周 一维谐振子问题
一维谐振子定态递推公式的数学推导
一维谐振子定态递推公式的数学推导一维谐振子是量子力学中一个非常重要的模型，它在很多物理现象中都有应用。
咱们今天就来好好聊聊一维谐振子定态递推公式的数学推导。
先说说什么是一维谐振子。
想象一下一个小球被一根弹簧拴在一个固定点上，然后在一条直线上振动，这就是个简单的一维谐振子模型。
在量子力学中，我们要用薛定谔方程来描述它的状态。
薛定谔方程长这样：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} +\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\psi = E\psi$ 其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$m$ 是粒子的质量，$\omega$ 是角频率，$E$ 是能量，$\psi$ 是波函数。
咱们开始推导啦！为了方便，设 $\alpha =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ ，然后令 $\xi = \alpha x$ ，这样薛定谔方程就变成了：$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} -\xi^2)\psi = 0$ 。
我们假设波函数可以写成幂级数的形式：$\psi(\xi) =\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n$ 。
对它求导两次：$\frac{d\psi}{d\xi} =\sum_{n=1}^{\infty} n c_n \xi^{n-1}$ ，$\frac{d^2\psi}{d\xi^2} =\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2}$ 。
把这些代入薛定谔方程，得到：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} + (\frac{2E}{\hbar\omega} - \xi^2)\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n = 0$把级数展开，然后合并同类项：$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_n \xi^{n-2} +\frac{2E}{\hbar\omega}\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^n -\sum_{n=0}^{\infty} c_n \xi^{n+2} = 0$为了让等式成立，各项的系数都得是 0。
lecture9 一维谐振子问题波动力学
1 E0 0 2E0 0 2 2 A 2 E0 m0
A
m0
x
m0 /
1
②在 x ( A, ) 区间内,即 (1, ) 区间内
发现振子的几率： e
1
2
d / e
0
2
d 16% 0
5)谐振子处于高激发态时 n 15
由5. E 11.线性谐振子能级：
1 0 2
1 En (n ) 0 , (n 0, 1, 2, 3, 2
)
12.线性谐振子能级性质：
1) 能级分立,且非简并 2) 能隙间距相等 3) 具有零点能,即基态能为非零:
1 E0 0 2
4) 零点能的实验证据： 温度趋于绝对零度时，散射光强趋于一个不为零的值 13.级数法得谐振子本征波函数解：
2 / 2
H ( )
待确定函数 H ( ) 须满足,对于 R, H ( ) 为有限
d 2H dH 2 ( 1) H 0 2 d d
10.采用级数法解方程9. 得：欲满足 的情况下 H ( ) 为有限值，必须
2n 1, (n 0,1, 2, )
3) [Q, P ]
[ x, p ] i
4) 5)
[a, a ] 1 [a, a a] a, [a , a a] a
p2 1 1 1 2 2 2 2 m0 x 0 ( P Q ) 0 (a a ) 6) H 2m 2 2 2
7)
dH n ( ) 2nH n 1 ( ) d
Hn1 ( ) 2 Hn ( ) 2nHn1 ( ) 0
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
周 一维谐振子问题
经典力学中，一维谐振子的哈密顿
p p 1 2 2 H V m x 2m 2m 2
上式用相应算符代入，得
2
2
d 1 2 2 ˆ H m x 2 2m dx 2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
2
2
————一维谐振子的定态薛定谔方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
=
1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度
1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2
应 用 实 例
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的 递推关系：
1 x n ( x )
2
x 2 n ( x )
d dx d2 dx 2
1 2 2
n(n 1) n(n 1)
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
1 2 2 V m x 2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动， 分子振动 晶格振动
原子核表面振动
辐射场的振动
1 V V ( x ) V (a ) 1! x
1 2
（5）厄密多项式 附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为 厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
量子力学3.3一维谐振子
量子隧道效应实验
