8-谐振子
谐振子的能量与动量分析
谐振子的能量与动量分析谐振子是物理学中一个重要的概念，它可以用来描述许多自然界中的现象。
在本文中，我们将探讨谐振子的能量与动量分析。
首先，我们需要了解谐振子的基本概念。
谐振子是指一个系统在受到外界作用力的驱动下，产生周期性振动的现象。
在经典力学中，谐振子可以用一个简单的数学模型来描述，即简谐振动模型。
这个模型假设谐振子的振幅和周期是恒定的，并且其运动是可预测的。
谐振子的能量分析是研究谐振子在振动过程中能量的变化情况。
根据能量守恒定律，谐振子的总能量在振动过程中保持不变。
总能量可以分解为动能和势能两部分。
在谐振子的振动过程中，动能和势能之间不断转化，但它们的总和始终保持不变。
动能是谐振子振动过程中具有的能量，它与谐振子的速度有关。
当谐振子通过平衡位置时，速度最大，此时动能也最大。
而当谐振子达到最大位移时，速度为零，动能也为零。
因此，在谐振子的振动过程中，动能的变化是周期性的。
势能是谐振子在振动过程中具有的能量，它与谐振子的位移有关。
当谐振子通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
而当谐振子达到最大位移时，势能最大。
因此，在谐振子的振动过程中，势能的变化也是周期性的。
除了能量分析，我们还可以研究谐振子的动量分析。
动量是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
在谐振子的振动过程中，动量也是周期性变化的。
当谐振子通过平衡位置时，速度最大，动量也最大。
而当谐振子达到最大位移时，速度为零，动量也为零。
因此，在谐振子的振动过程中，动量的变化也是周期性的。
谐振子的能量与动量分析可以帮助我们更好地理解谐振子的振动特性。
通过对能量和动量的分析，我们可以推导出谐振子的振动频率和振幅与其物理特性的关系。
这对于研究谐振子在不同条件下的行为具有重要的意义。
总之，谐振子的能量与动量分析是研究谐振子振动特性的重要方法。
通过对能量和动量的变化规律的研究，我们可以更好地理解谐振子的振动行为。
谐振子作为一个重要的物理模型，在物理学的研究中扮演着重要的角色。
18-8势阱中的粒子 势垒 谐振子
T=
ψ3(a)
A
2
2
≈e
2a 2m(U0 E) h
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM) 扫描隧道显微镜(STM)
原理： 原理： 利用电子的隧道效应。 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云， 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减， 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品， 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感， 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定， 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品方向的变化， 样品表面情况。 样品表面情况。
Ψ ( x)
2
0
a
一维无限深势阱
设想一电子在无限深势阱， 例题 18-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别 为1.0×10-2m和10-10m 。试讨论这两中情况下 × 和 相邻能级的能量差。 相邻能级的能量差。 解： 根据势阱中的能量公式 得到两相邻能级的能量差
E=
π2h2 2m 2 a
一维无限深势阱
相邻两个最大值之间的距离
x =
如果阱宽a不变， 如果阱宽 不变，当 不变
a n
n →∞
x →0
时
这时最大值连成一片，峰状结构消失， 这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。 成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
2.一维势垒 2.一维势垒
一维方势阱如图
E = 8×9.11×1031kg×(102 m)2 n = 6.04×1034 × n2J = 3.37×10
简谐运动与谐振子
简谐运动与谐振子简谐运动是一种在物理学中常见的运动形式，它与谐振子有着密切的关联。
本文将从简谐运动和谐振子的定义、特点以及应用方面逐一进行介绍。
简谐运动是指质点在平衡位置附近作线性回复运动的一种运动形式。
在简谐运动中，质点沿着一条直线或者在一个平面内做往复运动，其位移与时间的关系满足以下公式：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，A表示振幅，即质点离平衡位置的最大位移距离；ω表示角频率，表示单位时间内的振动次数；t表示时间，φ表示初相位。
简谐运动的特点有以下几个方面：1. 周期性：简谐运动的运动规律是周期性的，即在一个完整的周期内，质点的位移和速度的变化是相同的。
