线性谐振子
§2 线性谐振子
• （一）引言
l
（1）何谓谐振子
l
（2）为什么研究线性谐振子
l （二）线性谐振子
l
（1）方程的建立
l
（2）求解
l
（3）应用标准条件
l
（4）厄密多项式
l
（5）求归一化系数
l
（6）讨论
l （三）实例
1
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
ξ2 >> ± 1
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
[ 2 1]
2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等
波函数有 限性条件：
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (a) V0
V 0 x xa
V(x)
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(x
a)2
a
x
0
V0
其中：k
2V x 2
3
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振
d2x dt 2
kx
x 2 x 0
其中 k
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运
动的粒子叫谐振子。
因为
F dV dx
所以
V
kxdx
1 2Hale Waihona Puke kx2 V0
1 2
2x2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为：
H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
bk2 (k 1)(k 2) k
k0
则方程 H 2H ( 1)H 0
变成：
[bk 2 (k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
k
9
[bk 2 ( k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
于1。最后渐近波函数为：
e 2 / 2
7
为 了 使 方 程d 2 d 2
[
2 ] ( x ) 0的 波 函 数
在 无 穷 远 处 有 e 2 / 2渐 近 形 式 ， 我 们 自 然 会令 ：
( ) H( )e 2 / 2
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连 续的标准条件。即：
往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在
理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子
间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V
有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
V ( x) V (a) 1 V 1! x
1 2V
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
1. 渐近解
d 2 d 2
2
0
其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
d d
d
d
e 2 / 2
e 2 / 2
则 Schrodinger 方程可写为 ：
Hˆ pˆ 2 1 2 x 2 2 2
2
2
d2 dx 2
1 2x2
2
2
2
d2 dx 2
[E
1 2
2
x
2
]
(
x
)
0
或
：
d2 dx 2
2
2
[E
1 2
2 x2 ] ( x)
l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
2. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
H 2H ( 1)H 0
8
3.级数解
我们以级数形式来求解。 为此令：
H bk k k0
k
即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0
该式对任意ξ都成立，
从而导出系数 bk 的递推公式：
故ξ同次幂前的系数均应为零，
2k 1
bk 2 ( k 1)( k 2) bk
只含偶次幂项
由上式可以看出：
b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
子势的形式：
V ( x) 1 kx 2 2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
4
（二）线性谐振子
• （1）方程的建立 l （2）求解 l （3）应用标准条件 l （4）厄密多项式 l （5）求归一化系数 l （6）讨论
5
（1）方程的建立
线性谐振子的 Hamilton量：
V 1 2x2
2
因：k 2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。
2
（2）为什么研究线性谐振子
l
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振
动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振
动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动
0
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令 ： x 其 中
d 2 d 2
[
2 ] ( x)
0
其中
， 则 方 程 可 改 写 为 ：
2E
此式是一变系数 二阶常微分方程
6
（2）求解
d 2 d 2
[
2 ] ( x ) 0
H
bk k k 1
k 0
2H
2bk k k
k0
H
bk k(k 1) k 2
bk k(k 1) k2
k0
k2
令 k k 2 则：
H
bk2 (k 1)(k 2) k
k0
用 k 代替 k’
• （一）引言
l
（1）何谓谐振子
l
（2）为什么研究线性谐振子
l （二）线性谐振子
l
（1）方程的建立
l
（2）求解
l
（3）应用标准条件
l
（4）厄密多项式
l
（5）求归一化系数
l
（6）讨论
l （三）实例
1
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
ξ2 >> ± 1
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
[ 2 1]
2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等
波函数有 限性条件：
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (a) V0
V 0 x xa
V(x)
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(x
a)2
a
x
0
V0
其中：k
2V x 2
3
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振
d2x dt 2
