2021届新高三数学精品专项测试题 16 利用空间向量求角学生版

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数学高三立体几何与空间向量专题复习检测(含答案)

数学高三立体几何与空间向量专题复习检测（含答案）平面几何是3维欧氏空间的几何的传统称号，下面是平面几何与空间向量专题温习检测，请考生练习。

一、选择题1.(2021武汉调研)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图可以是()解析 A、B、C与仰望图不符.答案 D2.将长方体截去一个四棱锥，失掉的几何体如下图，那么该几何体的侧(左)视图为()解析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确.答案 D3.(2021安徽卷)一个多面体的三视图如下图，那么该多面体的外表积为()A.21+3B.18+3C.21D.18解析由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如下图，那么S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-231211+234(2)2=21+3.答案 A4.S，A，B，C是球O外表上的点，SA平面ABCD，ABBC，SA=AB=1，BC=2，那么球O的外表积等于()A.4B.3C.2解析如下图，由ABBC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，所以ADDC.又SA平面ABCD，设SB1C1D1-ABCD为SA，AB，BC为棱长结构的长方体，得体对角线长为12+12+22=2R，所以R=1，球O的外表积S=4.故选A.答案 A5.(2021湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图.将该石材切削、打磨，加工成球，那么能失掉的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析由三视图可得原石材为如下图的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.假定要失掉半径最大的球，那么此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r=6+8-102=2.应选B.答案 B6.点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，那么该球的体积为()A.323B.48C.643D.163解析如下图，O1为三角形ABC的外心，过O做OEAD，OO1面ABC，AO1=33AB=3.∵OD=O A，E为DA的中点.∵AD面ABC，AD∥OO1，EO=AO1=3.DO=DE2+OE2=23.R=DO= 23.V=43(23)3=323.答案 A二、填空题7.某四棱锥的三视图如下图，该四棱锥的体积是________. 解析由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四棱锥的体积为132+3322=533. 答案 5338.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F区分是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC 的体积为V2，那么V1V2=________.解析设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，那么V1=1314S12h=124Sh=124V2，即V1V2=124. 答案 1249.在四面体ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，那么四面体ABCD的外接球的外表积为________.解析结构一个长方体，使得它的三条面对角线区分为4、5、6，设长方体的三条边区分为x，y，z，那么x2+y2+z2=772，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S=4R2=772. 答案 772三、解答题10.以下三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.左边两个是其正(主)视图和侧(左)视图. (1)请在正(主)视图的下方，依照画三视图的要求画出该多面体的仰望图(不要求表达作图进程).(2)求该多面体的体积(尺寸如图).解 (1)作出仰望图如下图.(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)失掉的，所以截去的三棱锥体积VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23，正方体体积V正方体AC1=23=8，所以所求多面体的体积V=8-23=223.11.(2021安徽卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC.过 A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点;(2)求此四棱柱被平面所分红上下两局部的体积之比.解 (1)证明：由于BQ∥AA1，BC∥AD，BCBQ=B，ADAA1=A，所以平面QBC∥平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，即Q为BB1的中点.(2)如图，衔接QA，QD.设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分红上下两局部的体积区分为V上和V下，BC=a，那么AD=2a.VQ-A1AD=13122ahd=13ahd，VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd，所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.B级才干提高组1.(2021北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).假定S1，S2，S3区分是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，那么()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3 S2D.S3=S2且S3S1解析作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积.如下图，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1=1222=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E，F 区分为OA，BC的中点)全等，所以S2=1222=2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H区分为AB，OC 的中点)全等，所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.应选D. 答案 D2.(2021山东卷)三棱锥P-ABC中，D，E区分为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，那么V1V2=________.解析由于VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，V1V2=14.答案 143.(理)(2021课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.解 (1)衔接BD交AC于点O，衔接EO.由于ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)由于PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，|PA|为单位长，树立空间直角坐标系A-xyz.那么D(0，3，0)，E0，32，12， AE=0，32，12.设B(m,0,0)(m0)，那么C(m，3，0)，AC=(m，3，0)，设n1=(x，y，z)为平面ACE的法向量，那么n1AC=0，n1AE=0，即mx+3y=0，32y+12z=0，可取n1=3m，-1，3.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|=12，即 33+4m2=12，解得m=32.由于E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=131233212=38.3.(文)如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF 的位置(点A与P重合)，使得PEB=30.(1)求证：EF(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的正面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.解 (1)证明：∵AB=BC，BCAB，又∵EF∥BC，EFAB，即EFBE，EFPE.又BEPE=E，EF平面PBE，EFPB.(2)设BE=x，PE=y，那么x+y=4.S△PEB=12BEPEsinPEB=14xy14x+y22=1.当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大.此时，BE=PE=2.由(1)知EF平面PBE，平面PBE平面EFCB，在平面PBE中，作POBE于O，那么PO平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PEsin30=212=1.S梯形EFCB =12(2+4)2=6.VP-BCFE=1361=2.平面几何与空间向量专题温习检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网预祝考生可以取得更好的效果。