2. 等幅振动：在简谐运动中，振幅保持不变。
无论质点位于何处，其离平衡位置的距离都不会超过振幅。
3. 相位的变化：简谐运动中，质点的相位表示其位置的先后关系。
相位的变化可以用初相位φ来表示。
谐振子是一种能够发生谐振运动的物理系统。
谐振子可以是质点在弹簧的作用下做往复运动的单摆，也可以是由挠性物体构成的弹性体。
对于单摆而言，其谐振子的运动方程可以用如下形式表示：θ(t) = A * cos(ωt + φ)其中，θ表示摆角，A表示摆幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
谐振子的特点如下：1. 频率的确定性：谐振子的振动频率只取决于其固有属性，与振幅和初相位无关。
2. 共振：当外力频率与谐振子的固有频率相等时，谐振子将发生共振现象，此时振幅将达到最大值。
3. 动能和势能的转换：谐振子在振动过程中，其动能和势能不断相互转换，保持总能量守恒。
除了上述的基本概念和特点之外，简谐运动和谐振子在各个领域中有着广泛的应用。
在物理学中，简谐运动和谐振子的研究对于力学、电磁学和波动学等学科的发展起到了重要的作用。
在振动仪器的设计和工程实践中，对简谐运动和谐振子的研究和应用也具有重要的意义。
在生物学中，简谐运动和谐振子的理论可以用来解释生物体内部一些重要的运动现象，如心脏的跳动和声音的产生等。
谐振子
m
0
∆
静平衡位置
kθ
I
θ
k
x
m&&+ kx = 0 x
ω0 = k / m
& Iθ& + kθθ = 0
ω0 = kθ / I
19
机械与运载工程学院
例：复摆
a 刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
20
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m h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
14
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解：
m
取平衡位置 ： 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形 ∆
l/2
3
h
∆
0
l/2
静平衡位置
x
mgl 由材料力学 ： ∆ = 48EJ
g 自由振动频率为 ： ω0 = ∆
48EJ = ml 3
15
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弹簧原长位置
m
0
∆
静平衡位置
kθ
I
θ
k
x
m&&+ kx = 0 x
ω0 = k / m
& Iθ& + kθθ = 0
ω0 = kθ / I
18
机械与运载工程学院
从前面两种形式的振动看到， 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件 两种基本元件， 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量， 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
谐振子态波函数小时百科
谐振子态波函数小时百科谐振子是物理学中一种重要的模型，它在量子力学和经典力学中都有广泛的应用。
谐振子的态波函数是描述谐振子的量子态的数学表达式，它具有一定的特征和性质。
本文将围绕谐振子态波函数展开，介绍其定义、性质以及在物理学中的应用。
我们来了解一下谐振子的定义。
谐振子是指在一个势能函数为二次函数的系统中，系统在平衡位置附近发生小幅度振动的现象。
在经典力学中，谐振子的运动可以由胡克定律描述，即力与位移成正比。
而在量子力学中，谐振子的运动则由谐振子的哈密顿算符描述。
接下来，我们来介绍一下谐振子的态波函数。
在量子力学中，谐振子的态波函数是描述谐振子的量子态的波函数。
谐振子的态波函数可以用数学表达式表示，常用的形式是高斯函数或者赫尔米特多项式。
谐振子态波函数的形式由解谐振子的定态薛定谔方程得到。
对于一维谐振子来说，其定态薛定谔方程可以写成：$$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + \frac{m\omega}{\hbar}(x^2 - \frac{\hbar}{2m\omega})\psi(x) = 0$$其中，$\psi(x)$表示谐振子的态波函数，$m$表示谐振子的质量，$\omega$表示谐振子的角频率，$\hbar$表示约化普朗克常数。
解这个方程可以得到谐振子的态波函数的具体形式。
谐振子的态波函数具有一些特征和性质。
首先，谐振子的态波函数是归一化的，即在全空间积分后等于1。
这是由于量子力学中的波函数必须满足归一化条件。
谐振子的态波函数具有能量量子化的特性。
根据谐振子的能量本征值问题，可以得到谐振子的能量是离散的，即只能取特定的能量值。
这意味着谐振子的态波函数也具有对应的能量本征态。
谐振子的态波函数还具有空间分布的特性。
谐振子的态波函数在空间上呈现出一定的分布形态，通常是呈现高斯分布的形式。
