一维谐振子的本征值问题
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
16-4一维谐振子问题
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
3.正交归一性：
e
2
H
n
(
)H
n
'
(
)
d
2n n!
nn
4.完备性：
f ( ) cnHn ( ) 0
式中的展开系数为：
cn
1 2n n!
e 2
f
( )Hn ( )d
由式（2.7.1）即可得能量本征值 E为：
En
(n
1 )h
2
n 0,1, 2,3,L
U (x) 1 2 x2
2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！
2
2
2
U
(r)
(r)
E
(r)
————定态薛定谔方程
U (x) 1 2 x2
2
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2
2
d2 dx 2
2 px
vx 2a
p
2 x
mea
将算符
pˆ
2 x
(i
)2 x
2
x 2
代入上式，得
F
2 me a
2 x2
A A (r) Aˆ (r)d
一维无限深势阱的基态波函数为
1(x)
2 a
sin
x
a
1
(
x
)
电子对阱壁的平均冲力为
F
a
0
1
Fˆ
1dx
2π 22 me a 4
力学量本征值问题的代数解法
2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态 （1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可 以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j
一维谐振子的本征函数 传播因子
一维谐振子的本征函数传播因子一维谐振子的本征函数和传播因子是量子力学中非常重要的概念，对于理解和研究束缚系统以及量子力学基本原理具有重要意义。
本文将从深度和广度两个方面探讨一维谐振子的本征函数和传播因子，以便更全面地理解这一主题。
一、一维谐振子的本征函数1. 本征函数的定义和基本性质一维谐振子的本征函数是指满足薛定谔方程的解，描述了系统的可能状态。
本节将从数学角度介绍本征函数的定义和基本性质，为后续深入探讨打下基础。
2. 本征函数的物理意义本节将从物理学角度解释一维谐振子的本征函数代表着系统的可能状态，以及如何通过本征函数来描述系统的能量级和波函数。
3. 本征函数的计算方法介绍一维谐振子本征函数的计算方法，包括解薛定谔方程和使用数值方法等，帮助读者更加深入地理解本征函数的实际应用。
二、一维谐振子的传播因子1. 传播因子的定义和物理意义一维谐振子的传播因子描述了系统在空间中的传播特性，本节将介绍传播因子的定义和物理意义，包括传播速度和传播如何受势能影响等方面。
2. 传播因子的数学表达通过数学公式和推导，介绍一维谐振子的传播因子在数学上的表达方式，为读者展示传播因子的具体形式和计算方法。
3. 传播因子的应用介绍传播因子在物理学和工程领域的应用，包括波函数演化、能量传递和量子隧穿效应等，帮助读者理解传播因子在实际问题中的作用和意义。
总结与展望通过本文的介绍，我们全面地认识了一维谐振子的本征函数和传播因子，从数学和物理两个角度进行了深入探讨，帮助读者更好地理解这一重要的量子力学概念。
未来，我们可以进一步研究多维谐振子系统的本征函数和传播因子，以及在更加复杂情况下的应用，为量子力学的发展提供更多的思路和方法。
个人观点在研究和撰写这篇文章的过程中，我深刻地体会到一维谐振子的本征函数和传播因子对于量子力学的重要性。
通过深入地挖掘和解释这些概念，我对量子力学的基本原理和应用有了更加深刻的理解，也为我的学术研究提供了更多的思路和方法。
一维谐振子的本征值问题
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrdinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrdinger 创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
第二章波动力学基础一、填空1.一维谐振子的能量本征值En与_____
第二章 波动力学基础一、填空1. 一维谐振子的能量本征值E n 与_____有关，能量是量子化的.最低的能量是____，称为_____.能级都是等间距的，间隔都是____.2. 定态的性质：粒子坐标的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.二、概念与名词解释1. 态叠加原理；2. 概率流守恒定律；3. 定态，束缚态；4. 奇宇称，偶宇称三、计算1. 由下列定态波函数计算几率流密度： (1) ikr 1e r 1=ψ, (2)ikr 2e r 1-=ψ.从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.2. 设()()为常数a Ae x 22x a 21-=ϕ(1) 求归一化常数 (2) .?p ?x x ==3. 设在t=0时，粒子的状态为 φ=A[sin 2kx+(coskx)/2]，求粒子动量和能量的平均值.4. 已知做直线运动的粒子处于状态ix11)x (-=ϕ(1) 将φ(x)归一化；(2) 求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.5. 若粒子处于状态 ⎪⎩⎪⎨⎧>β-≤≤<=ϕ)a x ()x e x p (B )a x 0()kx sin(A )0x (0)x (其中k,β为已知常数。