总结词
量子隧道效应实验是用来验证量子力学中隧 道效应的实验方法，通过观察粒子穿越障碍 物的现象，可以证明粒子具有穿越障碍物的 能力。
详细描述
在量子隧道效应实验中，粒子在一定能量下 可以穿越高于其自身能量的势垒，这种现象 被称为量子隧道效应。实验中可以通过测量 穿越势垒的粒子数量和能量分布，来验证量 子力学中隧道效应的预测。
子不同。
干涉实验
总结词
干涉实验是用来验证量子力学中波动性 质的另一种实验方法，通过观察粒子在 通过两个相距较近的障碍物后产生的干 涉现象，可以进一步验证量子力学的正 确性。
VS
详细描述
在干涉实验中，粒子通过两个相距较近的 障碍物后，会在屏幕上产生类似于水波通 过两个相距较近的小孔后产生的干涉条纹 。这进一步证明了粒子具有波动性质，并 且其行为方式与经典物理中的粒子不同。
05
CATALOGUE
一维谐振子的实验验证
双缝实验
总结词
双缝实验是用来验证量子力学中波动性质的经典实验，通过观察电子通过双缝后的干涉 现象，可以证明电子具有波动性。
详细描述
在双缝实验中，电子通过双缝后会在屏幕上产生干涉条纹，类似于水波通过两个相距较 近的小孔后产生的干涉现象。这表明电子具有波动性质，其行为方式与经典物理中的粒
经典力学中的一维谐振子
1
在经典力学中，一维谐振子通常由弹簧和质点组 成，其运动方程为 Hooke定律。
2
一维谐振子的能量与其振幅的平方成正比，当能 量增加时，振幅也会增加，导致系统的不稳定性 。
3
在经典力学中，一维谐振子的运动轨迹是确定的 ，可以用经典力学方程进行描述。
02
CATALOGUE
一维谐振子零点能问题
（♥）
可证明，对谐振子的任何一个能量本征态 ψ n 有： * * ˆ ψ n ( x) d x = ∫ ψ n x = ∫ ψn ( x) x ( x ) xψ n ( x ) d x = 0 ∂ψ n ( x ) * * ˆ ψ n ( x ) d x = − ih ∫ ψ n ( x ) p = ∫ ψ n ( x) p dx=0
ˆ, p ˆx]≡ x ˆp ˆx − p ˆxx ˆ ≡ ih ˆ x 的对易关系 [ x ˆ 和 p 利用 x
可证明下面的对易关系：
ih 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx [ x, H ] = [ x, px ] = p m 2m ˆ ] = 1 k[ p ˆx,H ˆx, x ˆ 2 ] = − i h kx ˆ [p 2
1 ⎡ * ⎤ ˆ ψ ( x) d x − [H ˆ *ψ * ( x )] p ˆ ˆ ψ ( x ) p H ψ ( x ) d x = x n n x n ∫ ⎥ ⎦ ⎣∫ n − ihk ⎢
对谐振子的任何一个能量本征态 ψ n 有：
ˆ ψ ( x ) = E ψ ( x ), H n n n ˆ *ψ * ( x ) = [ H ˆ ψ ( x )]∗ = E ψ * ( x ) H n n n n
x = 0, p=0
（1）对易关系
ˆxx ˆ ψ = − ih p
∂ψ ∂ ˆp ˆ xψ ( xψ ) = − i h ψ + x ( − i h ) = − ih ψ + x ∂x ∂x
ˆp ˆx − p ˆxx ˆ )ψ = ihψ 对任意函数成立，所以： (x
ˆ x 的对易关系 ˆ, p ˆx]≡ x ˆp ˆx − p ˆxx ˆ ≡ ih 称为 x [x ˆ 和 p
16-4 一维谐振子问题
vx F I f 2 px 2 a me a '
2 2 2 ˆ 将算符 p x ( i ) 2 代入上式，得 x x
2 2 F me a x 2
ˆ A A ( r ) A ( r ) d
,
考虑一维谐振子的基态：
1 E 0 2 2 1 x
=
1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度
1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
与 e 的渐进行为相同。
( ) 在 时将趋向无穷 若H ( ) 为无穷级数时， H ( ) 必 大。为了在 时，波函数仍有限， 须断为多项式。因为如果 H ( ) 是多项式，当
2
时，它趋于无穷的行为永远比 e
2 /2
趋于
零慢，从而保证了 ( ) 在 是有限。
粒子的动量的平均值：
i p
a ˆ dx p p 0
0
2 a nx d nx sin (i ) sin dx a 0 a dx a
在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
2 2
2k 2 22n2 En , n 1,2 ,3, 2 2 2 a
平均动能，即平均能量，是量子化的。
例4:求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位 置。 解: 要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密 度求极大即可。
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[bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
k
即： bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次
从而导出系数 bk 的递推公式：
幂前的系数均应 为零，
bk 2
2k 1
(k 1)(k 2) bk
由上式可以看出：
a
x
0
V0
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
V ( x) 1 kx2 2
a
x
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基
本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
b k2 k2 bk k
2k 1 2 (k 1)(k 2)
k
22 k
为此考察相邻 两项之比：
考察幂级数exp[
exp[ 2 ] 1 2
4
k
k2
展开式的收敛性
1! 2!