2021高三数学(理)精准培优专项训练《16利用空间向量求夹角》学生版

A． 2 4
B． 2 3
C． 1 2
D． 3 4
2．正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱上（除去棱 AD ）到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点有 3 个，记这 3 个
点分别为 E ， F ， G ，则直线 AC1 与平面 EFG 所成角的正弦值为（）
A． 26 13
B． 2 26 13
余弦值为（）
A． 1 2
B． 2 3
C． 3 3
D． 2 2
二、填空题
5．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M ， N 分别是 A1B1 、 A1C1 的中点，则异面直线 BM 与 AN 所成角的
余弦值为
．
6．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别为 AD ，DD1的中点，则平面 EFC1B 和平面 BCC1B1
1 sin2
10 ． 4
例 3：【答案】 2π 3
【解析】设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ，
A(1, 0, 0) ， B(1,1, 0) ， D1(0, 0,1) ， B1(1,1,1) ， BA (0, 1, 0) ， BD1 (1, 1,1) ， BB1 (0, 0,1) ，
2．【答案】D
【解析】正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱上到直线 A1B 与 CC1 的距离相等的点分别为：D1 ，BC 的中点，B1C1 的四等分点（靠近 B1），假设 D1 与 G 重合， BC 的中点为 E ， B1C1 的四等分点（靠近 B1 ）为 F ，以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，

高考必考题—运用空间向量解决空间角(含解析)

运用空间向量解决空间角一、题型选讲题型一、异面直线所成的角以及研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

例1、【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．例2、(2019南京学情调研）如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 的边长AB ＝3，侧棱AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点，点F 满足AF →＝2FB →.(1) 求异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值； (2) 记二面角EB 1FA 的大小为θ，求|cos θ|.题型二、直线与平面所成的角直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特别注意所求的角与已求的角之间的关系。

例3、【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．题型三、平面与平面所成的角利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据观察判断向量在图形中的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点例5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．例6、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.例7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，平面1ACB ⊥平面11A ABB ，11AB A B =，O 为1AB 与1A B 的交点．（1）求证：1AB CO ⊥；（2）求平面11ACC A 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．二、达标训练1、【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．2、【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AB AA ==，3BAD π∠=，ACBD O =，AO ⊥平面1A BD ，11A B A D =.（1）证明：1//B C 平面1A BD ；（2）求钝二面角1B AA D --的余弦值.5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,,ABCD PA PD E F =分别为棱PC 和AB 的中点.(1)求证://EF 平面PAD ;(2)若直线PC 与AB ，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小.6、(2019南京、盐城一模）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA ＝AB＝2，点E是棱PB的中点．(1) 求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2) 求二面角BECD的余弦值．一、题型选讲题型一、异面直线所成的角以及研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

2021高三数学(理)培优专项《16利用空间向量求夹角》

14．已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形， BAD 60 ， PD 平面 ABCD ，且 PD AB ，点 E 是棱 AD 的中点， F 在棱 PC 上，若 PF : FC 1: 2 ，则直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正
弦值为__________．
15．设 a ，b 是直线，，是平面，a ，b ，向量 a1 在 a 上，向量 b1 在 b 上，a1 1,1,1 ，
（1）求证： PO AB ；（2）求直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值；（3）求二面角 P AO E 的大小．
对点增分集训
一、单选题 1．如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D ， E 分别为 BB1 ， A1C1 的中点，
则异面直线 AD ， CE 所成角的余弦值为（）
A． 5 5
B． 2 5 5
C． 85 85
D． 8 85 85
5．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，BAC 90 ，AB AC AA1 2 ，点 G 与 E 分别是 A1B1 和 CC1 的中点，点 D 与 F 分别是 AC 和 AB 上的动点．若 GD EF ，则线段 DF 长度的最小值
A． 1 2
B． 3 2
C． 1 5
D． 4 5
2．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱 AA1 底面 ABC ，点 D 在棱 BB1
上，
且 BD 1 ，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为，则 sin 的值是（）
A． 3 2
B． 2 2
C． 10 4
AB AD PB 3 ，点 E 在棱 PA 上，且 PE 2EA ，则平面 ABE 与平面 BED 的夹角的余弦值