求归一化常数，并给出在1≤x ≤a 区域内发现粒子的概率.6. 粒子处在势能()⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤+≤≤+><∞=b)a x a (,U b)2a x b a a x 0(,0b)2a x 0x (,x U 0当和当和当的场中运动，求在能量小于U 0的情况下，决定能量的关系式.7. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.8. 一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-0x 00x Axe x x的状态. 求归一化系数A ，粒子的动量分布函数及动量平均值。
9. 若线谐振子处于第一激发态，)x a 21aexp(-)2a ((x)222131π=ϕ，求其坐标概率最大的位置，其中a>0.10. 设粒子的能量E>0，求粒子在势阱()⎩⎨⎧><= 0)(x 00)(x U x U 0壁x=0处的反射系数.11. 一维谐振子处在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ω--π=ϕt 2i 2x a exp a (x)221/2状态， 求：势能的平均值；动量的概率分布函数；动量的平均值.12. 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-<≤<∞=x b ,0bx a ,U a x 0,U 0x ,x U 10求束缚态的能级所满足的方程，其中U 0>0,U 1>0.13. 粒子在如下三维势场()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><∞≤≤==⎩⎨⎧><∞≤≤==b/2)(x -b/2),(x b/2)y (-b/2 0U 0U a/2)(x -a/2),(x a/2)x (-a/2 0U z y,,x U y z x 中运动, 求粒子的能量和对应的波函数.14. 设粒子处于一维势阱中⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a)(x 0a)x (0 U 0)(x U(x) 0，式中U 0>0.若粒子具有一个E=－U 0/4的本征态，试确定此势阱的宽度.15. 设粒子在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数a x cos a x sin 4(x)2πππ=ϕ描述，求粒子能量的可能值和相应的概率.16. 在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述，A 为归一化常数，求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.17. 一个粒子处与中心势场⎩⎨⎧<≥=a)(r 0a)(r U )r (U 0中，设其径向波函数为R(r)=u(r)/r ，u(r)满足的方程为0)r (u r )1l (l ))r (U E (2)r (u dr d 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--μ+ ，若l=0，求该粒子小于U 0的能量和相应的本征函数.18. 粒子在势场⎩⎨⎧≥<δ-=0)(xU 0)(x (x)a U )x (U 10中运动，试给出小于零的能量本征值和本征函数，其中U 1>0,U 0a>0.19. 粒子在如下势场中运动⎩⎨⎧>ω≤∞=0)(x /2x m 0)(x )x (U 22，求其能级. 20. 粒子在双δ势阱U(x)= -U 0d[δ(x+a)+ δ(x-a)]中运动，求其束缚能级满足的方程.21. 设两个方势垒的形状分别是⎩⎨⎧≤≤><<=⎩⎨⎧≤≤<=c)x (b U c)x b,x (a 0)x (U , a)x (0 U 0)(x 0)x (U 21，求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.22. 求势场U(x)= -U 0/(e x/a +1)，入射粒子能量E>0时的反射系数.23. 能量为E=3U 0的粒子射向如下势场⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=a)(x 2U a)x (0 U 0)(x 0U(x)0 0，求粒子的透射和反射系数.24. 能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)= -U 0δ(x)，求粒子的透射和反射系数，其中U 0>0.25. 氢原子处在基态0a /r 30e a 1-π=ψ, 求：(1) r 的平均值； (2) 势能-e 2/r 的平均值； (3) 最可几的半径；(4) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数.26. 设氢原子处于状态()()()()()/2,Y r R 3/2,Y r R ,,r 11211021ϕθ-ϕθ=ϕθψ-，求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.27. 