用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试
一维谐振子定态递推公式的数学推导
一维谐振子定态递推公式的数学推导一维谐振子是量子力学中一个非常重要的模型，它在很多物理现象中都有应用。
咱们今天就来好好聊聊一维谐振子定态递推公式的数学推导。
先说说什么是一维谐振子。
想象一下一个小球被一根弹簧拴在一个固定点上，然后在一条直线上振动，这就是个简单的一维谐振子模型。
在量子力学中，我们要用薛定谔方程来描述它的状态。
薛定谔方程长这样：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} +\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi$ 其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是粒子的质量，$\omega$ 是角频率，$E$ 是能量，$\psi$ 是波函数。
咱们开始推导啦！为了方便，设 $\alpha =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ ，然后令 $\xi = \alpha x$ ，这样薛定谔方程就变成了：$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} -\xi^2)\psi = 0$ 。
我们假设波函数可以写成幂级数的形式：$\psi(\xi) =\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n$ 。
对它求导两次：$\frac{d\psi}{d\xi} =\sum_{n=1}^{\infty} n c_n \xi^{n-1}$ ，$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} =\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2}$ 。
把这些代入薛定谔方程，得到：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} - \xi^2)\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n = 0$把级数展开，然后合并同类项：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} +\frac{2E}{\hbar\omega}\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n -\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^{n+2} = 0$为了让等式成立，各项的系数都得是 0。
关于电场中线性谐振子问题的求解
关于电场中线性谐振子问题的求解张小伟【摘要】线性谐振子是量子力学中非常重要的一个模型,本文列举了求解电场中线性谐振子能量和波函数的不同方法,并比较几种方法的优缺点.【期刊名称】《黑龙江科学》【年(卷),期】2017(008)010【总页数】3页(P178-180)【关键词】线性谐振子;微扰理论;费曼-海尔曼定理【作者】张小伟【作者单位】黔南民族师范学院物理与电子科学学院,贵州都匀 558000【正文语种】中文【中图分类】O413.1量子力学中关于线性谐振子的研究很多，最主要是因为谐振子往往可作许多复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究，无论在理论还是在应用方面都很重要。
量子力学的各类教程中，最基本的是用薛定谔方程求解一维线性谐振子的能量和波函数。
本文列举几种不同方法求解电场中的一维谐振子的能量和波函数，并对不同方法进行比较。
设电荷为q的一维谐振子，将其放在均匀电场ε中，谐振子的势能为mω2x2-qεx，则体系哈密顿算符为：一维自由线性谐振子的能量和波函数可以通过解定态薛定谔方程求得，能级为：能级间隔为ћω，对应能量En的波函数为：由归一化条件可求得归一化系数：带电谐振子因为受到电场的作用，其哈密顿算符中势能项多了一个变量的一次项-qεx。
用坐标平移法(1)式可变为：令式变为：其中，可见′所表示的体系可看成自由线性谐振子，相应各级的能级为：所以带电线性谐振子能级：能级间隔为ћω，可见电场并没有改变谐振子的能级间隔。
对应的波函数为，则En对应的波函数和几率密度为：由(7)、(8)式和(9)式可知，相对无电场时的线性谐振子，电场并没有改变谐振子的能谱形状，只是各级能级比相应的能级降低了，波函数和几率密度的平衡点右平移了个单位。
针对带电线性谐振子的问题，体系的哈密顿算符不是时间的显函数，要用到定态微扰理论求解，微扰理论一般是从简单问题的精确解出发求解复杂问题的近似解。
若电场为弱电场，则线性谐振子的哈密顿量可写成：其中mω2x2是可以精确求解的哈密顿量，求得的能级等于(2)式，波函数等于(3)式的结果，′=-qεx可看成微扰项。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示一维线性谐振子是量子力学中重要的模型系统之一，它被广泛应用于许多领域，包括原子物理、分子物理和固体物理等。
在本文中，我们将会进行一维线性谐振子的波函数及概率分布的可视演示，通过图像和数学方程式的结合，来帮助读者更直观地理解这一重要模型系统。
一维线性谐振子的哈密顿量可以写成如下形式：\[ \hat{H} = -\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]m为谐振子的质量，ω为谐振频率，ħ为普朗克常量。
谐振子的能量本征态满足薛定谔方程:\[ \hat{H}\psi(x) = E\psi(x) \]E为能量本征值，ψ(x)为波函数。
下面，我们将通过数学方程式和图像的结合，来展示一维线性谐振子的波函数及概率分布。
我们首先绘制一维线性谐振子的前几个能级的波函数图像。
通过数值计算和图像化技术，我们可以得到一维线性谐振子在不同能级下的波函数的形状。
在这些波函数图像中，我们可以看到波函数在空间中的分布情况，以及不同能级下波函数的节点、振荡等特性。