kx
x 2 x 0
其中 k
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运
动的粒子叫谐振子。
因为
F dV dx
所以
V
kxdx
1 2Hale Waihona Puke kx2 V0
1 2
2x2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为：
H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
bk2 (k 1)(k 2) k
k0
则方程 H 2H ( 1)H 0
变成：
[bk 2 (k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
k
9
[bk 2 ( k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
于1。最后渐近波函数为：
e 2 / 2
7
为 了 使 方 程d 2 d 2
[
2 ] ( x ) 0的 波 函 数
在 无 穷 远 处 有 e 2 / 2渐 近 形 式 ， 我 们 自 然 会令 ：
( ) H( )e 2 / 2
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连 续的标准条件。即：
往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在
理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子
间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 x = a 处，V
有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
V ( x) V (a) 1 V 1! x
1 2V
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
1. 渐近解
d 2 d 2
2
0
其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
d d
d
d
e 2 / 2
e 2 / 2
则 Schrodinger 方程可写为 ：
Hˆ pˆ 2 1 2 x 2 2 2
2
2
d2 dx 2
1 2x2
2
2
2
d2 dx 2
[E
1 2
2
x
2
]
(
x
)
0
或
：
d2 dx 2
2
2
[E
1 2
2 x2 ] ( x)
l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
2. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
H 2H ( 1)H 0
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3.级数解
我们以级数形式来求解。 为此令：
H bk k k0
k
即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0
该式对任意ξ都成立，
从而导出系数 bk 的递推公式：
故ξ同次幂前的系数均应为零，
2k 1
bk 2 ( k 1)( k 2) bk
只含偶次幂项
由上式可以看出：
b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
子势的形式：
V ( x) 1 kx 2 2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
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（二）线性谐振子
• （1）方程的建立 l （2）求解 l （3）应用标准条件 l （4）厄密多项式 l （5）求归一化系数 l （6）讨论
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（1）方程的建立
线性谐振子的 Hamilton量：
V 1 2x2
2
因：k 2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。
2
（2）为什么研究线性谐振子
l
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振
动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振
动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动
0
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令 ： x 其 中
d 2 d 2
[
2 ] ( x)
0
其中
， 则 方 程 可 改 写 为 ：
2E
此式是一变系数 二阶常微分方程
6
（2）求解
d 2 d 2
[
2 ] ( x ) 0
H
bk k k 1
k 0
2H
2bk k k
k0
H
bk k(k 1) k 2
bk k(k 1) k2
k0
k2
令 k k 2 则：
H
bk2 (k 1)(k 2) k
k0
用 k 代替 k’
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3.5 线性谐振子
3.5 线性谐振子 (The Harmonic Oscillator)
在自然界中一维谐振子广泛存在,任何体系在平衡位置附近 的小振动,如分子的振动,晶格的振动,原子和表面振动以及辐 射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动 简谐振动.本节将应 简谐振动 用薛定谔方程来求出谐振子的能量本征值和本征函数. 假设一个一维谐振子,其势能按泰勒级数展开.
T /2
2π
π dx / dt
x=asinωt, 那么
dx = aω cos ωt = ωa 1 ( x / a ) 2 dt a 1 wcl ( x )dx = dx π 1 ( x / a )2
(31) (32)
振幅可以从能量得到 E = 1 mω 2 a 2 , a = 2 E / mω 2 2 相反, 对局域在x+dx中的粒子,量子力学中的几率为
∧ 1 (ξ + ) = a ξ 2
∧+
(48)
从这两个关系, 我们可以估算ψn的相邻函数ψn-1和ψn+1. 为了简便 起见,我们做如下替代
1 (ξ ) = a ξ 2
∧+
(49)
(48)式变为
aψ n = nψ n 1 ,
(6)
k2 k 2 E κ= = = 2 λ 2 m ω ω
为了解方程(6),我们设一个非对称试解
ψ ( y) = e
y/2
( y)
(7)
dψ 1 d y / 2 d 2ψ 1 d d 2 y / 2 = [ ( y ) + ]e and = [ ( y )- + 2 ]e (8) 2 dy 2 dy dy 4 dy dy
λ x, dx =
2
∫ ψ ( x)
在自然界中一维谐振子广泛存在,任何体系在平衡位置附近 的小振动,如分子的振动,晶格的振动,原子和表面振动以及辐 射场的振动等都可以分解成若干彼此独立的简谐振动 简谐振动.本节将应 简谐振动 用薛定谔方程来求出谐振子的能量本征值和本征函数. 假设一个一维谐振子,其势能按泰勒级数展开.