粒子处于状态()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πξ=ψ2202124x x p i exp 21x ，式中ξ为常量. 求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系()()_______2_____2p x ∆∆28. 设粒子在一维势垒宽度为a 的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力.29. 设氢原子处在基态，求：它在动量表象中的表示式；p x 和p x 2的平均值；x 和x 2的平均值.30. 设势场为U(r)= -a/r+A/r 2(a 、A>0)，求粒子的能量本征值.31. 设势场为U(r)= Br 2+A/r 2 (A 、B>0)，求粒子的能量本征值.32. 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r=a 和r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.33. 求一维薛定谔方程在势场V(x)= -Ze 2/x 下的能级和波函数，并与势场⎩⎨⎧≤∞>=0)(x 0)(x /x Ze -V(x)2的结果相比较. 四、证明1. 证明在定态中, 几率流密度与时间无关.2. 设粒子处于复位势V(r)=V 1(r)+iV 2(r)中，式中V 1(r)和V 2(r)皆为实函数，证明此时粒子的概率不守恒.3. 设粒子处于实位势V(r)中，证明在任意束缚态下其能量平均值为τ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡φφ+φ∇⋅φ∇=τρ=d )r ()r )V (r (*)r ()r (*2m d E 2 式中ρ为能量密度.4. 证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.5. 利用厄米多项式的递推关系H n+1(ξ)-2ξH n (ξ)+2n H n-1(ξ)=0，证明[][]22n n 2-n n 21n 1-n n /2(x) 2)1)(n (n (x)1)(2n (x) 1)-n(n (x)x /(x) 1)/2(n (x) n/2(x)x αφ+++φ++φ=φαφ++φ=φ++，式中φn (x)为线谐振子的第n 个本征波函数， /m ω=α.进而证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半.6. 证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.7. 在一维势场中运动的粒子, 势能对原点对称:U(-x)=U(x), 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.8. 证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1.9. 粒子在势能为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=)a x (U )a x 0(0)0x (U )x (U 21当当当的场中运动，证明对于能量E<U 1<U 2的状态，能量由21mU 2k arcsin mU 2k arcsinn ka --π=关系式决定，其中2/mE 2k = 10. 证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的.11. 证明在非相对论量子力学中，在辏力场V(r)中运动的粒子，其束缚态满足322r L 21dr )r (dV 2m )0(π-π=ϕ，式中φ(0)是原点波函数，L 2是角动量平方（选ћ=1为单位）.五、综合题1. 利用氢原子的能谱公式，写出：(1) 电子偶素(positronium)，即e +-e -形成的束缚态的能级；(2) 以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；(3) μ+和e -形成的束缚态(Muonium)的能级.2. 一个质量为m 的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动.(1) 证明：对于一个半径R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值.(2) 在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？(3) 上述(1)、(2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若⎩⎨⎧><≤≤<λ=）或b x a (x 0b)x (a 0f(x)U(x)，保持f(x)不变，讨论不同的λ值.3. 一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收，但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离.4. 