这样一来，读者可以更直观地理解一维线性谐振子的波函数在空间中的分布规律。
接下来，我们将展示一维线性谐振子的概率分布。
一维线性谐振子的概率分布可以通过波函数的模长的平方来表示:\[ P(x) = |\psi(x)|^2 \]通过绘制一维线性谐振子在不同能级下的概率分布图像，我们可以直观地展示谐振子在空间中的概率分布情况。
这可以帮助读者更加清晰地了解一维线性谐振子的概率分布规律。
通过波函数及概率分布的可视演示，读者可以更加深入地理解一维线性谐振子模型系统的性质。
通过图像和数学方程式的结合，我们可以直观地看到一维线性谐振子的波函数在空间中的分布情况，以及概率分布的特性。
这样一来，读者可以更加深入地理解一维线性谐振子系统的物理本质。
lecture9 一维谐振子问题波动力学
1 E0 0 2E0 0 2 2 A 2 E0 m0
A
m0
x
m0 /
1
②在 x ( A, ) 区间内,即 (1, ) 区间内
发现振子的几率： e
1
2
d / e
0
2
d 16% 0
5)谐振子处于高激发态时 n 15
由5. E 11.线性谐振子能级：
1 0 2
1 En (n ) 0 , (n 0, 1, 2, 3, 2
)
12.线性谐振子能级性质：
1) 能级分立,且非简并 2) 能隙间距相等 3) 具有零点能,即基态能为非零:
1 E0 0 2
4) 零点能的实验证据： 温度趋于绝对零度时，散射光强趋于一个不为零的值 13.级数法得谐振子本征波函数解：
2 / 2
H ( )
待确定函数 H ( ) 须满足,对于 R, H ( ) 为有限
d 2H dH 2 ( 1) H 0 2 d d
10.采用级数法解方程9. 得：欲满足 的情况下 H ( ) 为有限值，必须
2n 1, (n 0,1, 2, )
3) [Q, P ]
[ x, p ] i
4) 5)
[a, a ] 1 [a, a a] a, [a , a a] a
p2 1 1 1 2 2 2 2 m0 x 0 ( P Q ) 0 (a a ) 6) H 2m 2 2 2
7)
dH n ( ) 2nH n 1 ( ) d
Hn1 ( ) 2 Hn ( ) 2nHn1 ( ) 0
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示一维线性谐振子是量子力学中的经典问题之一，它是描述原子、分子和晶格振动的重要模型。
一维线性谐振子的波函数及概率分布对于理解量子力学的基本原理具有重要意义。
本文将针对一维线性谐振子的波函数及概率分布进行可视化演示，帮助读者更直观地理解这一重要问题。
一维线性谐振子的哈密顿量可表示为：\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]\( \hbar \)为约化普朗克常数，m为谐振子的质量，\( \omega \)为振动频率，x为位置算符。
谐振子的定态波函数可表示为：\[ \psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \right)e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}} \]\( \psi_n(x) \)为第n个能级的波函数，Hn(x)为厄米多项式。
接下来，我们将通过数值计算的方法，对谐振子的波函数及概率分布进行可视化演示。
我们将选择一个合适的谐振子势能函数，并设定谐振子的质量m和振动频率ω的数值。
假设我们选择的谐振子势能函数为：\[ V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]并且选择谐振子的质量m为1kg，振动频率为\( \omega = 2\pi \)rad/s。
通过这些设定，我们可以计算出谐振子的波函数及概率分布。
接下来，我们将利用数值计算的方法，求解谐振子的波函数。
我们可以利用数值方法（如数值积分、微分方程求解等）来求解Schrodinger方程，并得到谐振子的波函数。
一般来说，我们可以利用数值计算软件（如MATLAB、Python等）来进行计算。
量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。
在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。
谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。
一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。
谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。
波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。
概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。
在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。
通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。
1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。
在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。
谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。
波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。
谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。
波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。
通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。
谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。
一维谐振子基态和激发态的波函数