T /2
2π
π dx / dt
x=asinωt, 那么
dx = aω cos ωt = ωa 1 ( x / a ) 2 dt a 1 wcl ( x )dx = dx π 1 ( x / a )2
(31) (32)
振幅可以从能量得到 E = 1 mω 2 a 2 , a = 2 E / mω 2 2 相反, 对局域在x+dx中的粒子,量子力学中的几率为
∧ 1 (ξ + ) = a ξ 2
∧+
(48)
从这两个关系, 我们可以估算ψn的相邻函数ψn-1和ψn+1. 为了简便 起见,我们做如下替代
1 (ξ ) = a ξ 2
∧+
(49)
(48)式变为
aψ n = nψ n 1 ,
(6)
k2 k 2 E κ= = = 2 λ 2 m ω ω
为了解方程(6),我们设一个非对称试解
ψ ( y) = e
y/2
( y)
(7)
dψ 1 d y / 2 d 2ψ 1 d d 2 y / 2 = [ ( y ) + ]e and = [ ( y )- + 2 ]e (8) 2 dy 2 dy dy 4 dy dy
λ x, dx =
2
∫ ψ ( x)
4线性谐振子与势垒贯穿
0 0
U r r r0处U r 有极小值 0 r r0
2U r 令k r 2 r 0 1 3U r g 2 r 3 r
0
1 1 2 3 U r U r0 k r r0 g r r0 1 2 3
线性谐振子 n=10时的几率密度分布
表明： 当n很大时， 量 迅速振荡，此时其平均值和经典振子
的概率密度已经接近，说明在n很大时即能量很高时， 量子振子的行为可以用经典振子来代替。
1 n x 例：设谐振子的初态为 x,0 A n 0 2
求(a)求归一化常数A；(b) x, t ? 解：(a)
1 2
1 2
(1)、(2)式改写为：
d 2 2 k1 0, 2 dx 2 d k22 0, dx2
x 0, x a 3
0 x a 4
x 0 :1 Aeik x Aeik x
E
1 En n , n 0,1,2,9 2
1 讨论： En n , n 0,1,2, 2
1、量子力学中一维线性谐振子的能量是不连续的，即量子化的。 2、能级的间隔等距，即
U(x)
n=3
En En1 En
/2
舍去！
应有限
方程(4)的渐进解为：
e
2 / 2
设方程(4)的一般解为： e
2
2 / 2
H ( )
2
6
2
代 入
d dH d H 2 2 H 2 H e 2 2 d d d
U r r r0处U r 有极小值 0 r r0
2U r 令k r 2 r 0 1 3U r g 2 r 3 r
0
1 1 2 3 U r U r0 k r r0 g r r0 1 2 3
线性谐振子 n=10时的几率密度分布
表明： 当n很大时， 量 迅速振荡，此时其平均值和经典振子
的概率密度已经接近，说明在n很大时即能量很高时， 量子振子的行为可以用经典振子来代替。
1 n x 例：设谐振子的初态为 x,0 A n 0 2
求(a)求归一化常数A；(b) x, t ? 解：(a)
1 2
1 2
(1)、(2)式改写为：
d 2 2 k1 0, 2 dx 2 d k22 0, dx2
x 0, x a 3
0 x a 4
x 0 :1 Aeik x Aeik x
E
1 En n , n 0,1,2,9 2
1 讨论： En n , n 0,1,2, 2
1、量子力学中一维线性谐振子的能量是不连续的，即量子化的。 2、能级的间隔等距，即
U(x)
n=3
En En1 En
/2
舍去！
应有限
方程(4)的渐进解为：
e
2 / 2
设方程(4)的一般解为： e
2
2 / 2
H ( )
2
6
2
代 入
d dH d H 2 2 H 2 H e 2 2 d d d
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。
在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。
谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。
一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。
谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。
波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。
概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。
在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。
通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。
1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。
在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。
谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。
波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。
谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。
波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。
通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。
谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。
8线性谐振子
α= µω
h
ξ = αx
λ=
2E hω
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
（*）
此方程不能直接求解， 的渐进解， 此方程不能直接求解，可先求 ξ → ±∞的渐进解，由于 λ << ξ 2 ，则方 程退化为 d2 ψ − ξ 2ψ = 0 dξ 2 其渐进解为 验证： 验证：
一、问题提出
U 0 0 < x < a U ( x) = 0 x < 0, x > a E > U0
U ( x)
当
经典情况：当 粒子可以越过势垒； 经典情况： 时，粒子可以越过势垒； E < U0 粒子被势垒反射，不能通过。 时，粒子被势垒反射，不能通过。 量子情况： 量子情况：？
U0
x
二、方程的求解
利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项， 利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项，才能 有限， 为奇数， 在 ξ → ±∞ 时使 ψ (ξ )有限，而级数含有有限项的条件是 λ 为奇数，即
λ = 2n + 1
n = 0,1,2,...