质量为m 的非相对论粒子在一势场中运动，势场是U(x,y,z)=A(x 2+y 2+2λxy)+B(z 2+2μz)，其中A>0,B>0,|λ|<1，μ是任意的，求：(1) 能量的本征值；(2) 使势变成⎩⎨⎧μ<∞μ>=任意）、＋任意）、y x ,-(z y x ,-(z U U new ，求基态能量.5. 一个刚体具有惯性矩I z ，可以自由的在x-y 平面中运动.令θ为x 轴与转动轴之间的夹角，求：(1) 能量本征值和相应的本征函数；(2) 若在t=0时，转子由波包φ(0)=Asin 2θ描述，求t>0时的φ(t).6. 考虑一维波函数φ(x)=A(x/x 0)n e -x/x0，其中A 、n 、x 0是常数，(1) 利用薛定谔方程，求势场U(x)和能量E.（这时φ(x)可视为当x →∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数）.(2) 比较你所给出的势场和轨道角动量为l 的氢原子态的有效径向势的异同.7. 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势，这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质.证明：(1) 若势场满足d 2V/dr 2>或<0，则零点波函数满足|φ2s (0) |>或<|φ1s (0) |；(2) 记势场V(r)中粒子状态为l n r r l ,n φ=，则若，0r 1)l(l V dr d 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++必有|φ0l (0) |≤|φ1l (0) |.8. 对于2P 和3D 能级，定义ε=E 2P －E 3D ，u=r φ2P ，v=r φ3D .势场满足V=λ2V(λr)，λ是小参量，证明：(1) 在(0,∞)区间中，u 2-v 2有且仅有一个零点；(2) 令W(x)=x[2V+x(dV/dx)]，则若满足W(0)=0，且d 2W/dx 2≥或≤0，相应的必有d ε/d λ≤或≥0.9. 粒子在势壁附近的行为，可从下面近似模型出发考虑. 一粒子在一维势场⎩⎨⎧<∞>δ=-d)(x-d)(x (x)U -U(x)0中运动，求： (1) 当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义；(2) 至少存在一个束缚态时，U 0和d 应满足的条件.10. 一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：E 1<E 2<…<E n <….(1) 若势场U 1(x)给的本征值为E 1n ，U 2(x)给的本征值为E 2n ，且U 1(x) ≤ U 2(x)，证明必有E 1n ≤E 2n .(2) 考虑势场,a)x ( /2ka a)x ( /2kx U(x)22⎪⎩⎪⎨⎧≥<=求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N.11. 放射性同位素83Bi 212衰变成81Tl 208，同时放出能量为6.1MeV 的α粒子.(1) 为了计算寿命，首先讨论如下图有限高势垒，计算一个质量为M 的粒子从左边入射的透射系数T ，粒子的能量为E ，并设T<<1；(2) 利用上面的结果，选择敏感的势垒参数来近似α粒子势，对83Bi 212的寿命做一个粗略的数值估计.12. 一束单一能量E 的非相对论中子打到一个厚度为t 的平板平面上，在这平板中。
§1.2 本征问题的矩阵力学方法
高等量子力学
显然：λmin = λ0 = 0 ，显然 0 为一维线性谐振子的基态。
ˆ, b ˆ + 的性质，可得： 由b ˆ+ )n 0 n = An (b
而其本征值为λ = 0,1, 2,3 ，所以，Hamiltonian的本征 值为： 1 En = ω (n + ), n = 0,1, 2 2 现在我们来求解归一化常数 An 。
显然：mmax = − mmin
j≥m≥−j 令：j = mmax ，则：
ˆ2, J ˆ 的共同本征态表示为： j , m λ = j ( j + 1) ，则 J 另外： z
高等量子力学
2 ˆ ˆ ⎧ J ⎪ J± λ, m = 又由于：⎨ ˆ ˆ ⎪ ⎩J z J± λ, m = 2
ˆ λ, m λJ ±
递推得：n =
1 ˆ+ n (b ) 0ห้องสมุดไป่ตู้n!
高等量子力学
2、角动量本征问题的矩阵力学方法
ˆ=r ˆ× p ˆ 角动量算符为：J
ˆ = yp ⎧J ˆ ˆ z − zp ˆˆ y x ⎪ ⎪ˆ ˆˆ z ˆ ˆ x − xp ⎨ J y = zp ⎪ˆ ˆˆ ˆˆ ⎪ ⎩ J z = xp y − ypx
ˆ J ˆ =J ˆ2 − J ˆ2 ± J ˆ 并有 ： J ± ∓ z z
ˆ2, J ˆ 的共同本征基 { λ , m } ： 选取 J z ˆ 2 λ , m = 2λ λ , m J
ˆ λ, m = m λ, m J z
1 ˆ ˆ 1 ˆ 2 ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 由于 ：J − J z = J + J − + J − J + = J − + J + 2 2
一维谐振子波函数
一维谐振子波函数摘要：一、一维谐振子的基本概念二、一维谐振子的波函数1.波函数的实值与复值2.波函数的时间依赖性三、一维谐振子的能量本征函数四、应用与结论正文：一、一维谐振子的基本概念一维谐振子是一种物理模型，用于描述在一维空间中运动的粒子受到弹性势能的影响而发生振动的现象。