标题：深度探讨一维谐振子基态和激发态的波函数一、引言一维谐振子是量子力学中的经典问题之一，它的波函数描述了粒子在谐振势场中的运动状态。
在本文中，我们将深入探讨一维谐振子的基态和激发态的波函数，分析其数学形式和物理意义，以帮助读者更好地理解这一重要概念。
二、基态的波函数让我们来分析一维谐振子的基态波函数。
基态对应能量最低的状态，其波函数通常用Ψ₁(x)来表示。
在一维谐振子中，基态波函数可以用简单的数学形式进行描述：Ψ₁(x) = (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx²/2ħ)其中，m是粒子的质量，ω是振子的角频率，ħ是约化普朗克常数。
这个波函数描述了基态下粒子在空间中的分布情况，通过对波函数的形式和特性进行分析，我们可以了解到粒子在基态下的基本运动状态和概率分布规律。
在基态下，粒子处于能量最低的状态，波函数的峰值对应着粒子最有可能出现的位置。
基态波函数的特性还可以通过数学手段进行分析，例如计算平均位置、动量期望值等，这些都能帮助我们更好地理解基态下粒子的运动规律和物理性质。
三、激发态的波函数接下来，我们将讨论一维谐振子的激发态波函数。
激发态对应能量高于基态的状态，其波函数通常用Ψ₂(x)来表示。
在一维谐振子中，激发态波函数的数学形式相对复杂一些，但通过分析和理解其特性，我们同样可以获得丰富的物理信息。
激发态波函数通常包含更多的波峰和波谷，描述了粒子在激发状态下的空间分布情况。
通过比较基态和激发态波函数的形式和特性，我们可以发现它们之间的微妙差别，并据此推断粒子在不同能级状态下的运动规律和行为。
激发态波函数的数学性质也具有重要意义，例如其振幅、波长、频率等特征参数都可以提供宝贵的信息。
通过对激发态波函数进行分析，我们可以更全面地理解粒子在谐振势场中的非基态运动状态，为进一步研究和应用提供重要的参考依据。
四、总结与展望通过本文的深度探讨，我们对一维谐振子的基态和激发态波函数有了全面的理解。
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用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试本文旨在结合《高等量子力学》课上关于Feynman传播函数的知识，以及参考侯伯元教授编著的《路径积分与量子物理导引》的知识，尝试用路径积分的方法来求解一维谐振子的问题。
直接引用课上推导的结果，Feynman传播子为：()()12212 11,,exp22j jj j j j jx xm mx t x t i V xiεεπεε+++⎧⎫⎡⎤-⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎢⎥=-+O⎨⎬⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（1）式子中，令1j jt tε+≡-，并已采用自然单位制，1=。
式（1）中，有()()212j jj jx xmL t V xε+-⎛⎫≡-⎪⎝⎭（2）是拉氏量。
考虑一维谐振子，其拉氏量为：22222m mL x xω=-（3）那么，Feynman传播子为()()()1222212 11,,exp222j jj j j jx xm mD x x i x xiωεεεπεε+++⎧⎫⎡⎤-⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎢⎥=--+O⎨⎬⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（4）令20012,222m ma bωεεε⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦则，式（4）改写为：()(){}()122210101,,exp22j j j j j jmD x x i a x x b x xiεεπε+++⎛⎫⎡⎤=--⋅+O⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（5）而对于Feynman传播函数有，()()(){},;,exp fitF f f i i tD x t x t D x t i L t dt=⎡⎤⎣⎦⎰⎰（6）代入式（5）的结论，则有：()()112220101010,;,exp 22lim NN N Ff f i i jj j j j N j j m D x t x t dx i a x x b x x i επε--++→∞==→⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎡⎤=⨯+-⋅⎢⎥⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦∑∏⎰ （7）利用迭代的方法来计算，并令式（7）为：(){}11110,;,exp lim N Ff f i i j N j D x t x t A dx i εφ-→∞=→⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦∏⎰ （8）式中，212NmA i πε⎛⎫= ⎪⎝⎭；()12210101112N j j j j j a x x b x x φα-++=⎡⎤=+-⋅+⎣⎦∑. （9）其中，令：()()()()()2222200102001202000222001201201200222222b b a x x a x x x x x a a b a x x x a x x b x x a α⎡⎤=++-+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++-⎢⎥⎣⎦式中，又有：220010100,.22b b a a b a a =-=那么，即可以对式（7）中变量积分，得：122102i A A a π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()1222220*********222N j j j j j a x x b x x a x x b x x φ-++=⎡⎤=+-⋅+++-⎣⎦∑1x同理，依次对积分，并利用数学归纳法，则有：()()112220101010,;,exp 22lim N N N Ff f i i j j j j j N j j mD x t x t dx i a x x b x x i επε--++→∞==→⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎡⎤=⨯+-⋅⎢⎥⎨⎬⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦∑∏⎰（10）式中，()200012220121100112,,22,.k k k k k m a b b b b a b a b b a a ωεε----⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-=+ （11）为得到时的则需求时的各个的值。