(
k 2
)!
(
k 2
1)!
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
V 1 m2x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，
分子振动 晶格振动 原子核表面振动 辐射场的振动
V ( x) V (a) 1 V 1! x
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
x,
,
2E
d 2 () ( 2 ) () 0 d 2
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 维谐振子的能此量式本是征一值变和系与数其二对阶应常的微本分征方波程函数。
（2）方程求解
‘先两端，带中间’原则，即当 ξ→±∞ 时
2n 1
bn2 (n 1)(n 2) bn 0
bn 0,
2n 1 0
因为
2E
E
1 2
于是最后得：
E
(n
1 2
)
n 0,1,2,
结论 基于波函数 在无穷远处的 有限性条件导致了 能量必须取
分立值。
（5）厄密多项式
附加有限性条件得到了 H(ξ)的 一个多项式，该多项式称为 厄密 多项式，记为 Hn(ξ)，于是总波 函数可表示为：
b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。
因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2]
经典力学中，一维谐振子的哈密顿
H p2 V p2 1 m2x2
2m 2m 2
上式用相应算符代入，得
Hˆ
2
2m
d2 dx2
1 2
m2 x2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
————一维谐振子的定态薛定谔方程
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
————一维谐振子的能量本征值方程
1 2V
(x
xa
a)
2!
x 2
( x a)2
xa
V (Va)(a)V0 V0
V V 0 x x xa xa 0
其中：k
2V x2
xa
V0
1 2!
2V x 2
( x a)2
xa
V0
1 2
k(
x
a)2
V(x)
例如双原子分子，两原 子间的势V是二者相对距 离x的函数，如图所示。 在 x = a 处，V 有一极小 值V0 。在 x = a 附近势 可以展开成泰勒级数：
(
k 2
1)!
k
(
k 2
)!
2
(
k 2
1)!
(
k 2
1 2
1)
k
22
k
(
k 2
)!
当ξ→±∞时， H(ξ)的渐 行为与exp[ξ2]相同。
所以总波函数有如下发散行为：
(
)
H (
) e xp[
1 2
2
]
exp[
2 ]exp[
1 2
2]
exp[
1 2
2
]
为了满足波函数有限性要求，幂级数 H ( ) 必须从某一项截 断变成一个多项式。换言之，要求 H ( ) 从某一项（比如第 n 项）起 以后各项的系数均为零，即 bn 0,bn2 0
波函数ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2
d 2 ( ) [ 2 ] ( ) 0
d 2
1. 渐近解
d 2 d 2
2
0
其解为： ( ) exp( 2 / 2)
欲验证解的正确性，可将其代回方程，
d d e 2 / 2 d d
d 2 d 2
d
d
[ ]
d d
ξ2 >> ± 1
[ 2 1] 2
所以
c1e 2 / 2 c2e 2 / 2
波函数有限性条件：
当ξ→±∞ 时，应 有 c2 = 0，
因整个波函数尚未归一化， 所以c1可以令其等于1。最 后渐近波函数为：
e 2 / 2
为了使方程 d 2 d 2
[ 2 ] (x) 0的波函数
在无穷远处有 e 2 / 2渐近形式，那么令：
n
Nn
exp[
1 2
2
]H n (
)
H 2H ( 1)H 0
归一化系数
H
n
2H
n
2nH n
0
封闭形式解：
Hn()
Hn (
)
(1)n
exp[
2]
dn
d n
exp[
2]
由上式可以看出，Hn ( ) 的最高次幂是 n 其系数是 2n。
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
dH n
一 经典简谐运动 弹簧振子的振动
l0 k
A
x0 F 0
m
x
o
A
一维谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题
在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2 dt
x
2
2
x
0
因为
所以
F dV dx
因：k m2V 来自kxdx1 2
kx2
V0
1 2
m2 x2
( ) H( )e 2 / 2
其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准 条件。即：
① 当ξ有限时，H(ξ)有限； ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
2. H ( ) 满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
H 2H ( 1)H 0