16 4一维谐振子问题
lecture9 一维谐振子问题波动力学
1 E0 0 2E0 0 2 2 A 2 E0 m0
A
m0
x
m0 /
1
②在 x ( A, ) 区间内,即 (1, ) 区间内
发现振子的几率： e
1
2
d / e
0
2
d 16% 0
5)谐振子处于高激发态时 n 15
由5. E 11.线性谐振子能级：
1 0 2
1 En (n ) 0 , (n 0, 1, 2, 3, 2
)
12.线性谐振子能级性质：
1) 能级分立,且非简并 2) 能隙间距相等 3) 具有零点能,即基态能为非零:
1 E0 0 2
4) 零点能的实验证据： 温度趋于绝对零度时，散射光强趋于一个不为零的值 13.级数法得谐振子本征波函数解：
2 / 2
H ( )
待确定函数 H ( ) 须满足,对于 R, H ( ) 为有限
d 2H dH 2 ( 1) H 0 2 d d
10.采用级数法解方程9. 得：欲满足 的情况下 H ( ) 为有限值，必须
2n 1, (n 0,1, 2, )
3) [Q, P ]
[ x, p ] i
4) 5)
[a, a ] 1 [a, a a] a, [a , a a] a
p2 1 1 1 2 2 2 2 m0 x 0 ( P Q ) 0 (a a ) 6) H 2m 2 2 2
7)
dH n ( ) 2nH n 1 ( ) d
Hn1 ( ) 2 Hn ( ) 2nHn1 ( ) 0
曾量子力学题库（网用）（1）讲解
曾量⼦⼒学题库（⽹⽤）（1）讲解⼀、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原⼦的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）3. （1）试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量⼦理论5. （1）简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。
问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某⼀⼒学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满⾜的条件11.（2）假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零，试解释是否存在某⼀激发态，该激发态在全空间范围内也都⼤于零。
12.（2）已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.（2）试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。
17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某⼀维体系，粒⼦的势能为222x µγ，其中µ为粒⼦质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
一维谐振子的 Schrodinger 方程的解及 Hermite 多项式的性质
lim (z + m)Γ(z ) lim
(z + m)(z + m − 1) · · · (z + 1)Γ(z + 1) z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z Γ(z + m + 1) = lim z →−m (z + m − 1) · · · (z + 1)z 1 = (−1)m m!
ξ →+ ∞
因而在这种情况下, 原 Schrödinger 方程无有界解. 现讨论 v 是非负整数的情况, 即 v = m, m 为非负整数. 在式 (23), (24)的基础上, 若 m 为偶数, 则式 y1 变为未定式, 而 y2 仍为原无界函数. 这时由递推式 (19), am+2 = 0, y1 为 m 次多项式；同样, 若 m 为奇数, 则 y1 为无界函数, y2 为 m 次多项式. 现研究 Γ 函数在 0 和负整数附近的性质. 由于 Res[Γ(z ), −m] = =
ξ2
(10) (11)
y ′′ − 2ξy ′ + (ν − 1)y = 0. 式 (11)即为 Hermite 微分方程.
2
2 Hermite 方程的幂级数求解
下面用幂级数法对 Hermite 方程进行求解. 重写 Hermite 方程如下, 在其中令 λ = ν − 1： y ′′ − 2ξy ′ + λy = 0. 设 y (ξ ) 为如下幂级数形式： y (ξ ) = 那么有 y
l
(39)
变换求和哑元, 令 k = l − i, 则 y1 =
l ∑ (−1)l−i 22l−2i l! i=0
(2l − 2i)!i!
