻尔对应原理。
量子概率分布 经典概率分布，简谐振子n =11 时的概率密度分布：211 11n x虚线是经典结果(4)只有在n 较大的情况下，有与经典相似。
谐振子的定态薛定谔方程谐振子的能量量子化线性谐振子势函数2221)(x m x U 小结22222()1()()22d x m x x E x m dx ， )21()21( h n n E n ,2,1,0 n。
量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
曾量子力学题库（网用）（1）讲解
曾量⼦⼒学题库（⽹⽤）（1）讲解⼀、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原⼦的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）3. （1）试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量⼦理论5. （1）简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。
问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某⼀⼒学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满⾜的条件11.（2）假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零，试解释是否存在某⼀激发态，该激发态在全空间范围内也都⼤于零。
12.（2）已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.（2）试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。
17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某⼀维体系，粒⼦的势能为222x µγ，其中µ为粒⼦质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
论坐标表象中求解带电谐振子问题的方法
［ ］曾瑾言． ２ 量子 力学高 等教育 出版社 ［ ．北 京： Ｍ】 高等 教育 出版
社 ．９ ８ １７ ．
这个方程与谐振子的方程是一致的， 可以采用厄米级数方
［ ］钱伯初． ３ 量子 力 学 习题精 选 与剖 析 ［ ．北 京 ： 学 出版社 ， Ｍ］ 科
因此，
（＋ ） 二 ｎ÷ 一ｕｏ ｑ ｅ ￣ ｌ
．
此等式与（） ４ 式相同
＝ ｅ ｅ－ （ 一似 似） 同时， ＝ ｅ芋 （ ） Ｎ 一 田
（ 如 ） ｆ一 ２
２ 配方法的运用
＝ ｎ～ Ⅳｅ下
（ Ｇ） － ０
如 令 ，√ ， ２ 变 为 果 ： （式 形 ： ＝ ）
４ ２
第１ ２期
Ｎ ．２ Ｏ １
宜宾学院学报
Ｊｕ ａ ｆ ｉｉ ｎｖｒｉ ｏｒ ｌ ｂｎＵ ｉ ｓｙ ｎ ｏＹ ｅ ｔ ，
Ｄ ｃｍ ｅ．０ ８ ｅｅ ｂｒ２ ０
论坐标表象中求解带 电谐振子问题的方法
王 印 磊
（ 山东科技大学 基础部， 山东 泰安 ２ １０ ） ７０ ０
摘要： 本文运 用不同的方法讨论 了电场 中带电谐振子在坐标表 象中的能量本征值和本征函数 的求解方法， 为电场 中带 电谐搌子不仅可以用定态 认 微扰的方法求近似解 ， 而且其精确解也可以找到．
㈩
，
比较（） １式和（ ） ｎ 和 的差别在于变量 由 变成了 ３ 式， ｏ
其本征值为：
并 了 数 去 ｘ， 增添 常 项一 ２ ２ 。
由此可知：
Ｅ ＝ｆ（’一 ｆｏ ‰ ２
其本征函数为：
＝
＝
Ｎｅ丁 Ｈ （ 一 似）
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初中物理
题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
作者单位：响水滩乡中心学校
作者姓名：宁国强
2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
响水滩中心学校 宁国强
摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；
一、 能量本征值、本征函数的求解
取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x
μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为
222122
p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为
()()222221ˆ22d x x E x dx μωψψμ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：
()0x x ψ→∞
−−−→ （4）
将方程（3）无量纲化，为此，令
x ξα==， α= λ=2E ω
h （5） （3）式可改写为
()
2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当ξ⎢⎥⎣⎦很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为
2220d d ψξψξ
-= （7） ξ→±∞时，
它的渐近解为2/2~e ξψ±。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。
方程(6)在ξ为有限处的
根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：
()()2
2Ae H ξψξξ-= （8）
式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得
()22210d H dH H d d ξλξξ
-+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。
代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为
12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。
当21n λ=+时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式：
()()22
1n n n n d H e e d ξξξξ-=- （11） 可以证明，厄密多项式满足正交性公式：
()()2!n m mn n H H e d n ξξξξπδ+∞--∞=⎰ （12）
归一化的谐振子能量本征函数为 ()()22
12x n n
n x A e H x αψα-=， ()0,1,2n =L L （13）
归一化常数 1
2!n n A n απ⎤=⎥⎦
（14） 线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：
()*(),()()()m n m n mn x x x x dx ψψψψδ+∞-∞==⎰ （15）
二、 能量本征态下力学量平均值的计算
利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式： ()()()1111ˆ22n n n n n x x x x ψψψα-+⎫+=+⎪⎪⎭
（16） ()()()()()()()())22221
ˆ121122n n n n x x n n x n x n n x ψψψψα-+=-++++++ （17） ()11122n n n d x n n dx ψαψψ-+⎫+=⎪⎪⎭
（18） ()
()()()()()()())22222121122n n n n d x n n x n x n n x dx ψαψψψ-+=--+++ （19）
利用（16）之（19）及()n x ψ的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在()n x ψ态下以下各力学量的平均值：
()()()0ˆ,ˆ==x x x x
n n ψψ （20）
()()()()()ˆˆ,,0n n n n d x p x p x i x dx ψψψψ⎛⎫==-= ⎪⎝
⎭h （21） ()()()()22211ˆˆ,2122n n x
x x x n n m ψψαω⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭h （22）
()()()()()222ˆˆ,,n n n n d p x p x x i x dx ψψψψ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
h ()()()2222
21,2122n n d x x n n m dx αψψω⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h h （23） 在上述结果基础上，容易求出()n x ψ态下谐振子的平均势能和平均动能为
2211112222
n m x n E ωω⎛⎫==+= ⎪⎝⎭h （24）
2
1112222n p n E m ω⎛⎫=
=+= ⎪⎝⎭h （25）。