在这个模型中，粒子被限制在一个有限的空间范围内，如一个线性的势阱。
一维谐振子的研究有助于理解简谐振动在其他领域的应用，如机械振动、电磁波等。
二、一维谐振子的波函数1.波函数的实值与复值在研究一维谐振子时，我们需要关心波函数。
波函数是描述粒子在空间中位置的函数，通常表示为Ψ(x)。
在一维谐振子问题中，波函数可以分为实部和虚部，即Ψ(x) = A * cos(kx - ωt) + Bi * sin(kx - ωt)，其中A和B为实数，k 为波数，ω为角频率，t为时间。
2.波函数的时间依赖性由于波函数中含有时间变量t，因此我们需要了解波函数随时间的变化规律。
从薛定谔方程可以看出，波函数的时间偏导数含有虚数单位i，所以一般情况下波函数为复值函数。
而波函数的模平方不随时间变化，表示粒子在某一位置的概率密度。
三、一维谐振子的能量本征函数在一维谐振子问题中，能量本征函数是描述粒子能量的函数。
对于简谐振子，能量本征函数可以表示为Ψ(x) = C * exp(-x/2) * Hermite polynomials(x)，其中C为归一化常数，Hermite polynomials(x)为赫尔墨特多项式。
这些本征函数满足薛定谔方程，并具有归一化和正交性质。
四、应用与结论一维谐振子的研究在物理学、力学等领域具有广泛的应用。
通过对一维谐振子的研究，我们可以更好地理解简谐振动的特点，为实际问题的解决提供理论依据。
在实际应用中，一维谐振子模型可以扩展到更高维度的谐振子模型，从而为多维系统的分析提供方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ödinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac 算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+a ˆ、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
1.矩阵力学解法V 可表成221kx V x =（１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μωk=（２）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势222ˆ212ˆˆx p H μωμ+= (3) 在能量Hˆ表象中，由于]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(p xf ix x f -=∂ (4a) ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(x pf i x pf=∂ (4b) 因此有]ˆˆˆˆ[ˆˆˆ2H P P H i x x H --==∂∂μω(5a)]ˆˆˆˆ[ˆˆˆH X X H i pp H -==∂∂μ (5b) 取Hˆ表象的矩阵元ij ，由于 ij ij ij E H δ=(6)故有ij j i ij p E E ixˆ)(ˆ2--=μω (7a) ij j i ij xE E ipˆ)(ˆ-=μ(7b) 由于Hˆ矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。
且只是ij ϕ和ij p 两个未知量的方程，与x ，p 的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。
得ω ±=-j i E E(8)则有ωε )(+=i E i ， ...2,1,0±±=i 10≤≤ε (9)不为零的矩阵元为)(1,1,-++=i j i j ij ij p p δδ (10a))(ˆˆ1,1,-++=i j i j ij ij x xδδ (10b) 由(6)式得ωε )(2,121,+=+-+i p p ii i i (11)此式的解为211,++=+εi c p i i (12) 由(10b)式可知0≥i ，为满足此条件应有00,1=-p 即0211=++-εc 得 21=ε(13)则ω )21(+=i E i ， i =1，2…(14)2. Dirac 算符算子代数解法 2.1求解一维谐振子能量本征值由(3)式，采用自然单位1===μω ，则)(2122p x H +=(15) 因此H 具有相空中的旋转不变性，令)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa+=+= (16a) )ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa-=-=+ (16b) 利用 i p x=]ˆ,ˆ[，容易得1]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=+p x i a a(17) 对H 进行因式分解21ˆ)21ˆˆ(]1)ˆˆ)(ˆˆ[(21ˆ+=+=+++-=+N a a x x d d x x d d H(18) 式中a a Nˆˆˆ+= (19)则[Hˆ，N ˆ]=0 (20)因为0ˆˆˆˆ2≥==+ϕϕϕϕϕa a a N(21)N a a a a Nˆˆˆ)ˆˆ(ˆ===++++ (22) 所以Nˆ为正定Hermite 算符，H ˆ亦为正定Hermite 算符 设n n n N=ˆ (23)n 为正数，n 表示Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得 a a Nˆ]ˆ,ˆ[-= (24a) ++=a a Nˆ]ˆ,ˆ[ (24b) n a n n N a a N n a N+++++=+=ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆˆ (25a) n a n n N a a N n aN ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆ-=+=(25b) 因此可知，若n 为N ˆ的本征态，且本征值为n ，则n aˆ与n a +ˆ也是N ˆ的本征态，且本征值为n-1，n+1。
