高中导数题的解题技巧

导数题的解题技巧【命题趋向】导数命题趋势：导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用． 【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.例1．（2006年辽宁卷）与方程221(0)x xy e e x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为 A.ln(1)y x =+ B.ln(1)y x =- C. ln(1)y x =-+ D. ln(1)y x =--[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 [解答过程]2221(0)(1)x x x y e e x e y =-+≥⇒-=，0,1x x e ≥∴≥， 即：1ln(1)x e y x y =+⇒=+，所以1()ln(1)f x x -=+. 故选A.例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1x a f x x -=-,集合{|()0}x f x <'{|()0}x f x >,若,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1∞)D. [1∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线(x)在某一点P （）的切线，即求出函数(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题例3.（2004年重庆卷）已知曲线313+34，则过点P （2，4）的切线方程是.思路启迪：求导来求得切线斜率.解答过程：y ′2，当2时，y ′=4.∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －4=4（x －2），即4x －4. 答案：4x －y －4=0.例4.（2006年安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x 22 -42250相切的直线的方程为 ( )3x 或31 B. 3x 或31 3x 或31 D. 3x 或31[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为213830., 3.3k k k k =+-=∴==- 1,3.3y x y x ∴==-或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 ()()//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3x xx x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题例7．（2006年天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8. 设y f x =()为三次函数，且图象关于原点对称，当x =12时，f x ()的极小值为-1，求出函数f x ()的解析式.思路启迪：先设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，再利用图象关于原点对称确定系数. 解答过程：设f x ax bx cx d a ()()=+++≠320，因为其图象关于原点对称，即f x ()-=-f x ()，得ax bx cx d ax bx cx d b d f x ax cx3232300+++=-+-∴===+，，，即()由f x ax c '()=+32，依题意，f a c '()12340=+=，f a c()121821=+=-， 解之，得a c ==-43，.故所求函数的解析式为f x x x ()=-433. 例9.函数y x x =+-+243的值域是.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。

此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由24030x x +≥+≥⎧⎨⎩得，x ≥-2，即函数的定义域为[,)-+∞2. y x x x x x x '=+-+=+-++⋅+12412323242243， 又2324282324x x x x x +-+=++++， ∴当x ≥-2时，y '>0，∴函数y x x =+-+243在(,)-+∞2上是增函数，而f ()-=-21，∴=+-+y x x 243的值域是[,)-+∞1.例10．（2006年天津卷）已知函数()θθcos 163cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()x f 在区间()a a ,12-内都是增函数，求实数a 的取值范围． [考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程]（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值. （Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2x x θ==.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在cos 2x =处取得极小值cos f()2，且3cos 13()cos 2416f θθθ=-+.要使cos ()02f θ>，必有213cos (cos )044θθ-->，可得0cos θ<.由于0cos θ≤≤，故3116226ππππθθ<<<<或.②当时cos 0θ<，随x 的变化，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()0f x x =在处取得极小值(0)f ，且3(0)cos .16f θ=若(0)0f >，则cos 0θ>.矛盾.所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零.综上，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内的极小值大于零，参数θ的取值范围为311(,)(,)6226ππππ⋃.（）解：由（）知，函数()f x 在区间(,)-∞+∞与cos(,)2θ+∞内都是增函数。

由题设，函数()(21,)f x a a -在内是增函数，则a 须满足不等式组210a a a -<≤或21121cos 2a a a θ-<-≥由（），参数时311(,)(,)6226ππππθ∈⋃时，0cos θ<<.要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有21a -≥，a ≤.综上，解得0a ≤1a ≤<.所以a 的取值范围是(,0)-∞⋃.例11．(2006年山东卷)设函数f (x )－(1)(1)，其中≥1，求f (x )的单调区间.[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+（1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， （2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a='、随x 的变化情况如下表从上表可知当1(1,)x a∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a-上单调递减.当1(,)x a∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a-上单调递减，函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增.例12．（2006年北京卷）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值.[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在(),1-∞上()'0f x >，在()1,2上()'0f x <，在()2,+∞上()'0f x >,故()f x 在∞∞（-，1），（2，+）上递增，在(1,2)上递减， 因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x = （Ⅱ）'2()32,f x ax bx c =++由'''f f f （1）=0，（2）＝0，（1）＝5， 得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,9,12.a b c ==-=解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设'2()(1)(2)32,f x m x x mx mx m =--=-+ 又'2()32,f x ax bx c =++ 所以3,,232m a b m c m ==-=32|3()2,32m f x x mx mx =-+ 由(1)5f =，即325,32m m m -+=得6,m =所以2,9,12a b c ==-=例13．（2006年湖北卷）设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－x ,由f `(3)=0，得 －[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3－x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋1)e 3－x .令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点， 所以1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a ―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a ―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a >－4时，x 2<3＝x 1，则在区间（－∞，―a ―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a ―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a >0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[(f (0)，f (4) )，f (3)]，而f (0)＝－（2a ＋3）e 3<0，f (4)＝（2a ＋13）e －1>0，f (3)＝a ＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a ＋3）e 3，a ＋6]. 又225()()4x g x a e =+在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a 2＋425，（a 2＋425）e 4]，由于（a 2＋425）－（a ＋6）＝a 2－a ＋41＝（21-a ）2≥0，所以只须仅须（a 2＋425）－（a ＋6）<1且a >0，解得0<a <23.故a 的取值范围是（0，23）.例14 （2004年天津卷）已知函数f （x ）32－3x 在±1处取得极值. （1）讨论f （1）和f （－1）是函数f （x ）的极大值还是极小值； （2）过点A （0，16）作曲线（x ）的切线，求出此切线方程.思路启迪：（1）分析±1处的极值情况，关键是分析±1左右f '（x ）的符号.（2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.解答过程：：（1）f '（x ）=32+2－3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得1，0.∴f （x ）3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得－1，1.若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数. 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.（2）曲线3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 003－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －16=0.小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 考点4 导数的实际应用建立函数模型,利用 典型例题例15.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器 （切、焊损耗不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a ）,在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b ）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积1V ； 由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积12V V >.解答过程： （1）设切去的正方形边长为x ，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x ，所以,)44(4)24(2321x x x x x V +-=-=,)20(<<x .∴)483(421'+-=x x V . 令01'=V ,得2,3221==x x (舍去).而)2)(32(121'--=x x V ,又当32<x 时, 01'>V .当232<<x 时, 01'<V ,∴当32=x 时, 1V 取最大值27128.（2）重新设计方案如下：如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器。