第四章 谐振子
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
谐振子的能级特性与对称性分析
谐振子的能级特性与对称性分析陈绍敏（湖北大学物理学与电子技术学院 2002级物理学）引 言在经典力学中，谐振子是被约束在一根轴线上运动的粒子，作用在它上的是恢复力，它与粒子的位移成正比，它的解是众所周知的，它的运动是一种正弦运动，它在原点附近振荡，相应的量子力学问题是质量为μ，角频率为ω的一维粒子具有哈密顿量)(212222q P H ωμμ+=的问题，位置变量q 和动量p 由对易关系i p q =],[联系本文将研究质量为μ的k 维粒子上有哈密顿量∑=+=ki i i q p H 12222)(21ωμμ的问题，特别是将用群论观点来研究谐振子的能级简并度特性与对称性分析。
§1 二维各向同性谐振子的态函数及能级特性（1）采用平面极坐标，二维谐振子势能2221)(ρμωρ=V（1）Schrödinger 方程为ψ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂-E 22222221112ρμωϕρρρρρμ （E>0） （2） 令 )(),(ρϕρϕR e im =ψ（3）采用自然单位1===ωμ ，自然单位中各特征量如下 谐振子势中的特征量则径向方程表示为0)()2(122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+ρρρρρρR E m d d d d （E>0） （4）0→ρ时变为0)(12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ρρρρρR m d d d d （可参看径向方程的解在奇点0=r 邻域的行为） 令s R ρ∝，代入上式，得022=-m s所以 ||s m =±可以证明，0→ρ时渐进行为||m R -∝ρ的解是物理上不能接受的，予以抛弃，故||)(m R ρρ∝ )0(→ρ当∞→ρ，得0)(222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρρρR d d 所以[]2/exp )(2ρρ±∝R ，而满足束缚态边界条件的解只能取2()exp 2R ρρ⎡⎤∝-⎣⎦，所以 ||2()exp 2()m R u ρρρρ⎡⎤=-⎣⎦代入（11）式，得()0]1||22[21||222=+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++u m E d du m d u d ρρρρ （5） 再令 2ρξ=（6） 得 ()0221||1||22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++u E m d du m d u d ξξξξ（7）上式是合流超几何方程，它在0=ξ邻域的解析解表为),,(ξγαF ，相应参数为 221||E m -+=α1||+=m γ（8）束缚态边界条件要求,221||ραn Em -=-+=,2,1,0=ρn所以二维各向同性谐振子的能量本征值为)1||2(++=m n E ρ（自然单位）或 ,2,1,0||2),1(=+=+=m n n n E n ρ （9）未归一化的波函数为),1||,(),(2||ρρϕρψρϕρ+-∝m n F e m im m n（10）不难求出能级n E 的简并度为,3,2,1)1(=+=n f n（11）（2）二维各向同性谐振子还可以分解成二个彼此独立的一维谐振子，采用直角坐标，因各向同性，其振子强度0ωωω==y x ，故()222021y x V +=μω 相应的能量 002121ωω ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x n n n n E yx0)1(ω +=n E n y x n n n +=,2,1,0,,=n n n y x对于给定n ，有n n x ,2,1,0=相应的 0,2,1, --=n n n n y所以有)1(+n 个量子态y x n n ψ，能级n E 的简并度为)1(+=n f n 2,1,0=n与（11）式同关于能级简并度与对称性的关系，前人指出过，系统出现简并，往往意味着与Hamilton 量的对称性相联系。
4线性谐振子与势垒贯穿
U r r r0处U r 有极小值 0 r r0
2U r 令k r 2 r 0 1 3U r g 2 r 3 r
0
1 1 2 3 U r U r0 k r r0 g r r0 1 2 3
线性谐振子 n=10时的几率密度分布
表明： 当n很大时， 量 迅速振荡，此时其平均值和经典振子