高三数学精准培优专题练习16：利用空间向量求夹角

培优点十六利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 分别为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ；（2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ．（2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ．又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuu v的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，，()1,0,0B -，，及11BB CC =uuu v uuu v ，得设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuuu vm m 得令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuu vuuu v n n 得令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD Y 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD '△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '．（1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ=''uuuu v uuu v，且二面角M BD C --的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作DF A B ⊥'于点F ，∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC 'I 平面A BD A B '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =I ，∴CB ⊥平面A DB '．又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又A D BD '⊥，BD CB B =I ，∴A D '⊥平面BCD ．（2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA uu u v方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ，取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取∵[]0,1λ∈，∴3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点．（1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值；（3）求二面角P AO E --的大小．【答案】（1）见解析；（2；（3 【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥．∵OA OB O =I ，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ．过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥．如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -．()A ，()B -，()0,0,1P ，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． ∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ．∵平面POA I 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ， ∴BM ⊥平面POA∴平面POA的法向量)1,0=-m设直线BP 与平面POA 所成角为α∴直线BP 与平面POA．（3）由（2设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅uu vuu u v n n 即令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为1BB ，11A C 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（）对点增分集训A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB uu u v ，OC uuu v ，OE uu u v为x ，y ，z 轴建立坐标系，则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,E a ，则,,22a a AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，0,,2a CE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（） ABCD【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴cos ,AD ==uuu v n，则sin α．故选D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒， ∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B，(C，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则3,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v，(0,BC =-u u u v，设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴31cos 2AD BC AD BC θ⋅===⋅u uuu v uu u u v v u uu u v ， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（）ABCD【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，则()0,0,2OP =uu u v ，()1,2,0OC =-uuu v，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuu v设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ，则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+uu u vuuu v n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅====⋅uuu vuuu v uuu v ，n n n，故选D ．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 分别是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值为（）A B C D ．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--uuu v ，(),2,1EF x =--uu u v，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅uuu v uu u v，∴22x y =-，故DF ===，∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =uuu v，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A ．43BC ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =uuu v，由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅uuu v uuu vn n ．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =．设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（）AB ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE的一个法向量为3,04CM ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，由题意sin CE CM CE CM α⋅==⋅uu u v u uu u u v v uu v uu 又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 22α≤=≤k ≤k当k =BDE 的法向量为(),,x y z =n ，则0 102DE y z BE y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅=++=⎩uuu v uu u v n n ，取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ，设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m，∴sin θ=，∴tan θC ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭，ABC 的法向量为()0,0,1=n ．设1AB 与底面ABC 所成角为α故直线1AB 与底面ABCB ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（）ABCD【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =uu u v ，()3,3,0BD =uu u v设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n ，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩uu u v uu u vn n ，取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（） ABCD【答案】C【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ， ∴()11,0,1BC =-uuu r ，()11,0,1A D =--uuu r ，()1,1,0BD =--uu u r，设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴100A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu v uu u vn n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴ ，即直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．5201⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BCCD ==CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO =， ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， ()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴)BA θθ=uu r ，()1,1,0CD =-uu u r，设AB 、CD 的夹角为α，则cos AB CD AB CD α⋅==⋅uu u r uu u r uu u r uu u r， ∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cos θ⎡∈⎢⎣⎦，故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与所成角的取值范围是（）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -，则()1,,BP x x x =--uu v ，()11,0,1BC =-uuu v，设BP uu v 、1BC uuu v的夹角为α，则11cos BP BC BP BC α⋅==⋅uu v uu uu u v v uuu v∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC的中点，则异面直线1CB 与1CM 所成角的余弦值为________．【答案】28【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()1C ，()0,0,0M ，∴)1CB =uuu v，()1MC =uuuu v ，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos CB CB MC MC θ⋅===⋅uuu v uuu v uuuu vuuuu v ． ∴异面直线1CB 与1C M． 14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D 点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2，则()0,0,0D ，1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅===⋅a b a b a b ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 变化时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图建立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，()0,2,PB x =-uu v， ∴0 0BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=uu u vuu v m m ，得三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，AC BD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是否在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设AC BD O =I ，连接POBC CD AC BD =⊥Q ，，O ∴为BD 中点又PB PD =Q ，PO BD ∴⊥平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC I 平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ．（2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C)2PB =-uu v，3,22PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ，设PMPM MC MC λλ=⇒=uuu vuuu v uuu v uuu v32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,11BM λλλ⎫=⎪⎪++⎝⎭uuu v 设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩uu v uu u v n n，取(=n ，设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==uuu v n 解1λ=，1PM MC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA ∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB =1AB =2221110OA OB AB +==， ∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =I ，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，其中2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭uuu v，()1,AB =-uu u v，()1,AC =uu u v ，设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩uu u v uuu v n n，即111110 102x x ⎧⎪⎨-=-+=⎪⎩-，令11y =，得()1=n ；设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=uuu u v uu v n n，即222220 102x x ⎧⎪⎨-+=⎪⎩=，令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n ∴二面角1B AB C --．。

