§3.2线性谐振子
4线性谐振子与势垒贯穿
U r r r0处U r 有极小值 0 r r0
2U r 令k r 2 r 0 1 3U r g 2 r 3 r
0
1 1 2 3 U r U r0 k r r0 g r r0 1 2 3
线性谐振子 n=10时的几率密度分布
表明： 当n很大时， 量 迅速振荡，此时其平均值和经典振子
的概率密度已经接近，说明在n很大时即能量很高时， 量子振子的行为可以用经典振子来代替。
1 n x 例：设谐振子的初态为 x,0 A n 0 2
求(a)求归一化常数A；(b) x, t ? 解：(a)
1 2
1 2
(1)、(2)式改写为：
d 2 2 k1 0, 2 dx 2 d k22 0, dx2
x 0, x a 3
0 x a 4
x 0 :1 Aeik x Aeik x
E
1 En n , n 0,1,2,9 2
1 讨论： En n , n 0,1,2, 2
1、量子力学中一维线性谐振子的能量是不连续的，即量子化的。 2、能级的间隔等距，即
U(x)
n=3
En En1 En
/2
舍去！
应有限
方程(4)的渐进解为：
e
2 / 2
设方程(4)的一般解为： e
2
2 / 2
H ( )
2
6
2
代 入
d dH d H 2 2 H 2 H e 2 2 d d d
线性谐振子
• （一）引言
l
（1）何谓谐振子
l
（2）为什么研究线性谐振子
l （二）线性谐振子
l
（1）方程的建立
l
（2）求解
l
（3）应用标准条件
l
（4）厄密多项式
l
（5）求归一化系数
l
（6）讨论
l （三）实例
1
（一）引言
（1）何谓谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
ξ2 >> ± 1
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
[ 2 1]
2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等
波函数有 限性条件：
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (a) V0
V 0 x xa
V(x)
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(x
a)2
a
x
0
V0
其中：k
2V x 2
3
xa
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振
d2x dt 2
kx
x 2 x 0
其中 k
其解为 x = Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运
简谐运动与谐振子
简谐运动与谐振子简谐运动是一种在物理学中常见的运动形式，它与谐振子有着密切的关联。
本文将从简谐运动和谐振子的定义、特点以及应用方面逐一进行介绍。
简谐运动是指质点在平衡位置附近作线性回复运动的一种运动形式。
在简谐运动中，质点沿着一条直线或者在一个平面内做往复运动，其位移与时间的关系满足以下公式：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，即质点离平衡位置的最大位移距离；ω表示角频率，表示单位时间内的振动次数；t表示时间，φ表示初相位。
简谐运动的特点有以下几个方面：1. 周期性：简谐运动的运动规律是周期性的，即在一个完整的周期内，质点的位移和速度的变化是相同的。
2. 等幅振动：在简谐运动中，振幅保持不变。
无论质点位于何处，其离平衡位置的距离都不会超过振幅。
3. 相位的变化：简谐运动中，质点的相位表示其位置的先后关系。
相位的变化可以用初相位φ来表示。
谐振子是一种能够发生谐振运动的物理系统。
谐振子可以是质点在弹簧的作用下做往复运动的单摆，也可以是由挠性物体构成的弹性体。
对于单摆而言，其谐振子的运动方程可以用如下形式表示：θ(t) = A * cos(ωt + φ)其中，θ表示摆角，A表示摆幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
谐振子的特点如下：1. 频率的确定性：谐振子的振动频率只取决于其固有属性，与振幅和初相位无关。
2. 共振：当外力频率与谐振子的固有频率相等时，谐振子将发生共振现象，此时振幅将达到最大值。
3. 动能和势能的转换：谐振子在振动过程中，其动能和势能不断相互转换，保持总能量守恒。
除了上述的基本概念和特点之外，简谐运动和谐振子在各个领域中有着广泛的应用。
在物理学中，简谐运动和谐振子的研究对于力学、电磁学和波动学等学科的发展起到了重要的作用。
在振动仪器的设计和工程实践中，对简谐运动和谐振子的研究和应用也具有重要的意义。
在生物学中，简谐运动和谐振子的理论可以用来解释生物体内部一些重要的运动现象，如心脏的跳动和声音的产生等。
线性谐振子相图研究
文献综述题目：线性谐振子相图研究姓名：学号：系别：物理与电子信息工程系专业：物理学年级：指导教师：2009年2月7 日文献综述一、前言线性谐振子是量子力学中可以精确求解的有限几个事例之一[1]，其中最简单的线性谐振子是简谐振子。
自然界中任何一个力学系统，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等。
在选择适当的坐标系之后，复杂的运动往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动（simple harmonic vibration ）。
简谐振动作为一种最简单最基本的振动，往往还是复杂运动的初步近似，是研究振动的基础。
因此研究它在理论上和应用上都有重大的意义。
其中从相空间的角度来研究振动系统的力学问题如今已经成为一个研究趋势。
因为相图里包含着完整的力学系统的全部信息，无须去解复杂的运动方程[2]。
计算机技术软硬件的飞速发展，为此研究趋势提供了现实条件。
本论文从简谐振子的基本定义出发，在Fortran 90条件下进行数值模拟并在Origin75 软件下获得简谐振子的相图。
二、主体2.1简谐振动的定义定义一： 物体只在弹性力或准弹性 （线性回复力）作用下发生的运动，即动力学方程为的运动为简谐振动[2]。
定义二： 在无外来强迫力作用下, 物体相对于平衡点的位移随时间按余弦（或正弦）规律变化即 则称物体作简谐振动式即简谐振动的表达式[3]。
—振幅；—角频率；—相位；—初相位。
位移随时间的变化曲线称为振动曲线。
广义定义：某个物理量随时间的变化是按正弦或余弦规律，则可称该物理量做简谐动，可用表示 。
自然界中任何一个力学系统中，只要某一个物理量在其稳定平衡点附近作微小振动，便可以用这种简谐振子模型来描述，例如：复摆的振动、分子的振动、晶格的振动，原子核表面振动、辐射场的振动以及电磁场振动等等。
