线性谐振子的不同解法比较
几种求解线性谐振子基态能方法的比较
系统时，有简单而直观的表达式，便于求解。 而代数方法在很早就有了广泛的应用，比如 量子力学的矩阵形式，就是一种代数方法。 本文求解谐振子能量本征值的代数方法，在 处理如分子，晶格，原子核的振动，相干态 等问题时，可以广泛应用。在原子、分子、 原子核和基本粒子束缚态的研究中，变分法 的应用非常普遍。在一些简单的情况下，只 需要很少几个变分参量就可以得到符合要 求的近似解。特别是单参量的试探波函数， 有很简单的解析表达式，计算一些相关物理 量非常方便。不确定关系作为量子力学的一 个基本理论，用它解决一些物理问题能给出 比较清晰地物理图像。
解：一维谐振子的哈密顿量为（采用自然单
位 h = m = ω = 1）：
H
=
−
1 2
d2 dx2
+
1 2
x2
选取基态试探波函数为
x
ψ = N (1 − a )
x <a
（4）
0
x <a
其中 a 为变分参数，N 为归一化常数。
由归一化条件可得
∫ ∫ ψ 2dx = N 2
a
(1 −
x2 ) dx
−a
a
∫ = 2N 2a 1(1− ξ )2 dξ 0
对易关系和哈密顿算符为出发点，利用薛定 谔因式分解的方法，经过递推而求解。其求 解的方法非常简单巧妙，虽然不普遍，但是 在解决一些问题还是可以用到，如解决两个 角动量合成角动量的本征值和本征态问题。 变分法常用来计算系统的基态和前几个激 发态。然而，用任意波函数计算出来的平均 值能量总是不小于基态能量，如以上用变分
4 推广
简谐振子模型是量子力学中极其简单 而又重要的模型，它作为一个精确可解的量 子力学模型，体现了周期运动的基本特性，
关于电场中线性谐振子问题的求解
关于电场中线性谐振子问题的求解张小伟【摘要】线性谐振子是量子力学中非常重要的一个模型,本文列举了求解电场中线性谐振子能量和波函数的不同方法,并比较几种方法的优缺点.【期刊名称】《黑龙江科学》【年(卷),期】2017(008)010【总页数】3页(P178-180)【关键词】线性谐振子;微扰理论;费曼-海尔曼定理【作者】张小伟【作者单位】黔南民族师范学院物理与电子科学学院,贵州都匀 558000【正文语种】中文【中图分类】O413.1量子力学中关于线性谐振子的研究很多，最主要是因为谐振子往往可作许多复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究，无论在理论还是在应用方面都很重要。
量子力学的各类教程中，最基本的是用薛定谔方程求解一维线性谐振子的能量和波函数。
本文列举几种不同方法求解电场中的一维谐振子的能量和波函数，并对不同方法进行比较。
设电荷为q的一维谐振子，将其放在均匀电场ε中，谐振子的势能为mω2x2-qεx，则体系哈密顿算符为：一维自由线性谐振子的能量和波函数可以通过解定态薛定谔方程求得，能级为：能级间隔为ћω，对应能量En的波函数为：由归一化条件可求得归一化系数：带电谐振子因为受到电场的作用，其哈密顿算符中势能项多了一个变量的一次项-qεx。
用坐标平移法(1)式可变为：令式变为：其中，可见′所表示的体系可看成自由线性谐振子，相应各级的能级为：所以带电线性谐振子能级：能级间隔为ћω，可见电场并没有改变谐振子的能级间隔。
对应的波函数为，则En对应的波函数和几率密度为：由(7)、(8)式和(9)式可知，相对无电场时的线性谐振子，电场并没有改变谐振子的能谱形状，只是各级能级比相应的能级降低了，波函数和几率密度的平衡点右平移了个单位。
针对带电线性谐振子的问题，体系的哈密顿算符不是时间的显函数，要用到定态微扰理论求解，微扰理论一般是从简单问题的精确解出发求解复杂问题的近似解。
若电场为弱电场，则线性谐振子的哈密顿量可写成：其中mω2x2是可以精确求解的哈密顿量，求得的能级等于(2)式，波函数等于(3)式的结果，′=-qεx可看成微扰项。
谐振子薛定谔方程的简单解法
谐振子薛定谔方程的简单解法谐振子薛定谔方程是一个常见的量子力学问题，求解它的方法有许多种。
其中比较简单的一种方法是使用升降算符法，即通过引入升降算符，将原方程转化为一系列易于求解的简单形式。
具体来说，假设谐振子的薛定谔方程为：（-h^2/(2m) d^2/dx^2 + 1/2 kx^2)ψ(x) = Eψ(x)。
其中，h是普朗克常数，m是质量，k是弹性常数，E是能量，ψ(x)是波函数。
按照升降算符法的思路，我们可以定义两个算符a和a†，它们分别满足以下关系：aψ(x) = (√(mω/2h))(d/dx + (i/√2mω)x)ψ(x)。
a†ψ(x) = (√(mω/2h)) (d/dx - (i/√2mω)x)ψ(x)。
其中ω是谐振子的角频率，满足ω=√(k/m)。
容易证明，a†a和aa†的作用效果如下：a†aψ(x)=(1/2ωh)(p^2+(mωx)^2)ψ(x)-(1/2)ψ(x)。
aa†ψ(x) = (1/2ωh) (p^2 + (mωx)^2 + ωh)ψ(x)。
其中p是动量算符。
注意到上式中出现了p^2和x^2的和，这意味着我们可以将原方程改写为：(a†a+1/2)ψ(x)=(E/ωh)ψ(x)。