专项训练四立体几何(考点2 利用空间向量求空间角)(原卷版)(新高考专用)

专项四立体几何考点2 利用空间向量求空间角大题拆解技巧【母题】(2021年新高考全国Ⅱ卷)在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=√5,QC=3.(1)证明:平面QAD⊥平面ABCD.(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【拆解1】在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=√5,QC=3.证明:平面QAD⊥平面ABCD.【拆解2】已知条件不变,求平面QBD的法向量.【拆解3】已知条件不变,求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.小做变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=2PA=4,点E在棱PA 上,PC∥平面BDE.(1)求证:E为PA的中点.(2)记二面角E-BD-P的平面角为θ,求cos θ的值.【拆解1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=2PA=4,点E在棱PA上,PC∥平面BDE.求证:E为PA的中点.【拆解2】本例条件不变,建立适当的空间直角坐标系,求平面BDE的一个法向量.【拆解3】本例条件不变,求平面BDP的一个法向量.【拆解4】本例条件不变,记二面角E-BD-P的平面角为θ,求cos θ的值.通法技巧归纳利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.突破实战训练<基础过关>⏜的两个三等分点,CD,BE为圆柱的母线.1.如图,AB是圆柱底面圆O的直径,点C,F是AB(1)求证:EF∥平面OCD.CD=2,M为OE的中点,求二面角D-AC-M的余弦值.(2)设AC=122.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,PD的中点为F.(1)求证:PB∥平面ACF.(2)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并作答.,①∠ABC为锐角,且四棱锥P-ABCD的体积为4√33,③BD=2√3.②FC与平面ABCD所成的角为π6若,求二面角F-AC-D的余弦值.3.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,G为△PAB 的重心.⃗⃗⃗⃗ =λCB⃗⃗⃗⃗⃗ ,且GE∥平面PCD,求λ的值;(1)若CE(2)若平面PCD与平面PAB所成的锐二面角为30°,求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.4.在滨海文化中心有天津滨海科技馆,其建筑有鲜明的后工业风格,如图所示,截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合,如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=AA1=2,圆台下底圆圆心O为AB的中点,直径为2,圆与直线AB交于点E,F,圆台上底圆圆心O1在A1B1上,直径为1.(1)求A1C与平面A1ED所成的角的正弦值.(2)求二面角E-A1D-F的余弦值.(3)圆台上底圆周上是否存在一点P使得FP⊥AC1?若存在,求点P到直线A1B1的距离;若不存在,则说明理由.<能力拔高>,DD1⊥平面ABCD,∠5.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,∠ABC=π3,BB1=AB=2A1B1=2.B1BD=π6(1)求证:直线AC⊥平面BDB1.(2)求直线A1B1与平面ACC1所成的角的正弦值.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2BC=2,∠B1BC=60°,∠ACB=90°,B1C⊥AB.(1)求证:B1C⊥平面ABC.(2)若AB=√2BC,求二面角B1-AA1-C的正弦值.<拓展延伸>7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:AD⊥PB.(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二的值.面角M-BQ-C的大小为30°,并求出PMPC8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,AC交BE于点F,G为△PCD的重心.(1)求证:FG∥平面PAD.(2)若PA=AD,点H在线段PD上,且PH=2HD,求二面角H-FG-C的余弦值.。