一维谐振子拉格朗日表达式
一维谐振子拉格朗日表达式（实用版）目录一、引言二、一维谐振子的定义和特点三、拉格朗日表达式的概念和作用四、一维谐振子的拉格朗日表达式五、结论正文一、引言在物理学中，一维谐振子是一个沿直线方向作简谐振动的物体。
它是研究简谐振动规律的基本模型，对于理解更复杂的振动系统具有重要意义。
拉格朗日表达式是分析一维谐振子运动的有效工具，可以帮助我们更好地描述和研究这种振动现象。
本文将从一维谐振子的定义和特点入手，介绍拉格朗日表达式的概念和作用，最后详细阐述一维谐振子的拉格朗日表达式。
二、一维谐振子的定义和特点一维谐振子是指在一个直线方向上作简谐振动的物体。
它的运动由一个势能函数 V(x) 描述，这个势能函数在一维空间上的图像是一个关于 x 的周期函数。
一维谐振子的运动特点是周期性的、振幅不变的、能量守恒的。
在运动过程中，物体的位移随时间作正弦或余弦函数变化，速度和加速度分别与位移成正比和反比关系。
三、拉格朗日表达式的概念和作用拉格朗日表达式是分析物体运动的一种数学表达式，它是基于拉格朗日力学原理推导得出的。
拉格朗日表达式包含了物体的运动方程和能量方程，可以描述物体在给定势能函数作用下的运动状态。
对于一维谐振子，拉格朗日表达式可以给出振动的周期、振幅、频率等物理量，为研究简谐振动提供理论依据。
四、一维谐振子的拉格朗日表达式对于一维谐振子，我们可以根据势能函数 V(x) 推导出拉格朗日表达式。
首先，根据拉格朗日力学原理，可以得到物体的运动方程：$$frac{dmathbf{}}{dt}frac{dmathbf{L}}{dq[1]}-frac{dmathbf{L }}{dq}=0$$其中，$mathbf{L}$表示拉格朗日量，$mathbf{q}$表示广义坐标，是时间 t 的函数，而$mathbf{q[1]}$表示广义速度。
在一维谐振子问题中，广义坐标和广义速度可以表示为：$$mathbf{q}=x,quad mathbf{q[1]}=dot{x}$$将上述广义坐标和广义速度代入运动方程，得到：$$frac{d}{dt}frac{d}{d{x}}mathbf{L}-frac{d}{d{x}}mathbf{L}= 0$$由于拉格朗日量$mathbf{L}$是物体的动能加上势能，对于一维谐振子，可以表示为：$$mathbf{L}=frac{1}{2}m{v}^{2}+V(x)$$其中，m 表示物体的质量，v 表示物体的速度。
周 一维谐振子问题
[bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
k
即： bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次
从而导出系数 bk 的递推公式：
幂前的系数均应 为零，
bk 2
2k 1
(k 1)(k 2) bk
由上式可以看出：
a
x
0
V0
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
V ( x) 1 kx2 2
a
x
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基
本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
b k2 k2 bk k
2k 1 2 (k 1)(k 2)
k
22 k
为此考察相邻 两项之比：
考察幂级数exp[
exp[ 2 ] 1 2
4
k
k2
展开式的收敛性
1! 2!
(
k 2
)!
(
k 2
1)!
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
V 1 m2x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，
分子振动 晶格振动 原子核表面振动 辐射场的振动
一维谐振子零点能问题
（♥）
可证明，对谐振子的任何一个能量本征态 ψ n 有： * * ˆ ψ n ( x) d x = ∫ ψ n x = ∫ ψn ( x) x ( x ) xψ n ( x ) d x = 0 ∂ψ n ( x ) * * ˆ ψ n ( x ) d x = − ih ∫ ψ n ( x ) p = ∫ ψ n ( x) p dx=0
ˆ, p ˆx]≡ x ˆp ˆx − p ˆxx ˆ ≡ ih ˆ x 的对易关系 [ x ˆ 和 p 利用 x
可证明下面的对易关系：
ih 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx [ x, H ] = [ x, px ] = p m 2m ˆ ] = 1 k[ p ˆx,H ˆx, x ˆ 2 ] = − i h kx ˆ [p 2
1 ⎡ * ⎤ ˆ ψ ( x) d x − [H ˆ *ψ * ( x )] p ˆ ˆ ψ ( x ) p H ψ ( x ) d x = x n n x n ∫ ⎥ ⎦ ⎣∫ n − ihk ⎢
对谐振子的任何一个能量本征态 ψ n 有：
ˆ ψ ( x ) = E ψ ( x ), H n n n ˆ *ψ * ( x ) = [ H ˆ ψ ( x )]∗ = E ψ * ( x ) H n n n n
x = 0, p=0
（1）对易关系
ˆxx ˆ ψ = − ih p