谐振子的态波函数在平衡位置附近具有最大的概率密度，随着位置的偏离，概率密度逐渐减小。
谐振子的态波函数在物理学中具有广泛的应用。
物理-经典力学和量子力学中的谐振子
致谢…………………………………………………………………………………………13
经典力学和量子力学中的谐振子
摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。
而且加速度a等于x的二次微分导数，得： (1.1.3)
若定义 ，则方程可以写为： (1.1.4)
又因为： (1.1.5)
然后代回（1.1.4）式，得到：
对方程积分，得： (1.1.6)
其中K是积分常数，设 ，得到：
(1.1.7)
再对方程积分，结果（包括积分常数 ）为：
(1.1.8)
并有一般解为：
(1.1.9)
(2.8)
x与p算符遵守下面的等式，称之为正则对易关系：
.(2.9)
利用上面关系，我们可以证明如下等式：
(2.10)
于是引入一个厄米算符
(2.11)
即：
(2.12)
既然与 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为n的本征态为 ：
(2.13)
则
，(2.14)
表示 态的能量本征值为：
(2.15)
关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态
Abstract：Harmonic oscillator is importantin bothclassical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillationwidely existsin nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillatorsystem.In this paper, wemainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevantpropertyof one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator,anditscoherent state in quantum mechanics,finally compareharmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics.
量子力学中的谐振子模型
量子力学中的谐振子模型谐振子是最简单的物理模型之一，它是许多物理学和工程学研究中的基础。
谐振子模型最初是由赫兹在19世纪初研究弹簧振动得到的。
在量子力学中，谐振子模型被广泛应用于描述原子、分子、晶格等系统的振动。
谐振子模型的基本特征谐振子模型是一个标准量子力学问题，它最初是由薛定谔在1926年提出的。
谐振子模型由一个质量为m的粒子在一个势场V(x)中振动组成。
当此势场是一个二次曲线时，粒子的行为就是谐振子。
这个势场可以用下面的公式来描述：V(x) = 1/2mω²x²这里ω是一个频率，它是振动的夹角频率。
谐振子模型的哈密顿量通过薛定谔方程，我们能够得到谐振子模型的哈密顿量。
这个哈密顿量可以去掉第一项(x)来表示为：H = 1/2(p²/m + ω²x²)这里p是粒子的动量。
哈密顿量包含两个部分：动能和势能。
前者与粒子的速度有关，后者与粒子的位置有关。
我们发现，当位置x 和动量p 等于零时，哈密顿量 H 的值从 0 开始逐渐增加。
谐振子模型的能态由于谐振子的势能是是二次函数的形式，其能级也是均匀分布的。
谐振子模型的能态有无限多个，它们对应于独立的能子态和能量。
各个能级之间的能量差为ℏω，其中ℏ是普朗克常数。
任意谐振子可以写成费米函数形式的线性组合。
费米（Fermi）函数是一组由意大利物理学家费米创立的函数，用于描述费米子体系的基态和激发态。
经典谐振子模型与量子谐振子模型经典谐振子模型与量子谐振子模型是存在区别的，量子谐振子模型存在量子化现象。
经典谐振子的振幅可以是任意值，但量子谐振子仅对于特定离散位置有非零振幅。
在这些位置上，它的“位置波函数”保持相干，因此与经典谐振子的振幅一致。
单谐振子和多谐振子单谐振子和多谐振子是量子谐振子模型的两种形式。
单谐振子模型是指只有一个谐振子的系统，多谐振子模型是指由多个谐振子组成的系统。
在单谐振子模型中，哈密顿量可以表示为：H = ℏω( a† a + 1/2)这里a和a†分别是降算符和升算符，它们是谐振子模型的基础运算符。
谐振子运动方程
谐振子运动方程谐振子是物理学中一个重要的模型，用于描述有固定平衡位置的物体在受到力的作用下的振动。
谐振子在很多领域都有应用，比如机械振动、电路振荡以及量子力学等。
通过对谐振子的研究，可以深入理解振动的特性和规律。
谐振子的运动方程是描述谐振子振动的基本方程。
在经典力学中，一个简单的谐振子由质点和弹簧组成，并且假设没有外力作用。
谐振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导出来。
我们假设一个质量为m的质点沿着一条直线上运动，它与原点处的一个弹簧相连接。
