(完整版)高考导数题型归纳

高考压轴题：导数题型及解题方法

（自己总结供参考）

一．切线问题

题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．

（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）

（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）

练习 1. 已知曲线x x y 33

-=

（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ）

（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。

2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）

题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。（答案02=--e y x e ）

练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。（答案012=--y x 或0=y ）

2．设函数,ln 2)1()(x x x p x f --=2

)(x x g =，直线l 与函数)(),(x g x f 的图象都相切，且与函数

)(x f 的图象相切于（1,0）

，求实数p 的值。（答案1=p 或3）

二．单调性问题

题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例 已知函数x a x x a x f )1(2

1ln )(2+-+= （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）

（2）若[]e x ,2∈，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数12

1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ，若()2,1-∈x ,求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法1：研究导函数讨论。

方法2：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题，

方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意：“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。

例 已知函数2()ln f x x a x =++

x

2在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围． （答案[)+∞,0）

练习 已知函数232

)1(31)(x k x x f +-=，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．求实数k 的取值范围。（答案：31-

题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法1：正难则反，研究在某区间的不单调

方法2:研究导函数是零点问题，再检验。

方法3:直接研究不单调，分情况讨论。

例 设函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈在区间??

?

??1,21内不单调，求实数a 的取值范围。 （答案：()3,2--∈a ））

三．极值、最值问题。

题型1 求函数极值、最值。

基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。

例 已知函数12

1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ，求在()2,1-∈x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

练习 已知函数32

()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.

（答案：当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值.）

题型2 已知函数极值，求系数值或范围。

方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。

方法2.转化为函数单调性问题。

例 函数1)1(2

1)1(3141)(234+----+=

x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。（答案：1）

练习 已知函数2()ln ,.f x ax x x a =--∈R 若函数()f x 存在极值，且所有极值之和大 15ln 2

-，求a 的取值范围。（答案：()+∞,4）

题型3 已知最值，求系数值或范围。

方法：1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。

例 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． （答案：??

? ??∞-56,）

练习 已知函数x x a ax x f ln )2()(2

++-=， 当0>a 时，函数)(x f 在区间[]e ,1上的最小值是2-，求实数a 的取值范围。（答案：[)+∞,1）

四．不等式恒成立（或存在性）问题。

一些方法

1.若函数()n m x f ,)(值域，a ＞)(x f 恒成立，，则n a ≥

2.对任意()()n m x n m x ,,,21∈∈，)()(21x g x f ≥恒成立。则≥min 1)(x f max 2)(x g 。

3.对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f min 2)(x g 。

4.对(),,1n m x ∈，恒成立)()(11x g x f ≥。转化0)()(11≥-x g x f 恒成立

4. 对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥min 1)(x f min 2)(x g 。

5. 对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f max 2)(x g

6. 对()()n m x n m x ,,,21∈∈，

a x x x f x f ≥--2

121)()(成立。则构造函数ax x f x t -=)()(。 转化证明)(x t 在()n m ,是增函数。

题型1 已知不等式恒成立，求系数范围。

方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

（2）讨论法: 有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，

未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

（3）数形结合：

（4）变更主元

解题思路 1.代特值缩小范围。2. 化简不等式。3.选方法（用讨论法时，或构造新函数）。

方法一：分离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

例 函数a x x e x f x +-=)ln ()(2。在[]e x ,1∈e x f ≥)(恒成立，求实数a 取值范围。（方法：分离法，多次求导答案：[)+∞,0）

练习 设函数2)1()(ax e x x f x --=，若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围。（方法： 分离法，用罗比达法则答案：(]1,∞-）

方法二：讨论法。

有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例 设函数f(x)=21x e x ax ---.若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.

（答案：a 的取值范围为1,2??-∞ ???

）

练习 1.设函数x e

x f --=1)( ，0≥x 时，1)(+≤ax x x f ，求实数a 的取值范围 （答案：??????2

1,0）

2.函数x

x a x f 1ln )(+=，当.0>a 对x ?＞0，1)ln 2(≤-x ax ，求实数a 取值范围。 （多种方法求解。（答案：()1,0-e

）

）

方法三：变更主元

例：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，

432

3()1262

x mx x f x =--，若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. （答案：2）

练习 设函数x x x f ln )(=。证明：当a ＞3时，对任意0>x ，x e a f x a f ?<+)()(成立。 （提示x e a f x a f ?<+)()(化为

a a x e a f e x a f )()(?<++），研究a e

a f a g )()(=的单调性。）

五．函数零点问题

题型1：判断函数零点的个数。

方法：方程法；函数图象法；转化法；存在性定理

例.设31,()(1)ln 3a R f x x ax a x ∈=-++-．若函数()y f x =有零点，求a 的取值范围． （提示：当1>a 时，0)1(>f ，0)3(

????+∞,31

）

练习.求过点（1,0）作函数x x y ln -=图象的切线的个数。（答案：两条）

题型2：已知函数零点，求系数。

方法：图象法(研究函数图象与x 轴交点的个数)；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化

函数，研究函数的单调性。）

例.函数3)1(1ln )(--+-=x a x x x f 在（1,3）有极值，求实数a 的取值范围。（答案??? ??-∞-181,）

练习：1.证明：函数x x f ln )(=的图象与函数ex e

x g x 21)(-=

的图象无公共点。

六．不等式证明问题

方法1：构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。

方法2：讨论法。

方法2.研究两个函数的最值。如证)()(x g x f ≥，需证)(x f 的最小值大于)(x g 的最大值即可。

方法一：讨论法 例：已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。证明：

当0x >，且1x ≠时，ln ()1

x f x x >

-。

练习：.已知函数()(0)x

f x ax e a =->.当11a e ≤≤+时，.试讨论)(x f 与x 的大小关系。

方法二：构造函数 例：已知函数

2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，（1）若()g x 图

象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，设112212(,),(,),()A x y B x y x x <是

函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<

练习：1.设函数x x x f ln )(=。证明：当a ＞3时，对任意0>x ，x e a f x a f ?<+)()(成立。

方法三：构造函数，不等式放缩

例.已知函数)(ln )(2R m mx x x f ∈+=

(I)；若m=0，A(a,f(a))、B(b ，f(b))是函数f(x)图象上不同的两点.且a>b>0, )(x f '为f(x)的导函数，求证：)()()()2(b f b

a b f a f b a f '<--<+'

(II)求证 ：*)(1...31211)1ln(122...725232N n n n n ∈++++<+<+++++