由(25a)式可知n aˆ是N ˆ的本征态，从N ˆ的某个本征态n 出发，逐次用降算符aˆ运算可得N ˆ的一系列本征态， n ， n aˆ， 2ˆa n ， … (26) 相应的本征值为n ， n-1， n-2， …(27)因为N ˆ为正定Hermite 算符，它的所有本征值必须0≥。
设N ˆ的最小本征值为0n ，本征态为0n 。
故它的必须满足0ˆ0=n a(28) 由此可得0ˆˆˆ00==+n a a n N (29) 即0n 是N ˆ的本征值，对应本征值为0n =0，因此0n 可记为0。
由(25b)式可知，n a +ˆ也是N ˆ的本征态，从N ˆ 的最小本征值 0n =0对应的本征态0出发，逐次运用算符+aˆ可得N ˆ的全部本征态 0， +aˆ0， 2)ˆ(+a 0， (30)相应本征值为0， 1，2， (31)可以得 Nˆ的归一化本征态 0)ˆ(!1n an n +=(32)它是Hˆ的本征态 0ˆnE n H = (33)21+=n E n ， n=0，1，2 (34)添上能量单位，ω )21(+=n E n ， n=0，1，2….(35)2.2求解波函数由(28)式 aˆ0=0即00)ˆˆ(21=+p x得， 0)()ˆˆ(210=+x xd dxϕαα，μωα= (36)解得 20022)(x e N x αϕ-=(37)由归一化条件1)(2=⎰∞∞dx x n ϕ得，210)2(α=N (38)由(32)式得0)ˆ(!1n an n +=，即 )()ˆ(!1)(0x a n x nn ϕϕ+==22122)()!2(x n ne dx d x n n αααα-- (39) 令x αξ=，则(36)式可写成:22122)()!2()(x n n n e d d n n αξξαξϕ--= =22)(ξξ-e H N nn(40)n N =21)!2(n n nα(41) 22)()1()(ξξξξξ---=e d d e H n n n (42) 易得)(x n ϕ=n )1(-)(x n ϕ， 即n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。
2.3 Hermite 多项式的递推关系1)ˆˆ(21ˆ-=+=n n n xd dx n a(43) 11)ˆˆ(21ˆ++=-=+n n n xd dxn a (44) 因此211222)()()(21ξξξξξξ----=+eH N n eH N d dn n n n (45)211222)(1)()(21ξξξξξξ-++-+=-eH N n eH N d d n n n n (46)由(45)(46)两式得12121-+++=n n n n n ξ (47) 即2112112222)(2)(21)(ξξξξξξξ----++-++=eH N ne H N n eH N n n n n n n=212122)(22)()1(221ξξξξ---++++eH N n ne H n N n n n n n 得)(2)()(211ξξξξ-++=n n n nH H H (48)由(43)得22)()(21ξξξξ-+eH N d dn n =22)(21ξξξ-e H N d dn n=2112)(ξξ---eH N n n n(49)而nN N n n 21-=(50)由(49)(50)两式得)(2)(1ξξξ-=n n nH H d d(51)2.4相干态与压缩态 2.4.1相干态由(24)式a a Nˆ]ˆ,ˆ[-=≠0。
N ˆ，a ˆ不对易。
又由(43)式1ˆ-=n n n a ，所以除n=0 以外，一般n 不是Nˆ的本征态。
而且设N ˆ的本征态为α则α必须包含所有的n 。
设n C n n )(0αα∑∞==(52)满足方程αλα=aˆ (53)λ为本征值，利用式(43)，得n C n n ∑∞==0λαλ=n C a n n ∑∞=0 =10-∑∞=n n C n n (54)即得10-''=∑∑∞=''∞=n n C n C n n n n λ (55)以1-'n 左乘上式，得1110-'-''=-'∑∑∞=''∞=n n n C n n C n n n n λ (56)利用正交归一条件n n n n '='δ，得1-=n n C nC λ(57)依次递推，即得0!C n C nn λ=(58)0C 为归一化常数，归一化条件为2∑∞==n n C αα=nn n n C ∑∞=022!λ=1(59)由于2!λλen nn n=∑∞=(60)所以2120i C ee λδ-= (61)通常可以取0C 为正实数，即取 δ=0 ，这时α=n C n n ∑∞=0=n n en ∑∞=-0221!2λλ(62)此即为谐振子的相干态。