名思教案模板-导数的解题技巧

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课题 导数
教学目标
重难点透视
知识点剖析
序号 知识点
预估时间
掌握情况
1 2 3
4
教学内容 导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)x
x
y e
e x =-+≥的曲线关于直线y
x =对称的曲线的方程
为
A.
ln(1)y x =+
B.ln(1)
y
x =-
C. ln(1)y x =-+
D.
ln(1)
y x =--
[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥ ， 即：1ln(1)x e y x y =+⇒=+，所以1
()ln(1)f
x x -=+
.
故选A.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1
x a f x x -=
-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P ,则实数a 的取值范
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围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.
1
x a
x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时
()()()/
/
22
11,0.11111.
x x a x a
x a a y y x x x x a ------⎛⎫
=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时,
1.
a ∴>
考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题
例3.（2004年重庆卷）已知曲线y =3
1x 3+3
4，则过点P （2，4）的切线方程是_____________.
思路启迪：求导来求得切线斜率.
解答过程：y ′=x 2，当x =2时，y ′=4.∴切线的斜率为4. ∴切线的方程为y －4=4（x －2），即y =4x －4. 答案：4x －y －4=0.
例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y -
-=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而3
4y x
'=，所
以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 2
+y 2
-4x +2y +2
5=0相切的直线的方程为 ( )
A.y =-3x 或y =3
1x B. y =-3x 或y =-3
1x C.y =-3x 或y =-3
1x D. y =3x 或y =3
1x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22
521,2,1.2
x y -++=
∴-圆心为
2
2
2151,3830., 3.2
3
1k k k k k k +∴
=
∴+-=∴=
=-+
1,3.3
y x y x ∴=
=-或
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,
2
2
22⎛
⎫- ⎪⎝⎭
由
()()/
/
22/
/
/
/11
3
231(,)(,)22
22
5
(2)1,
22(2)210,
2.
1
13,.
3
13,.
3x
x
x x x
x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=
故选A.
例 6.已知两抛物线a
x
y C x x
y C +-=+=2
22
1:,2:,
a
取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公
切线的方程. 思路启迪：先对a
x
y C x x
y C +-=+=2
22
1:,2:求导数.
解答过程：函数
x
x
y 22
+=的导数为
2
2'
+=x y ，曲线1
C 在点P(
1
2
112,x x x +)处的切线方程为
))(2(2)2(1112
1x x x x x y -+=+-，即 2
1
1)1(2x x x y -+= ①
曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即
a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得
1,12
22
121+=--=+x x x x ，消去
2x 得方程，0122121=+++a x x
若△=0)1(244=+⨯-a ，即2
1-
=a 时，解得2
11
-
=x ，此时点P 、Q 重合.
∴当时2
1-
=a
，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14
y
x =-
.
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式;
2. 求函数的值域;
3.解决单调性问题;
4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)
(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函
数
)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点.
a
b
x
y
)
(x f y '=O
课
堂
总
结
课后作业：
课堂反馈：
○非常满意○满意○一般○差
学生签字：校长签字：___________。