∂ψ ∂ ˆp ˆ xψ ( xψ ) = − i h ψ + x ( − i h ) = − ih ψ + x ∂x ∂x
ˆp ˆx − p ˆxx ˆ )ψ = ihψ 对任意函数成立，所以： (x
ˆ x 的对易关系 ˆ, p ˆx]≡ x ˆp ˆx − p ˆxx ˆ ≡ ih 称为 x [x ˆ 和 p
一维谐振子基态和激发态的波函数
标题：深度探讨一维谐振子基态和激发态的波函数一、引言一维谐振子是量子力学中的经典问题之一，它的波函数描述了粒子在谐振势场中的运动状态。
在本文中，我们将深入探讨一维谐振子的基态和激发态的波函数，分析其数学形式和物理意义，以帮助读者更好地理解这一重要概念。
二、基态的波函数让我们来分析一维谐振子的基态波函数。
基态对应能量最低的状态，其波函数通常用Ψ₁(x)来表示。
在一维谐振子中，基态波函数可以用简单的数学形式进行描述：Ψ₁(x) = (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx²/2ħ)其中，m是粒子的质量，ω是振子的角频率，ħ是约化普朗克常数。
这个波函数描述了基态下粒子在空间中的分布情况，通过对波函数的形式和特性进行分析，我们可以了解到粒子在基态下的基本运动状态和概率分布规律。
在基态下，粒子处于能量最低的状态，波函数的峰值对应着粒子最有可能出现的位置。
基态波函数的特性还可以通过数学手段进行分析，例如计算平均位置、动量期望值等，这些都能帮助我们更好地理解基态下粒子的运动规律和物理性质。
三、激发态的波函数接下来，我们将讨论一维谐振子的激发态波函数。
激发态对应能量高于基态的状态，其波函数通常用Ψ₂(x)来表示。
在一维谐振子中，激发态波函数的数学形式相对复杂一些，但通过分析和理解其特性，我们同样可以获得丰富的物理信息。
激发态波函数通常包含更多的波峰和波谷，描述了粒子在激发状态下的空间分布情况。
通过比较基态和激发态波函数的形式和特性，我们可以发现它们之间的微妙差别，并据此推断粒子在不同能级状态下的运动规律和行为。
激发态波函数的数学性质也具有重要意义，例如其振幅、波长、频率等特征参数都可以提供宝贵的信息。
通过对激发态波函数进行分析，我们可以更全面地理解粒子在谐振势场中的非基态运动状态，为进一步研究和应用提供重要的参考依据。
四、总结与展望通过本文的深度探讨，我们对一维谐振子的基态和激发态波函数有了全面的理解。
能量表象中的谐振子问题
( xn +1,n ) 2 − ( xn ,n −1 ) 2 =
ℏ
（14）
再利用式（4），即得
pn +1,n = iωµxn +1,n
(15)
x的矩阵元为实数，p的矩阵元为纯虚数，因此 的矩阵元为实数， 的矩阵元为纯虚数 的矩阵元为纯虚数， 的矩阵元为实数
xn ,n +1 = ( xn +1,n ) = xn +1,n
dA dt
H | ψ n 〉 = En | ψ n 〉 〈ψ n | H = En 〈ψ n |
dA = iωkn Akn dt kn
Ek − En = ℏωkn
其中 ω = ( E − E ) / ℏ kn k n
2.求和规则
∑ ( Ek − En ) xnk =
2 n
利用x的算符运动方程，可得
E = E0 , E0 + ℏω , E0 + 2ℏω.....
即
En = E0 + nℏω, n = 0,1,2......
(8)
为了求出基态能级，可以利用求和规则
∑ (E
n
n
− Ek ) | xnk |2 = ℏ / 2 µ
(9)
取k为基态（k=0），由式（6）（7）和 （9）可得
ℏ2 = ℏω ∑ | xn 0 |2 = ℏω ( x 2 )00 2µ n
在能量本征态|k>下求平均值，即得 iℏ = ( xpx )kk − ( px x )kk = ∑ xkn ( px )nk − ( px )kn xnk
n
= i µ ∑ (ωnk xkn xnk − ωkn xkn xnk ) = 2i µ ∑ ωnk xnk
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I ? ?? px?? px ? ?2px
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I ' ? ?I ? 2px
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间：
T ? 2a vx
单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
f ? 1 ? vx T 2a
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。
二、一维谐振子的本征函数和能量本征值
一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振
子的定态波函数为：
?
n (x) ?
N e?? 2 x2 n
2Hn (? x)
由波函数的归一化条件 所确定的常系数 Nn为：
Nn
?
(
2
2 x2 ???
?
(x) ?
E?
( x)
———— 一维谐振子的定态薛定谔方程 ———— 一维谐振子的能量本征值方程
??? ?
?2
2?
d2 dx2
?
1 ??
2
2 x2 ???
?
(x) ?
E?
( x)
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
? ? ? x,
??
??
,
?