2E 所以， 因为 λ = ，所以，一维线性谐振子的能级为 hω 1 E n = n + h ω n = 0,1,2,... 2
2
。
/2
H (ξ )
H (ξ ) 满足条件： 满足条件：
应有限； （1）在 ξ 有限时 H (ξ ) 应有限； H （2）当 ξ → ±∞ 时， (ξ ) 也必须保证 ψ (ξ ) → 0 。
h
ξ = αx
λ=
2E hω
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
（*）
此方程不能直接求解， 的渐进解， 此方程不能直接求解，可先求 ξ → ±∞的渐进解，由于 λ << ξ 2 ，则方 程退化为 d2 ψ − ξ 2ψ = 0 dξ 2 其渐进解为 验证： 验证：
一、问题提出
U 0 0 < x < a U ( x) = 0 x < 0, x > a E > U0
U ( x)
当
经典情况：当 粒子可以越过势垒； 经典情况： 时，粒子可以越过势垒； E < U0 粒子被势垒反射，不能通过。 时，粒子被势垒反射，不能通过。 量子情况： 量子情况：？
U0
x
二、方程的求解
利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项， 利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项，才能 有限， 为奇数， 在 ξ → ±∞ 时使 ψ (ξ )有限，而级数含有有限项的条件是 λ 为奇数，即
λ = 2n + 1
n = 0,1,2,...
2E 所以， 因为 λ = ，所以，一维线性谐振子的能级为 hω 1 E n = n + h ω n = 0,1,2,... 2
2
。
/2
H (ξ )
H (ξ ) 满足条件： 满足条件：
应有限； （1）在 ξ 有限时 H (ξ ) 应有限； H （2）当 ξ → ±∞ 时， (ξ ) 也必须保证 ψ (ξ ) → 0 。
线性谐振子量子力学课件
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
耦合谐振子——精选推荐
mw22η
2
)]ψ
=
Eψ
[(−
h2 2m
∂2
∂ε 2
+
1 2
mw12ε 2 ) + (−
h2 2m
∂2
∂η 2
+
1 2
mw22η 2 )]ψ
=
Eψ
此方程表示两个彼此独立的谐振子（ε和 η为简正坐标），其解可以取为：
ψ = ψ n1 (ε )ψ n2 (η )
ψ n1 = (
π
α1
⋅ 2 n1
⋅
1
)2 n1!
=
E10
+
E11
=
2hw0
±
λh 2 mw0
能级简并被解除，类似可以求其它 能级的分裂！
2.2 精确求解
作坐标变换，令：
x1
=
(ε
+η)
2
,
x2
=
(ε
+η)
2
其逆变换为： ε = x1 + x2 ,η = x1 − x2
2
2
容易证明：
x
2 1
+
x
2 2
=
ε
2
+η
2
x1 x 2
=
(ε 2
−η 2)
2
∂2
∂
x
2 1
+
∂2
∂
x
2 2
=
∂2
∂ε 2
+
∂2
∂η 2
因此薛定谔方程：
−
h2 2m
(
∂2 ∂x12
+
∂2 ∂x22
)ψ
4.6线性谐振子和粒子数表象
n An (a )n 0
（4.6.14）
其中 An是归一化系数，待定。由式（4.6.6），（4.6.7）
（4.6.14）可知 H n (n 1) n
2
即一维线性谐振子能量本征值为 动力学方法所得到的结果一致。
（4.6.15）
En
(n 1)，这与波
2
现在来考察基本算符a 和 a 对表象基矢 n 的作用。
0
（4.6.8）
即 aa 的本征值为非负数。
其次，利用对易关系（4.6.4）不难证明
(aa)a a (aa 1) ( 1)a （4.6.9）
4.6 线性谐振子和粒子数表象
这表明，若 是的一个本征矢，相应的本征值 ，则
也使它的一个本征矢，相应的本征值为 1。类似的将
算符 aa 作用于本征矢 a ，有
由式（4.6.9）的结果可知， a与 n 描n 写1 了同一个态，
因此有
a n cn n 1
（4.6.16）
4.6 线性谐振子和粒子数表象
其中 cn 是常数。为了确定cn ，对上式取模的平方，有
cn 2
a
n
2
n aa
n
= n (aa 1) n n 1
于是可得 cn n 1ein 。若取 n 0 ，则式（4.6.16）化
H (aa 1)
2
（4.6.6）
4.6 线性谐振子和粒子数表象
由于H与算符 aa 仅仅相差一个常数矩阵，所以我们
只需求解 aa 的本征值问题。设它的属于本征值为 的本
征矢为 ，即 aa
（4.6.7）
首先，由于 aa (a ) (a ) (a 2 是一个右矢 的模的平方，是非负数，因此可得到如下结论：
3.5线性谐振子
38
34
2. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入Schrodinger方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
H 2H ( 1)H 0
如何求解H(ξ) ？级数法求解！
38
35
3.级数解
我们以级数形式来 求解。 为此令：
H bk k k 0
H
bk k k 1
k 0
因此，设能量本征方程的解为：
En1n2n3 En1 En1 En1
n1 ( x) n2 ( y) n3 ( z )
Hˆ Hˆ x Hˆ y Hˆ z
E Ex Ey Ez
( x) ( y) (z)
解得能量本征值为：
则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程：
Eni
(ni
0,
1,
...,
N
→
1
0,
1,
...,
N-1
→
2
0,
1,
...,
N-2
→
...,
...,
...,
...,
...