的概率密度已经接近，说明在n很大时即能量很高时， 量子振子的行为可以用经典振子来代替。
1 n x 例：设谐振子的初态为 x,0 A n 0 2
求(a)求归一化常数A；(b) x, t ? 解：(a)
1 2
1 2
(1)、(2)式改写为：
d 2 2 k1 0, 2 dx 2 d k22 0, dx2
x 0, x a 3
0 x a 4
x 0 :1 Aeik x Aeik x
E
1 En n , n 0,1,2,9 2
1 讨论： En n , n 0,1,2, 2
1、量子力学中一维线性谐振子的能量是不连续的，即量子化的。 2、能级的间隔等距，即
U(x)
n=3
En En1 En
/2
舍去！
应有限
方程(4)的渐进解为：
e
2 / 2
设方程(4)的一般解为： e
2
2 / 2
H ( )
2
6
2
代 入
d dH d H 2 2 H 2 H e 2 2 d d d
谐振子
O
2) 由： A
02
2 0
和已知条件：
2
0
x0
b
x0
mg k
0.05
m
b
O' 0
x0
可得：A 0.07 m
x
3)
由
tg 0
0 0
1
和初速度为负值，可知：0 4
4) (t) Acos(t ) 0.07cos(4t 4) (m)
5) E 1 kA2 0.039 (J) 6) 做图略
x0
和速度
0，由：
x0
Acos Asin
0
联立可得：
A
x02
2 0
2
tg1( 0 ) x0
简谐运动实例：
( 1 ) 单摆
准弹性力：
l
1. 细线质量不计 约
ft mg
定 2. <5 以保证sin 由牛顿定律：
m
ft
3. 阻力忽略不计
ft
பைடு நூலகம்
mg
mat
m
l
ml
d2
dt 2
mg
d2g 0
dt2 l
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由 f ma m d2 x dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d 2x dt2
§4.2 谐振子(动力学部分) (Harmonic Oscillator)
第4：量子力学应用谐振子,势垒贯穿
d2 ∞ ψ −ξ 2 ∞ = 0 ψ 2 dξ
其解为： exp[± /2]， 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
dψ∞ d ±ξ 2 / 2 验证： e 验证： = dξ dξ
= ±ξe
±ξ 2 / 2
= ±ξψ∞
dψ∞ = ±ξψ∞ dξ
d2 ∞ d ψ [±ξψ∞ ] = 2 dξ dξ
dψ∞ = ± ∞ ±ξ ψ dξ
ξ2 >> ± 1
= [ξ 2 ± 1] ∞ ≈ ξ 2ψ∞ ψ
所以： exp[± /2]， 所以：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件当ξ→± 波函数有限性条件当ξ→±∞ 时，ψ＝0 ξ→
ψ∞ = e
−ξ 2 / 2
d 2ψ ψ ψ 为了使方程 2 +[λ −ξ 2 ] ( x) = 0 的波函数 dξ 在无穷远处有 ∞ = e ψ
则 Schrödinger Schr dinger 方程可写为 ：
h2 d 2 1 2 2 + [E − mω x ] ( x) = 0 ψ 2 2 2m dx
d2 2m 1 2 2 ψ 或： 2 + 2 [E − mω x ] ( x) = 0 h 2 dx
ψ(ξ ) = u(ξ )e
−ξ 2 / 2
式中 u = ∑ akξ k
k=0
为此考察相邻两项之比： 为此考察相邻两项之比：
2k + 1− λ 2 ak+2ξ k+2 ξ = k akξ (k + 1)(k + 2)
k→∞
→
2 2 ξ k
考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性 考察幂级数exp[ξ
谐振子
h S s( s 1) 2
自旋在外场方向的投影 h 对电子s=1/2 Sz ms 2 ms为自旋磁量子数, ms=±1/2 (5) 电子的分布概率及电子 云 由氢原子定态薛定谔方程， 可求得氢原子波函数为
ml = 0, ±1, ±2, …±l
h Lz ml 2
ml为轨道角动量磁量子数, ( r , , ) R ( r ) ( ) ( ) nlm nl lm m 简称磁量子数 其概率密度 ||2 给出在空间 各处,电子出现的概率.
nlm ( r , , ) Rnl ( r ) lm ( ) m ( )
4 - r/r1 R( r ) 3 e r1 r1为玻尔半径. 电子在径向r—r+dr中出 现的概率正比于 p(r)dr=R2r2dr
当r=r1时,径向概率最大. 电子在r1及附近都有出现 概率,因此形象地称为电子 云.