? ? 2E ??
d 2? (? ) ? (? ? ? 2 )? (? ) ? 0 d? 2
x ? Acos(? t ? ? )
o
x
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的 问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子 在稳定平 衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括 ，而且更 是将来场量子化的基础。
一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模 型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表 面的振动以及辐射场的振动，等等。
我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达 为
U (x) ? 1 ?? 2x2
2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！
??? ?
?2
2?
?
2
? U (r?)???
?
(r?) ?
E?
(r?)
———— 定态薛定谔方程
U (x) ? 1 ?? 2 x2
2
??? ?
?2
2?
d2 dx2
?
1 ??
化过程就是简谐振动。
简谐振动物体受到的线性回复力 F ? ? kx
取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动
系统的势能
U (x) ? 1 kx2 2
?? k ?
U (x) ? 1 ?? 2 x2
2
U (x)
简谐振动系统的总能量
U total
?
1 kA2 2
?
1 ??
2
2 A2
简谐振动运动方程的解
§16-4 一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动 这类常见问题的普遍概括。
在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2x dt 2
?
?
2x
?
0
并且 ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变
? n (x,t) ? ? n (x)e? iEnt/?
?
N e?? 2x2 n
2Hn (? x)e?iEnt / ? , n
?
0,1,2,3,...
一维谐振子的能量（本征值）为
E
?
En
?
(n ?
1)??
2
,
n ? 0,1,2,???
说明：
① 一维谐振子的能量只能取一系列 分立值；
En
?
?2k2
2?
? xe ? ? 2 x 2 / 2 ,
? ? ?
2 (x)
?
1
? 14
? 2? 2 x 2 ? 1 e , ?? 2 x2 / 2
2
考虑一维谐振子的基态：
= E0
?
1 2
??
U (x) ? 1 ?? 2 x2
2
x2 ? ?
??
? ?1 ?
?
——谐振子的特征长度
??
x ? ? ?1,经典允许区；
按照经典理论，
?
? 2?2n2
2? a 2
,
n ? 1,2,3,???
E?
En
?
(n ?
1)??
2
,
n ? 0,1,2,???
能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！
② 一维谐振子的能谱是 等间距的，即相邻两能级的 能量差是固定的；
能级间距 = ??
③ 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。
E0
?
1 2
??
零点能是微观粒子波粒 二象性的表现！
经典物理学中的一维谐振子：
U (x)
M
经典禁区
E
N
经典禁区
x ? A,经典允许区；
?A o
A x x ? A,经典禁区.
量子力学中的一维谐振子：? n ( x) ? Nn e? ? 2x2 2 H n (? x)
?
0 (x) ?
? ?14
e , ? ? 2 x2 / 2
? 1 (x) ?
2? ?14
F
?
I'f
?
2 px
vx 2a
?
px2 mea
将算符
p?x2
?
(? i?
?? )2 ??x
?
??2
?? ? ??x2
代入上式，得
F? ?
?
?2 me a
?2 ? x2
A ? A ? ?? ? (r?)A?? (r?)d?
一维无限深势阱的基态波函数为
? 1(x) ?
2 a
x ? ? ?1,经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经
典禁区中的概率为：
? ? ?? ?1
?
??
? 0
(
x)?
0 (x)dx ?
??
?
? ?1
? 0
(
x)?
0 (x)dx
?
16%
——— 微观粒子的隧道效应
?
0 ( x)
?
? ?14
e , ? ? 2 x 2 / 2
? 1 ( x) ?
2? ?14
? xe ? ? 2 x 2 / 2 ,
? ? ?
2 ( x)
?
1
? 14
? 2? 2 x 2 ? 1 e ? ? 2 x2 / 2 ,
2
由图可以看出，量子数 n较小时，粒子位置的概率 密度分布与经典结论明显不同。随着量子数 n的增 大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.01? 10?10 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均 冲力。 解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。 设电子质量为 me、速度为 vx、动量为 px 、势阱宽度为 a。 平均冲力等于单位时间内的冲量。 动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段 时间内的冲量等于质点动量的增量。
?
1
?
2 2n
)1 n!
2
? ? ??
?
式中 Hn(? )称为厄米多项式 ，具体形式为
H n (?) ?
(?1) n e?2
dn
d? n
e -? 2
最简单的几个厄米多项式为：
n=0,
n=1,
n=2,
H 0 (?) ? 1,
H 1 (?) ? 2? ,
H 2 (?) ? 4? 2 ? 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为