弹簧的劲度系数为k，原点是谐振子的平衡位置。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加一个与质点位移成正比的力。
根据胡克定律，弹簧对质点的作用力可以表示为F = -kx，其中F是作用在质点上的力，x是质点的位移。
根据牛顿第二定律，当质点受到的合力不为零时，它将加速度。
因此，我们可以得到方程m*a = -k*x，其中a是质点的加速度。
由于加速度是位移的二阶导数，我们可以将运动方程改写为二阶微分方程m*x'' = -k*x。
这是一个关于位移x的二阶常微分方程，解此方程即可得到谐振子的运动方程。
我们假设解的形式为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位常数。
将上述解代入运动方程中，我们可以得到ω的表达式。
由于二阶导数为负号，我们可以得到方程-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) = -k*A*cos(ωt + φ)。
两边化简后得到-m*ω^2 = -k，即ω =sqrt(k/m)。
从上述解中可以看出，谐振子的振动是一种简谐运动，即振幅不变、频率恒定的振动。
在运动过程中，质点在平衡位置附近往复振动，通过正弦函数描述运动曲线。
谐振子在物理学中有很多应用。
在机械振动中，谐振子可以用来模拟弹簧振子、摆锤等物体的振动。
在电路中，电感和电容组成的电路也可以看作谐振子。
此外，在量子力学中，谐振子是描述原子和分子的振动性质的重要模型。
总结起来，谐振子的运动方程是一个关于位移x的二阶微分方程。
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n=2 n=1 n=0 3
对于基态，其概率密度是： ρ0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = N02 exp[-ξ2] 分析上式可知：一方面表明在 ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|ξ|≧1处，即在 阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。
（7）. 概率分布
分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节 点，在节点处找到粒子的概率为零。而经典力学的谐振 子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。
在经典力学中，当质量为 m 的粒子，受弹性力F = - kx作用， 由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x m 2 kx dt
其解为 x =
x x 0
2
其中
k m
Asin(ω t + δ)。这种运动称为简谐振动。
因为
所以
F
V
dV dx
1 1 2 2 2 kxdx kx m x 2 2
l
例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的 函数，如图所示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。 在 x = a 附近势可以展开成泰勒级数：
1 2V ( x a) 2! x 2 x a
0
xa
1 V V ( x ) V (a ) 1! x
V (a) V0 V x
所以
波函数有 限性条件：
c1e
2 / 2
c2e
2 /2
当ξ→±∞ 时， 应有 c2 = 0，
因整个波函数尚未归一 化，所以c1可以令其等 于1。最后渐近波函数为：
e
2 / 2
d 2 2 为了使方程 [ ] ( x) 0的波函数 2 d 在无穷远处有 e
2 Nn
2 n Nn
2 n 1 N n
则谐振子 波函数为：
继续分步积分到底
于是归一化系数
2 n n N n
2 2n N n
[ H n ( )][
d d
e
2
2
]d
]d
[ H n ( )][
n
e
[ dd n H n ( )]e d
令： x
其中
m ，
则方程可改写为：
d 2 2 [ ] ( x ) 0 2 d
其中
2E
此式是一变系数 二阶常微分方程
（2).求解方程
d 2 [ ] ( x) 0 2 d
2
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
（4）厄密多项式
附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
2 n N n exp[ 1 ]H n ( ) 2
归一化系数
H 2H ( 1) H 0
λ = 2n+1
H n 2H n 2nH n 0
1
n ndx
2 Nn
( 1) n
2 Nn
2 Nn e H n ( ) H n ( )dx
2
H n ( ) dd n e d
n 2
( 1) n
H n ( ) dd [ dd n1 e ]d
n1 2
只含偶次幂项