→
N
0,
→
组合方式数 N+1 N N-1 ... 1
对给定 N ( N= n1 + n2 + n3 ), {n1 , n2, n3 }的组合方式数
(1/2)(N+1)(N+2)
当n1 , n2 确定后， n3 = N－n1－n2，也就确定了，不增加不同组
2
2
d2
dx
2
d2 dy 2
d2 dz 2
1 2
2
(x2
y2
z2)
Hˆ x Hˆ y Hˆ z
线性谐振子
,
首先 从 经 典力 学 方 面 看
受 到 与 离 开 平 衡位 置 的 位 移 x 成 正 比 的 恢 复力 F 的 作 用 的 运
,
谐 振 子 是 具 有质量 m 的 质 点
如图
一
其表 示 式 为
一》
争
.
F
=
一
K
,
(
。
1 )
丁 式 中 K为比 例 片 量
`
(
1 ) 式可 化为
一
n
d d一 尸 姗
。 ,
C 为 任意 值
l
二泳(
28
) 式在K <
,
。 一
时 各 项 系 数 即不 再 改 变 符 号 了
函 数 的要 求 不 合
,
一
如 不 用一 个 极 大 幂 来 限 制
= ”
乡
口 寸
幂 级 数· 的 各项 系 数 交 为 正 负
,
,
K>
则当K
,
一,
, 关 时: ( y ) 发 故
。
与波
一
合
也
因 之 只 仃在 K
一
.
饮C
`
飞
弓认为 等 于 1
一
故
; 支: :立 数
的 一 般 解力
。 二 。
一
劝二 势Q
音y
之
u
将
(
3 2
、 ./
J
) 式 代 入 ( 1 7 ) 式 并 考店 到
召
一
。
2 一 y
巾 9
、 产 .
U
“
`
/
一 2 州`
1 )“ 〕
首先 从 经 典力 学 方 面 看
受 到 与 离 开 平 衡位 置 的 位 移 x 成 正 比 的 恢 复力 F 的 作 用 的 运
,
谐 振 子 是 具 有质量 m 的 质 点
如图
一
其表 示 式 为
一》
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.
F
=
一
K
,
(
。
1 )
丁 式 中 K为比 例 片 量
`
(
1 ) 式可 化为
一
n
d d一 尸 姗
。 ,
C 为 任意 值
l
二泳(
28
) 式在K <
,
。 一
时 各 项 系 数 即不 再 改 变 符 号 了
函 数 的要 求 不 合
,
一
如 不 用一 个 极 大 幂 来 限 制
= ”
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幂 级 数· 的 各项 系 数 交 为 正 负
,
,
K>
则当K
,
一,
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。
与波
一
合
也
因 之 只 仃在 K
一
.
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`
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一
故
; 支: :立 数
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。 二 。
一
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一
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巾 9
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/
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线性谐振子
1
1
4
e2x2 / 2
1(x)
211!
e2x2 /2 H1( x)
2
e2x2 / 2 2 x
1
1
2 xe2x2 /2
4
2(x)
222!
e2x2 / 2 H2 ( x)
8
e2x2 /2 4 2 x2 2
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为 简谐振动,作这种运动的粒子叫谐振子。
因为
F dV dx
所以
因：k m2
V
kxdx
1 2
kx 2
V0
1 2
m 2 x2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处 于势 V = 0 点，则
V 1 m2 x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
e 2 / 2
为了使方程 d 2 d 2
[ 2 ] (x) 0的波函数
在无穷远处有 e 2 / 2渐近形式，我们自然会令：
( ) H( )e 2 / 2
(2.7-5)
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准 条件。即：
ω0(ξ)
-1 0 1
ωn(ξ)
n=2
n=1 n=0
-1 1
|10|2
-4 -2
24
求
1
x
0
x
dx
0(x)
1
1
4
e 2x2 / 2
1(x)