六.量子力学对氢原子的处理
2. 主要结果
1. 处理方法
(1) 假定原子核是静止的, 氢原子的状态由核外电子 的运动状态来决定; (2) 用波函数描述处于原 子势场中的电子; (3) 写出波函数满足的薛 定谔方程,在球坐标系中 求解; (4) 得出结果(波函数、能 量、角动量、概率密度等）
当r=r1时,径向概率最大. 电子在r1及附近都有出现 概率,因此形象地称为电子 云.
1/ 2
r1
r
七. 多电子原子 多电子原子的状态由各电子 的状态(电子组态)决定.
确定电子组态有以下规律: 1. 每个单电子仍用四个量 子数(n, l, ml , ms)来描述.
1/ 2
其概率密度 ||2 给出在空间 各处,电子出现的概率.
把波函数对角度(,)积分, 可得波函数的径向分布R(r) 如基态径向波函数为
结构化学第四章习题-分子结构测定
1、填空题1、双原子分子刚性转子模型主要内容：原子核体积是可以忽略不计的质点；分子的核间距不变；分子不受外力作用。
2、谐振子模型下，双原子分子转动光谱选律为：极性分子，3、谐振子模型下，双原子分子振动光谱选律为：极性分子，谱线波数为：。
4、刚性转子模型下，转动能级公式为。
5、谐振子模型下的双原子分子能量公式为，其中特征频率为6、分子H2，N2，HCl，CH4，CH3Cl，NH3中不显示纯转动光谱的有：H2，N2，不显示红外吸收光谱的分子有： H2，N2，CH4。
二、选择题1、已知一个双原子分子的转动常数B(波数单位)，纯转动光谱中第二条谱线的波长为（ D ）？（A）B/4（B）B/2（C）1/6B（D）1/4B解：2、HCl分子的正则振动方式共有（ B ）种？线性3N-5 非线性3N-6（A）0（B）1（C）2（D）3CO2分子的正则振动方式共有（ D ）种?（A）1（B）2（C）3（D）4HCN分子的正则振动方式共有（ D ）种?（A）1（B）2（C）3（D）4对H2O而言，其平动、转动、振动自由度分别为（ A ）（A）3，3，3（B）3，2，4（C）3，2，3（D）1，2，33、已知一双原子分子转动光谱的第四条谱线在80cm-1，则第九条谱线位置为（ D ）？（A）120cm-1（B）140cm-1（C）160cm-1（D）180cm-14、运用刚性转子模型处理异核双原子分子纯转动光谱，一般需知几条谱线位置（J），可计算其核间距（ B ）（A）5 （B）2 （C）3 （D）45、红外光谱(IR)由分子内部何种能量跃迁引起（ D ）（A）转动（B）电子-振动（C）振动（D）振动-转动6、H2和D2的零点能比值为：（ B ）（A）1 （B）（C）（D）不确定四、计算题1、已知HCl的纯转动光谱每二谱线间的间隔为20.8cm-1，试求其键长。
解：2、已知1H79Br在远红外区给出了间隔为16.94cm-1的一系列谱带，计算HBr的平衡核间距。
谐振子运动方程
谐振子运动方程谐振子是物理学中一个重要的模型，用于描述有固定平衡位置的物体在受到力的作用下的振动。
谐振子在很多领域都有应用，比如机械振动、电路振荡以及量子力学等。
通过对谐振子的研究，可以深入理解振动的特性和规律。
谐振子的运动方程是描述谐振子振动的基本方程。
在经典力学中，一个简单的谐振子由质点和弹簧组成，并且假设没有外力作用。
谐振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导出来。
我们假设一个质量为m的质点沿着一条直线上运动，它与原点处的一个弹簧相连接。
弹簧的劲度系数为k，原点是谐振子的平衡位置。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加一个与质点位移成正比的力。
根据胡克定律，弹簧对质点的作用力可以表示为F = -kx，其中F是作用在质点上的力，x是质点的位移。
根据牛顿第二定律，当质点受到的合力不为零时，它将加速度。
因此，我们可以得到方程m*a = -k*x，其中a是质点的加速度。
由于加速度是位移的二阶导数，我们可以将运动方程改写为二阶微分方程m*x'' = -k*x。
这是一个关于位移x的二阶常微分方程，解此方程即可得到谐振子的运动方程。
我们假设解的形式为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位常数。
将上述解代入运动方程中，我们可以得到ω的表达式。