引入，利用时，利用Taylor 展开式中的领头阶项定义：11sin 22ωεϖε⎛⎫= ⎪⎝⎭因为时，有故可以得到，200012sin cos 2a b b ϖεϖε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭以及递推关系：11cos k k b b ϖε-=+利用数列知识，可最终求得：()0sin 11sin k k b b ϖεϖε+=231,k x x x -…(),;,F f f i iD x t x t N →∞,k ka b N →∞ε→ϖ0ε→ϖω→则，有()sin 2sin 1k m b k ϖεεϖε=+于是，()()()1222200cos 1sin 2sin 1k kkk m a b a b b k ϖεϖεεϖε+=+-==+()01sin 12sin k k m a a k ϖεεϖε-++=（12）将以上结果代入式（10）中，便得到一维谐振子Feynman 传播函数的最终结果：()()()()1112210220001222sin ,;,2sin 1sin cos sin exp 22sin sin exp cos ()22sin ()2sin ()lim N F f f i i N j N N f i f i f f i f i mD x t x t i k m N m i x x b x x N N m m i t t x x x i t t t t εϖεπεϖεϖεϖεϖεεϖεεϖεωωωπωω-→∞=→⎡⎤⎛⎫=⨯⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎡⎤+-⋅⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪--⎝⎭∏i x ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⋅⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭（13）对式（13）所得的Feynman 传播函数取迹，有此体系的迹核函数：()()[]()21cos 12sin 001122122,;,02sin sin 2sin cos 111m ix iH F i i n i n m d D x x tr edx ei m i i m ee e ωωττωτωτωτωτωττπωτωπωτπωτωωτ--⎛⎫∞-+- ⎪⎝⎭-=⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎰⎰∑ （14）可见，一维谐振子束缚态能级为1,0,1,22n n n E ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭=…（15）Feynman 传播子在能量表象下的矩阵元为()()()()()f i n f i iH t t f f i i f iniE t t n f n i nx U t t x x n n ex ex x ψψ∧----*-==∑∑ （16）对于一维谐振子的波函数，则可由以下过程得到， 令则有，()()()()222212sin 1112cos 11i t i t i t i t i t e e t e e ωωωωωξξωξξ---=-=-=+=+ （17）则，根据式（13），得到：将此式与厄米多项式双线性母函数对比：()()2222022()(y)!1nnnn t x y t xyt H x H n t ∞=⎡⎤-++⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦∑（18）()()()()()()122212212222122222,;,0exp cos ()22sin ()2sin ()11exp 221exp exp 21F f i f i f i m im D x t y t t x y x y i t t t t m m x y x y m m m x y x y ωωωπωωωωξξξξπξξωωωξπξ-⎛⎫⎧⎫⎪⎪=⨯-+-⋅ ⎪⎨⎬ ⎪--⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎧⎫⎡⎤-+⎪⎪⎛⎫=-⨯+-⋅⎨⎬⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎡=-+-+ ⎪⎢-⎝⎭⎣()222x y ξξ⎧⎫⎡⎤-⋅⎨⎬⎣⎦⎩⎭i e ωτξ-=其中，是厄米多项式。
()()11222201,;,0exp 22!i n F n n nn m m D x t y x y H H e n ωτωωπ⎛⎫∞-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑（19）容易通过对比式（18）和式（19）得到，一维谐振子的波函数为：()11242!exp 22n n n n m m x x H ωωϕπ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （20）对应的能量本征值为：12n n E ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭= （21）通过以上的分析可见，利用路径积分方法得到的一维谐振子解与利用量子力学的其他方法得到的解是一致的。
()n H x。