于是我们得到了简单的形式，可以逐层求解，直到得到某个特定的能级E的波函数。
具体过程如下：1.对于能量E，我们可以通过求解a†aψ(x)=vψ(x)的形式得到v，这里的v相当于E/ωh-1/2。
由于a†a的本征值是非负的，因此v必须大于等于0，即E/ωh必须大于等于1/2。
2.再对a†aψ(x)=vψ(x)做“降阶”，即对每个v对应的本征函数分别应用a算符，得到下一个v对应的本征函数。
这里需要注意，由于a算符作用后产生的新波函数在一般情况下不是归一化的，需要对其进行归一化。
3.重复步骤2，直到得到所需的能级E的波函数为止。
这种方法虽然比较简单，但需要一定的数学功底和物理理解能力。
在实际应用中，也可以使用其他更为高级的方法来求解谐振子的薛定谔方程，如行列式方法、路径积分方法等。
线性谐振子
• （一）引言
l
（1）何谓谐振子
l
（2）为什么研究线性谐振子
l （二）线性谐振子
l
（1）方程的建立
l
（2）求解
l
（3）应用标准条件
l
（4）厄密多项式
l
（5）求归一化系数
l
（6）讨论
l （三）实例
1
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
ξ2 >> ± 1
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
[ 2 1]
2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等
波函数有 限性条件：
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (a) V0
V 0 x xa
V(x)
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(x
a)2
a
x
0
V0
其中：k
2V x 2
3
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振
d2x dt 2
kx
x 2 x 0
其中 k
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运
6-4-7一维线性谐振子
6-4-7 定态薛定谔方程的应用（三）线性谐振子其能量是振幅的连续函数一、经典线性谐振子在势场中运动的质量为的微观粒子2221)(x m x U m 二、量子线性谐振子xU 当时，势能谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。
221E m A 2 谐振子在运动中能量守恒定态薛定谔方程1.谐振子的能量， )21()21( h n n E n n = 0, 1, 2, (22)222()1()()22d x m x x E x m dx (1) 能量量子化经典：能量连续(2) 最低能级01E h 2经典：的态对应00 E 0p x 零点能零点能不等于零是量子效应，是微观粒子波粒二相性的表现。
不可能静止E n nh 普朗克谐振子的能量：n = 1, 2, …(3) 能级间隔均匀E h假想存在许多虚构的粒子，其每个的能量为h 这种粒子叫做量子（Quantum ）在晶体中，这种量子叫做声子phonon(4) 当n 时，符合玻尔对应原理。
能量量子化 能量连续， 0Δ nE E(1)在E <U 区，概率密度不为0——隧道效应2. 概率密度例如基态位置概率分布在x =0处最大，经典振子在x = 0处概率最小。
(3) n 小时，概率分布与经典谐振子完全不同xn 很大E n E 1E 2E 00U (x )21 2n 22 20 (2) 波函数有n 个零点，在零点处概率为零。
n 为奇数时，x =0处，概率为零。
经典：无零点。
当n 时，符合玻尔对应原理。
量子概率分布 经典概率分布，简谐振子n =11 时的概率密度分布：211 11n x虚线是经典结果(4)只有在n 较大的情况下，有与经典相似。
谐振子的定态薛定谔方程谐振子的能量量子化线性谐振子势函数2221)(x m x U 小结22222()1()()22d x m x x E x m dx ， )21()21( h n n E n ,2,1,0 n。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。
在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。
谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。
一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。
谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。
波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。
概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。
