9 一维线性谐振子ppt

N nx ny nz 0,1, 2,3
1 Ei (ni ), 2
• 有
3 E ( N ), 2
• 对于个给定的N ， nx , n y , nz 可以有不同的组合 方式 (n , n , n ) • N 0 ， x y z 只有一种可能（0，0，0） • 本征函数为 000 0 ( x)0 ( y ) 0 ( z ) • 能量本征值 E0 3
2
e
2 2
u ( )
(u u )
d 2 2 2 e [u 2 u ( 2 1)] d 2
u ( ) 满足的方程
u 2 u (2 1)u 0
n 0,1,2,......
• 其解是一个无穷级数。为了满足束缚态条件，该级数必须 中断为多项式。只有当
• 上式三个方括号分别是三个独立坐标变量x, y, z的 函数，它们的和为一个常数E, 因此，三个方括号 必须分别是与坐标变量无关的常数：
•
2 1 2 1 ( ) m 2 x 2 E x 2m x 2 2
2 1 2 1 ( ) m 2 y 2 E y 2m y 2 2
2 1 2n,
或
n (n 1 2)
n 0,1,2,......
• u ( ) 的解为Hermite 多项式 H n ( )
• 9.3谐振子的能量本征值和本征函数
n n
1 2

2
n 0,1, 2,....
2
n ( ) cn e
H n ( )
H n ( ) 满足正交归一条件



H m ( )H n ( )e
2
d 2 n n! mn
• 据此可以得到归一化常数 cn ( 2 n n !) 1 2 • 还原到原来量纲的能量本征值和本征函数 •
En (n 1 ) 2
1 2 1 2 x2 n ( x) ( ) e 2 H n ( x) 2n n !
d 2 (2 2 ) 0 d 2
• A)方程的渐进形式和渐进解 d 2 • 方程的渐进形式 2 • 渐进解 • 舍去 e
e
2

2
d
2 0
2
e
2 2
2
保留
（束缚态）
• B) 在 为有限的区域, 令
d 2 e d
ˆ p2 1 2 2 1 ˆ H m 2 r 2 m 2 r 2 2m 2 2m 2 2 2 2 2 1 ( 2 2 2 ) m 2 ( x 2 y 2 z 2 ) 2m x y z 2
• 定态薛定谔方程 • ˆ (r ) E (r ) H 可以分解为3个一维谐振子的方程。令
N 1
( nx , n y , nz )
• 能量本征值
(三重简并）
• 能量量子数 N，能量本征值 •
E ( N 3 ) 2
f 1 ( N 1)( N 2) 2
• 简并度为
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2

1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2

x m
x

m
•
1 d2 ( 2 2 ) ( ) ( ) ( x) ( ) 方程： 2 d
• 在边界条件 解方程
• 即求解：
, ( ) 0 之下求
1 d2 ( 2 ) ( ) ( ) 2 d 2
2
•
可选为（1，0，0），（0， 1，0），（0，0，1）共三种方式，相应的本征函 数为 100 1 ( x)0 ( y ) 0 ( z ) 010 0 ( x)1 ( y ) 0 ( z ) 001 0 ( x)0 ( y ) 1 ( z )
E1 5 2
2 1 2 1 ( ) m 2 z 2 E z 2m z 2 2
Ex E y Ez E
• •
( x), ( y), ( z)
Ex , E y , Ez
分别是一维谐振子的本征函数， 是本征值。利用前面的结果：
ni 0,1, 2, , i x, y, z
§9 一维线性谐振子
• 9.1 一维线性谐振子的Hamiltonian • 经典力学中，一维谐振子的Hamiltonian
p2 p2 1 H V m 2 x 2 2m 2m 2
• 势场
•
园频率
k m 是弹性系数， 是谐振子震荡
2
2 ˆ ˆ F V m xex kxex
子化的.谐振子能量的本征值有下界而没有上界， ( x) 1 E ，也称零点能，是 它的下界是基态能量 2 一个非零的正值， 没有经典对应。
0
•
B.谐振子的能量的本征函数组成正交、归一的
完全系
m ( x) n ( x)dx mn
• 谐振子的全部本征函数的集合{ n } 组成完全系，即 任何一维坐标变量的函数 （要求它的绝对值的 平方是可以积分的），都可以用{ n } 展开：
（1）
(r ) ( x, y, z) ( x) ( y) ( z)
• 代入（1）
2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( x) ( y ) ( z ) m ( x y z ) ( x) ( y ) ( z ) 2m x y z 2 E ( x) ( y ) ( z )
x n ( x)
2
[ n n 1 ( x) n 1 n 1 ( (i )
[ n n 1 ( x) n 1 n 1 ( x)]
• E.本征函数加上相应的时间因子是谐振子的可能状态，
这些可能状态称为定态。定态的叠加不再是定态，但 是仍然是薛定谔波方程的解，仍然是谐振子的可能状 态。 • 如果初始时刻制备在某一个本征态 m ( x，那么任意时 ) i 刻它都将处在这个定态 E t
m ( x, t ) m ( x)e

m
• 如果初始时刻制备在某一个叠加态
( x)
1 2 [ 0 ( x) 1 ( x)]
• 那么t时刻它的状态是
( x, t )
1 2 [ 0 ( x)e
i E0t
1 ( x )e
i E1t
]
• 9.5 三维各向同性谐振子 • 1. 定态schrodinger方程 • Hamiltonian
( x) an n ( x)
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标

E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 V m 2 x 2 2
对应于弹性恢复力
• 量子力学：把x和p都对应为算符。 • 在位置空间中，位置坐标x是相乘算符，而 动量 是对位置坐标的微分算符， p i ˆ x 一维谐振子的Hamiltonian算符
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
• 两端同除以 ( x) ( y) ( z ) ：
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 [ ( ) m x ] [ ( ) m 2 y 2 ] 2m x 2 2 2m y 2 2 2 1 2 1 [ ( ) m 2 z 2 ] E 2m z 2 2