由于二阶导数为负号，我们可以得到方程-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) = -k*A*cos(ωt + φ)。
两边化简后得到-m*ω^2 = -k，即ω =sqrt(k/m)。
从上述解中可以看出，谐振子的振动是一种简谐运动，即振幅不变、频率恒定的振动。
在运动过程中，质点在平衡位置附近往复振动，通过正弦函数描述运动曲线。
谐振子在物理学中有很多应用。
在机械振动中，谐振子可以用来模拟弹簧振子、摆锤等物体的振动。
在电路中，电感和电容组成的电路也可以看作谐振子。
此外，在量子力学中，谐振子是描述原子和分子的振动性质的重要模型。
总结起来，谐振子的运动方程是一个关于位移x的二阶微分方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2 一维谐振子
量子力学处理。其哈密顿算符是
d d 2 2 2 H T V V 2 v m x 2 2 2m dx 2m dx 2 d 2 4 2v 2 m 2 2 2 d 2 2 2 ( 2 x ) ( 2 a x ) 2 2m dx 2m dx 2vm a (4.33)
(4.2)
4.1 微分方程的幂级数解
y D sin(cx e)
(4.3)
两和的正弦公式
sin(x y) sin x cos y cos x sin y
用幂级数法解（4.1），假设解可在 x 0附近用台劳 级数展开，即
y( x) an x n a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
a1 的值无限制，它们是任意的常数，可令
(4.17)
代入到（4.16），求得系数 c2 A c4 A c6 A a0 A, a2 , a4 , a6 , 1 2 4 3 2 1 6! 2k c A k a2 k (1) , k 0,1,2,3, (4.18) (2k )!
n 0
(4.41)
和（4.13）式一样，使
x
n
的系数为零，有
cn 2
(a 2an 2m E 2 ) cn (n 1)(n 2)
(4.42)
这是所要求的两项和的递推关系式。
4.2 一维谐振子
（4.42）与（4.16）的形式一样，因此，知 cn 可计 算 cn 2；所以有两个任意的常数：c 0 和 c1 。若 令 c1 0 ，则将有只含 x 的偶次幂的幂级数乘以指数因 子的解：
(4.15)
c2 an 2 an (4.16) (n 1)(n 2) 像（4.16）这样的等式叫做递推关系式。运用该式，若知 a0的值，可求 a2 , a4 , a6 , 。若知 a1 ，可求 a3 , a5 , a7 , 。
4.1 微分方程的幂级数
因为对一 a0 和
a0 A, a1 Bc
4.1 微分方程的幂级数
j b x j 0 j 0
(4.14)
在（4.14）中假设 x 0，则表明 b0 0。取（4.14） 对 x的一阶导数，然后使x 0 ，则表明b1 0。取 n阶导 数，并使 x 0，则 bn 0 。于是由（4.13），有
(n 2)(n 1)an 2 c 2 an 0
y A cos(cx) B sin(cx)
(4.21)
4.2 一维谐振子
经典力学的处理。有一质点为 此力正比于离开原点的位移： 的粒子被一力引向原点， m
Fx kx
Fx 是作用于粒子的
(4.22)
x 分量。
(4.23)
由牛顿第二定律给出，
d2x kx m 2 dt
t
是时间。
4.2 一维谐振子
4.2 一维谐振子
为解（4.34）我们需要一个代换，即
e
ax 2 2
f ( x)
(Hale Waihona Puke .35) ax 2 2 ' e
ax 2 2
(ax) f ( x) e
f ' ( x) (4.36)
' ' e
ax 2 2
[ f ' ' ( x) 2axf ' ( x) af ( x) a 2 x 2 f ( x)]
eax
2
2
f ( x) e ax
2
2
n 0, 2, 4
n ax c x e n
2
2
l 0
2l c x 2l
(4.43)
若 c0 0,则将有只含 子的解 ，
x
的奇次幂的幂级数乘以指数因
e
ax 2 2
n 1, 3,
c x
n
n
e
ax 2 2
2
2
2
2
(4.32)
4.2 一维谐振子
在乘以 2m 后，薛定谔方程 H E 为，
2