在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。
通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。
1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。
在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。
谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。
波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。
谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。
波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。
通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。
谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。
物理-经典力学和量子力学中的谐振子
致谢…………………………………………………………………………………………13
经典力学和量子力学中的谐振子
摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。
而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)
若定义 ，则方程可以写为： (1.1.4)
又因为： (1.1.5)
然后代回（1.1.4）式，得到：
对方程积分，得： (1.1.6)
其中K是积分常数，设 ，得到：
(1.1.7)
再对方程积分，结果（包括积分常数 ）为：
(1.1.8)
并有一般解为：
(1.1.9)
(2.8)
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.(2.9)
利用上面关系，我们可以证明如下等式：
(2.10)
于是引入一个厄米算符
(2.11)
即：
(2.12)
既然与 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为n的本征态为 ：
(2.13)
则
，(2.14)
表示 态的能量本征值为：
(2.15)
关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态
Abstract：Harmonic oscillator is importantin bothclassical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillationwidely existsin nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillatorsystem.In this paper, wemainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevantpropertyof one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator,anditscoherent state in quantum mechanics,finally compareharmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.
8线性谐振子
h
ξ = αx
λ=
2E hω
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
d2 ψ (ξ ) + (λ − ξ 2 )ψ (ξ ) = 0 dξ 2
（*）
此方程不能直接求解， 的渐进解， 此方程不能直接求解，可先求 ξ → ±∞的渐进解，由于 λ << ξ 2 ，则方 程退化为 d2 ψ − ξ 2ψ = 0 dξ 2 其渐进解为 验证： 验证：
一、问题提出
U 0 0 < x < a U ( x) = 0 x < 0, x > a E > U0
U ( x)
当
经典情况：当 粒子可以越过势垒； 经典情况： 时，粒子可以越过势垒； E < U0 粒子被势垒反射，不能通过。 时，粒子被势垒反射，不能通过。 量子情况： 量子情况：？
U0
x
二、方程的求解
利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项， 利用级数方法求解厄密方程，这个级数必须含有有限项，才能 有限， 为奇数， 在 ξ → ±∞ 时使 ψ (ξ )有限，而级数含有有限项的条件是 λ 为奇数，即
λ = 2n + 1
n = 0,1,2,...