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven ) exp[-ξ2/2]
V(x)
a
0
V0
x
(1).线性谐振子薛定谔方程
线性谐振子的 Hamilton量：
则 Schrodinger 方程可写为 ：
2 ˆ p 1 ˆ H m 2 x 2 2m 2 2 d 2 1 2 2 m x 2 2m dx 2
2 d 2 1 d 2 2m 1 2 2 2 2 m x ( x ) E ( x ) 或： [ E m x ] ( x) 0 2 2 2 2 2 2m dx dx 为简单计， 引入无量纲变量ξ代替x，
( x a )2
x a
V(x) a x 0
V0
1 2V V0 2! x 2
( x a )2
x a
V0
1 k ( x a )2 2
•
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为标准谐振 子势的形式：
1 V ( x ) kx 2 2
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动 来近似描述。
n 1 ( x )
n1 2 n 2
n1 ( x )
dx
( x ) ( 2n 1) n ( x ) ( n 1)(n 2) n 2 ( x )
（5）求归一化系数
(I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=α dx； (II)应用Hn(ξ)的封闭形式。
只含奇次幂项
（3）应用标准条件
单值性和连续性二条件自然满足， 只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。
因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。
(I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限
2n 1 bn 2 bn 0 代入递推关系)得： ( n 1)( n 2) 因为 bn 0, 所以有：
2n 1 0
因为
2E 于是最后得：
E (n 1 2 )
E1 2
n 0,1,2,
结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取 分立值。
(分步积分)
该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。
( 1)
2 n Nn
H n ( )[
d n1 d n1 d d
e
2
]
d n1 d n1
d n1 d n1
2
( 1)
(1) (1)
( 1)
2 n! e
n 2
d
n ( x) n 2 n!
其中：
e
x / 2
2 2
H n (所以
Nn
(6). 波函数
n ( x)
2 n!
n
e
2 x 2 / 2
H n (x)
E2 E1 E0 -3 -2 -1 0 1 2
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性 为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 k bk (k 1)(k 2)
k
2 2 k
e xp[ 2] 1
1!
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k2
( 1)!
应 用 实 例
例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2
下面给出前几个厄密 多项式具体表达式： 1 x n ( x ) H0=1 2 1 H2=4ξ2-2 x n ( x ) 2 2 4 2 H4 = 16ξ -48ξ +12 d H1=2ξ n ( x) dx H3=8ξ3-12ξ 2 2 H5=32ξ5-160ξ3+120ξ d 2 n ( x ) 2
n d H n ( ) ( 1)n e xp[ 2 ] n e xp[ 2 ] d
Hn(ξ) 也可写成封闭形式：
由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：
dHn 2nH n 1 ( ) d H n 1 2H n 2nH n 1 0
令 H
k k 2
k0
则：
用 k 代替 k’
bk 2 ( k 1)(k 2) k
bk 2 (k 1)(k 2) k
k 0
则方程
H 2H ( 1) H 0
变成：
k
[bk 2 ( k 1)( k 2) bk 2k bk ( 1)] k 0
a. 渐近解
d 2 2 0 2 d
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]，
d d 2 / 2 2 / 2 e e d d
ξ2 >> ± 1
d d 2 d 2 2 [ 1 ] [ ] 2 d d d
考察幂级数exp[ξ2}的 展开式的收敛性
相继两项之比：
k2
(k 2 1)!
k
(k )! 1 2 k 2 2 k 2 2 k k ( 2 1)! ( 2 1)