H E H E 0 2 d 2 ( 2 a 2 x 2 ) E 0 2m dx 2m 2 d 2 2m 2 2 2 ( )( 2 a x ) 2 E 0 2m dx d 2 2 (2m E 2 a 2 x 2 ) 0 (4.34) dx
l 0
c
2l 1
x
2l 1
(4.44)
4.2 一维谐振子
由薛定谔方程的通解，
y c1 y1 c2 y2
可得，
(2.5)
Aeax
2
2
l 0
2l 1 ax c x Be 2l 1
2
2
2l c x 2l l 0
(4.45)
现在看是否有什么波函数的边界条件导致解的任何限制。 为了看这两个无穷级数在 大时的表现，我们需要检查每个 级数的相继系数之比。
将（4.35）和（4.36）代入（4.34）中，得
f ' ' ( x) 2axf ' ( x) (2mE a) f ( x) 0
2
(4.37)
4.2 一维谐振子
现在对 f ( x )试以级数解，
f ( x ) cn x n
n 0
(4.38) (4.39)
f ' ( x) ncn x n 1 ncn x n 1
x
4.2 一维谐振子
在第二个级数中， 和 x 令（4.42）式中的 n 2l ，
2l 2
x
2l
的系数之比，我们可
cn 2
(a 2an 2m E 2 ) cn (n 1)(n 2) a 4al 2m E (2l 1)(2l 2)
2
(4.42)
第四章 谐振子
4.1 微分方程的幂级数解
y' ' ( x) c 2 y( x) 0
d 2 2m E 0 dx2 2
2
(4.1)
(2.10)
辅助方程
s c 0 s ic
2
当辅助方程的根是纯虚数时，得到的三角函数形式的解：
y A cos(cx) B sin(cx)
n ( n 2 )( n 1 ) c x 2 a nc x ( 2 mE a ) c x n n 0 n2 n n 2 n 0 n 0 n 0
[(n 2)(n 1)cn 2 2ancn (2mE 2 a)cn ]x n 0
4.2 一维谐振子
现在考虑对于函数
e
ax 2
的幂级数展开。运用
n z ez 1 z z2 n 0 n!
(4.48) (4.49)
e
ax 2
l 2l l 1 2 l 2 a x a x 2 1 ax l! (l 1)!
将（4.4）和（4.6）代入（4.1），得，
n(n 1)a
n2
n
x
n2
c an x 0
2 n n 0
(4.7)
合并（4.7）中的两个和，
j j j b x c x ( b c ) x j j j j j 0 j 0 j 0
(4.8)
(4.3)
4.2 一维谐振子
于是（4.23）的解为，
k 1 x A sin[( ) 2 t b] m k k k 2 w w , w 2v 2v m m m x A sin(2vt b) (4.24)
振动频率
v 是， 1 1 k 2 v ( ) 2 m
( 4.28)
4.2 一维谐振子
选
c 0 ，于是势能
v为
(4.29 )
1 2 V kx 2 2 v 2 mx 2 2 动能 T 是
1 dx 2 T m( ) 2 dt
(4.30)
4.2 一维谐振子
总能是，
1 dx 2 E T V m( ) 2 2v 2 m x2 2 dt dx d [ A sin(2vt b) x A sin(2vt b) 2 Av cos(2vt b) dt dt dx 2 ( ) 4 A2 2v 2 cos2 (2vt b) dt 1 E T V m 4 A2 2v 2 cos2 (2vt b) 2 2v 2 m A2 sin 2 (2vt b) 2 2 2v 2 m A2 [cos2 (2vt b) sin 2 (2vt b)] 2 2v 2 m A2 1 2 E T V kA 2 2v 2 m A2 2 (4.31)
n 0
n 0 , 2 , 4
an x n
n 1, 3, 5
n a x n
2k 2k 2 k 1 2 k 1 c x c x k k y A (1) B (1) (2k )! (2k 1)! k 0 k 0
(4.20)
（4.20）中的两个级数是对于 cos(cx)与 sin(cx)的台劳级 数；因而与（4.2）一致，有
(4.25)
k 是力常数。
4.2 一维谐振子
三维情况下，势能
v 与力的分量有关，
(4.26)
V V V Fx , Fy , Fz x y z
（4.26）式也是势能的定义。在一维中，有