2E 所以， 因为 λ = ，所以，一维线性谐振子的能级为 hω 1 E n = n + h ω n = 0,1,2,... 2
2
。
/2
H (ξ )
H (ξ ) 满足条件： 满足条件：
应有限； （1）在 ξ 有限时 H (ξ ) 应有限； H （2）当 ξ → ±∞ 时， (ξ ) 也必须保证 ψ (ξ ) → 0 。
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线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。
在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。
中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear HarmonicOscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunctionAbstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the differentproblems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.1． 引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。
本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。
设一维谐振子的质量为m,其圆频率为ω,势函数为，22()12x V m x ω=， 则其Hamilton 量[2]为1222122p H m x m ω=+ （1.1）收稿日期：2015-03-30作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学我们也可以采用自然坐标系（即1ωμ===）[3],能量单位为ω，长。
则（1）又可写作221122H p x =+ （1.2）我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件[4]ˆˆ[,]xp i =[5]，在自然坐标下又可写作ˆˆ[,]xp i = （1.3） 2． 在坐标表象中的解法写出在x 表象中的Schrodinger 方程22()22()()2122x x x d m x E m dx ψωψψ-+=（2.1）令x ξα≡≡，2Eλω≡（2.2）则（2.1）⨯2ω并带入（2.2）可得， 222()0d d ψλξψξ+-= （2.3） 由数理方法，我们先看ψ在ξ→±∞时方程的渐进行为，可以看出在ξ→±∞时， 方程（6）又可以写作222d d ψξψξ=，它的渐进解为ψ~22e ξ±。
由于波函数的物理边界条件要求ξ→±∞时，ψ有限。
则()ψξ可写作22()()eH ξψξξ-= (2.4)将它带入（2.1）式，并对ξ求二级微商可得：222(1)0d H dHH d d ξλξξ-+-= (2.5) ()H ξ为厄米多项式，（7）式为Hermite方程[6]对（7）式求解，只有当12,0,1,2n n λ-==···时， 才有能量本征值1(),0,1,22n E n n ω=+=····对应波函数22()(),0,1,2n n n N e H n ξψξξ-==··· 其中，n N 是归一化系数，可以通过正交归一化条件来确定。
正交归一化条件为：()()n n nn x x dx ψψδ+∞*''-∞=⎰（2.6）定出：12122!n n N n απ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭（2.7）3． 在动量表象中的解法在动量表象中，x ip∂=∂[7]，所以（4）在动量表象中的Schrodinger 方程为2222()()()21122p p p d p m E m dpψωψψ-=（3.1） 令p m y ω=，则上式变为22()22()()2122y y y d m y E m dy ψωψψ-+= （3.2）可以看出（9）式和（4）式的形式是相同的，解法也是相同的，所以结果也是一致的。