2.2简谐振动的基本特征及动力学特征简谐振动位移随时间的变化 cos()x A t ωφ=+222d d xx o tω+=()cos()x t A t ωφ=+()cos()x t A t ωφ=+物体作简谐振动时,速度为：物体作简谐振动时，加速度为：可见物体做简谐振动时，其速度、加速度都以同样的角频率作简谐振动，相位依次超前π/2。
线性谐振子量子力学课件
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
量子力学3.3一维谐振子
E1
3 2
，
（偶宇称）
1
(
x)
2
1/ 2
1 2x2
xe 2
（奇宇称）
n
2,
2
第二激发态 E2
(x)
1/
2
(2
2
2
x2
5 ，
2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
En
(n
1 ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
En En1 En
一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
V (x) 1 kx2 1 m 2 x2
22
m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k 是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d2
dx2
2
2
[
E
V
(
x)]
0
或
d2
dx2
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
0---------- 1
1! x xa
V0
1 2
k(x
a)2
2! x2 xa
记
k
2V x2
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记 k 2 ，x'=x-a则
V x 1 2x2
2
凡是在势能为U(x) 1 kx 2 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
第三章 谐振子
第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。
解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。
求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。
[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。
解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。
线性谐振子
aaa 2.7线性谐振子一． 线性谐振子1. 定义：如果粒子在一维空间内运动的势能为ωω,2122x m 是常量，则这种体系就称为线性谐振子。
2. 重要意义：许多体系都可以近似地看做是线性谐振子。
例如双原子分子中两原子之间的势能U 是两原子之间距离x 的函数，在平衡位置x=a 处U 可以近似写成()202a x k U U -+=，k,U 0是常量。
3. 体系定态薛定谔方程 0)21(222222=-+ψωψx m E dx d m (2.7.1)4. 定态薛定谔方程的求解 令ωααωξm x x m ===, (2.7.2) ωλ E2= (2.7.3)方程(2.7.1)变为0)(222=-+ψξλξψd d (2.7.4)当±∞→ξ时，2ξλ与相比可以略去，则(2.7.4)变为ψξξψ222=d d 它的解是22ξψ±→e ，舍去正号。
所以2-2ξψe → ()()ξξψξH e 2-2= (2.7.5)2-2-ξξξξψe d dH H d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2-2222222--ξξξξξξψe d H d H d dH H d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=代入方程(2.7.4)得()01-2-22=+H d dH d H d λξξξ (2.7.6)用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数。
这个级数只能含有有限项，才能在±∞→ξ时使()ξψ为有限；而级数含有有限项的条件是λ为奇数，即,2,1,0,12=+=n n λ (2.7.7)代入(2.7.3)得 ,2,1,0),21(=+=n n E n ω (2.7.8)相邻两个能级之差为ω =-n n E E (2.7.9)基态（n=0）E 0=ω 21 (2.7.10)称为零点能。
方程(2.7.6)的解() ,2,1,0,)1(22=-=-n e d d e H n nn n ξξξξ (2.7.11)称为厄米多项式。
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§3.2 线性谐振子
重点：
谐振子模型的意义能量波函数的特征与经典情况的区别
(3.2-1)
其中是弹性系数为k的谐振子作简谐振动的角频率。
经典力学中线性谐振子的哈密顿函数为
（3.2-2）
故在量子力学中，线性谐振子的哈密顿算符为
由于U(x)与时间无关，故为定态。
线性谐振子的定态薛定谔方程为
（3.2-4）为了简化，引入无量纲的变量
（3.2-5）
（3.2-6）
（3.2-7）
则方程（3.2-4）可改写成
（3.2-8）
我们令方程（3.2-8）的一般解为
（3.2-9）所满足的方程
得到H
（3.2-10）
（3.2-11）
代入（3.2-7）中，可求得线性谐振子的能级
（3.2-12）n=0, 1, 2,…，
由此得下面结论：
（1）线性谐振子能是只能取分立值（图3.4），好能量是量子化的，
，这与普朗
（2）谐振子的能级是均匀分布的，相邻两能级间隔
克假设一致。
（3）谐振子的基态（n=0）能量为
（3.2-13）称为零点能，零点能的存在，是量子力学的一个重要结果，这是旧量子论中所没有的。
对应于不同的n或不同的。
（3.2-14）
，它可以用下列式子表示
方程（3.2-14）的解是厄密多项式
（3.2-15）脚标n表示多项式的最高次幂。
下面列出前面n项厄密多项式：
（3.2-16）由（3.2-9）式，对应能量E n的波函数是
（3.2-17a）或
（3.2-14b）
这函数称厄密函数，式中N n为归一化常数。
由归一化条件
经计算得（见附录1）（3.2-18）归一化后的前三个波函数如下：
（3.2-19）
等函数是x的偶函数，即
从上面各式容易看出，
我们称这些波函数具有偶宇称，而
我们称这些波函数具有奇宇称。
（三）与经典比较
经典和量子谐振子的能级与分布几率
上图中横坐标代表振子的位置，抛物线代有势能曲线，En是量子化的能级，虚曲线代表
波函数
，实曲线代表几率分布，由图可以看出：当n=0时，波函数。
除了
有n个节点，即有n个根。
类推，因此波函数
只在于绕平均值迅速振荡而已。
下图中实线是n=11时的几率分布，虚线代表经典谐振子位置几率分布。