4． 在能量表象中的解法根据ˆˆˆ[,]ˆF x F ix ∂=∂，ˆˆˆ[,]ˆF p F i p∂=-∂[8]（4.1）对（1.1）式分别对,x p 求导，再将（4.1）式带入，有2ˆˆˆˆˆˆ()ˆH i m xHp pH xω∂==--∂（ 4.2） ˆ1ˆˆˆˆˆ()ˆH i p Hx xH pm ∂==-∂ （4.3） 分别对（4.2）和（4.3）中两式取能量表象的的矩阵元，有2ˆˆˆˆˆ()i i m xj i Hp pH j ω〈||〉=〈|--|〉 （4.4）1ˆˆˆˆˆ()i i p j i Hx xH j m〈||〉=〈|-|〉 （4.5）(4.4)和（4.5）式又可写作2ˆ()ij i j ij im xE E p ω=-- （4.6）1()ij i j ij ip E E x m=- （4.7） 消去（4.6）和（4.7）中两式的ij p ，有222()ij i j ij x E E x ω=-所以ij p 和ij x 有非零解的条件是222()i j E E ω=-和i j E E ω=-解得1(),0,1,22i E i i ω=+=···[9]5． 在占有数表象中的解法（因式分解法）由222211()[()]22H p x x ip =+=-（5.1） 通过因式分解可得111()()222H x ip x ip ixp ipx =-+-+（5.2） 或者111()()222H x ip x ip ixp ipx =+-+-（5.3）由于零点能的存在[10]，（5.3）这种排列不存在零点能，不符合物理规律，顾不考虑。
再由对应关系（1.3），式（5.2）由经典力学转变到了量子力学的邻域，变为111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()222Hx ip x ip ixp ipx =-+-+ 11ˆˆˆˆ()()22x ip x ip =-++ （5.4） 令ˆˆˆ)ax ip -=+和ˆˆˆ)a x ip +=- 并将其带入（5.4）时，有11ˆˆˆˆ22H a a N +-=+=+(5.5) 其中算符ˆN 的本征值是粒子数n ，且ˆN 为正定厄米算子[11]满足11ˆˆ(),0,1,222Hn N n n n n |〉=+|〉=+|〉=··· (5.6) 所以1(),0,1,22n E n n =+=···6． 宇称解法设()()V x V x -=，对应于任何一个能量的本征值E ，总可以找到方程（4）的一组解（且每一个解都有确定的宇称[12]），而属于能量本征值E 的任何解，都可用他们展开[13]设（2.3）式的解为22()()e ξψξψξ-'=（6.1)()ψξ'所满足的方程为22()()2(1)()0d x d x x d d ψψξλψξξ'''-+-= （6.2）又因为()()V x V x -=，所以()ψξ是有确定的宇称，而且()ψξ的奇偶性由()ψξ'决定。
设()()24()240()()2()21,0,2,4(),1,3,5n nn n n n n n n nn n n n n n n a a a a n a a a nξξξψξψξξξ------⎧++++=⎪''==⎨+++=⎪⎩ （6.3）将（6.3）式带入到（6.2）式中，要求21n λ=+解得11(),0,1,2,322E n n λωω==+=对于波函数，可以将21n λ=+带入（6.2）式，有22()()22()0d x d x n x d d ψψξψξξ'''-+= （6.4） 再将（6.3）式带入（6.4）式，有2(0)200()a eξψξ-= 2(1)211()a eξψξξ-=()2(2)2202()(21)a eξψξξ-=-+()2(3)32132()()3a eξψξξξ-=-+2(4)422404()(41)3a e ξψξξξ-=-+2(5)5225144()()153a e ξψξξξξ-=-+······其中(0)0a ，(2)0a ，(4)0a ，(1)1a ，(3)1a 和(5)1a 分别由波函数的归一化条件确定。
7． 矩阵力学的解法矩阵力学主要是有海森堡，波恩，约尔丹，泡利等人发展创立，是量子力学的基础，其主要意图是想通过可以观察的物理量如，光强，频率等，来研究微观模型中电子在原子中的轨道运动等问题[]14。
主要内容有：任何一个物理量都可以用厄米矩阵来表示；坐标矩阵和动量矩阵的对易关系；系统的正则运动方程以及物理系统光谱频率的决定关系。
由海森堡运动方程（即矩阵力学的运动方程），量子力学的泊松括号以及矩阵方程，满足2211()2x p x xp i m=-⋅-2211()2p x pxp pxp xp i m=-⋅-+- pm=（7.1）1(p Hp pH ih=--） （7.2）22211(2p m x p xpx xpx px ihω=⋅-+--）2m x ω=- (7.3)对（1.3）式取厄米共轭，有 引入，()2b x mω=+，()2b x m ω+=- 则有12Hb b ω+=+（7.4）12Hbb ω+=- （7.5）将（7.4）式左乘b 和将（7.5）右乘b ，则两式应相等，即11()()22HH b b ωω+=- （7.6） 可以得到，[]1,HbbHb H b ωωω=-=（7.7）取其矩阵元，矩阵方程，''''''b H H H ω-||H （+1）=0（7.8） 另外，当且仅当'''H H ω=+时，'''b H ||H 才恒不为零。