(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案

一、利用向量处理平行与垂直问题例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。

求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。

三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。

利用空间向量求空间角检测题

利用空间向量求空间角检测题（试卷满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45° B.135° C ．45°或135°D ．90°解析：选C ∵cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝12＝22，∴m ，n ＝45°.∴二面角为45°或135°.故选C.2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)，∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→＝(0,3，－1)．设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→＝0，n ·D 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)．∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n | DC 1―→|·|n |＝33535，∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535.3．把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AD ，BC 所成的角为( )A ．120° B.30° C ．90°D ．60°解析：选D 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，0,0)，B (0，2，0)，C (0，0，2)，D (0，－2，0)，∴AD ―→＝(－2，－2，0)，BC ―→＝(0，－2，2)． ∴|AD ―→|＝2，|BC ―→|＝2，AD ―→·BC ―→＝2. ∴cos 〈AD ―→，BC ―→〉＝AD ―→·BC ―→|AD ―→||BC ―→|＝22×2＝12.∴异面直线AD ，BC 所成的角为60°.故选D.4．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2，二面角B -AA 1-C 1的大小为60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，则直线BC 1与直线AB 1所成角的正切值为( )A.7B. 6C. 5D ．2解析：选A 由题意可知，∠BAC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为3，点C 到平面ABB 1A 1的距离为23，所以在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，BC ＝23，∠ABC ＝90°，则AB 1―→·BC 1―→＝(BB 1―→－BA ―→)·(BB 1―→＋BC ―→)＝4， |AB 1―→|＝22，|BC 1―→|＝4，cos AB 1―→，BC 1―→＝AB 1―→·BC 1―→| AB 1―→|·|BC 1―→|＝24，故tanAB 1―→，BC 1―→＝7.5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310D.3610解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1()0，3，2，F (1,0,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F ―→＝()1，－3，－1，EF ―→＝⎝⎛⎭⎫12，－32，1，GF ―→＝(1,0，－1)．设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ EF ―→·n ＝0， GF ―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝()1，3，1为平面GEF 的一个法向量，所以cos 〈n ，B 1F ―→〉＝1－3－15×5＝－35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22解析：选B 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D ―→＝(0,1，－1)， A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D ―→＝0，n 1·A 1E ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －12z ＝0，令x ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2，∴n 1＝(1,2,2)．又平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.7.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为正三角形，AB ＝4，AA 1＝6，若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，且BE ＝B 1E ，C 1F ＝13CC 1，则异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为( )A.36B.26C.310D.210解析：选D 如图，以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意，得A 1(4,0,6)，E (2,23，3)，F (0,0,4)，A (4，0,0)，A 1E ―→＝(－2,23，－3)，AF ―→＝(－4,0,4)．设异面直线A 1E 与AF 所成的角为θ，则cos θ＝|A 1E ―→·AF ―→||A 1E ―→||AF ―→|＝4202＝210.故异面直线A 1E 与AF 所成角的余弦值为210.故选D. 8.已知正四棱锥P -ABCD 中，P A ＝AB ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为( )A.33B.63C.16D.12解析：选C 连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，连接OP ，由题意知AC ⊥BD ，OP ⊥平面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系，所以A (2，0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，22，22，B (0，2，0)，F ⎝⎛⎭⎫－22，0，22，则AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－2，22，22，BF ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－2，22，则cos 〈AE ―→，BF ―→〉＝AE ―→·BF ―→| AE ―→||BF ―→|＝1－1＋122＋12＋12·12＋2＋12＝16.故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为16，选C.二、填空题（每小题5分，共20分）9.如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3.E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点(端点除外)，满足SF BF ＝CEBE ＝λ，当实数λ的值为______时，∠AFE为直角．解析：由SA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .∵AB ＝4，SA ＝3， ∴B (0,4,0)，S (0,0,3)．设BC ＝m ，则C (m,4,0)， ∵SF BF ＝CE BE＝λ，∴SF ―→＝λFB ―→. ∴AF ―→－AS ―→＝λ(AB ―→－AF ―→)．∴AF ―→＝11＋λ(AS ―→＋λAB ―→)＝11＋λ(0,4λ，3)，∴F ⎝⎛⎭⎫0，4λ1＋λ，31＋λ.同理可得E ⎝⎛⎭⎫m1＋λ，4，0，∴FE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m1＋λ，41＋λ，－31＋λ. ∵F A ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4λ1＋λ，－31＋λ，要使∠AFE 为直角，即F A ―→·FE ―→＝0，则0·m1＋λ＋－4λ1＋λ·41＋λ＋－31＋λ·－31＋λ＝0，∴16λ＝9，解得λ＝916.答案：91610.如图，在正方形ABCD 中，EF ∥AB ，若沿EF 将正方形折成一个二面角后，AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，则AF 与CE 所成角的余弦值为________．解析：∵AE ∶ED ∶AD ＝1∶1∶2，∴AE ⊥ED ，即AE ，DE ，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝EF ＝CD ＝2，则E (0,0,0)，A (1，0,0)，F (0,2,0)，C (0,2,1)，∴AF ―→＝(－1,2,0)，EC ―→＝(0,2,1)，∴cos 〈AF ―→，EC ―→〉＝AF ―→·EC ―→|AF ―→||EC ―→|＝45×5＝45，∴AF 与CE 所成角的余弦值为45.答案：4511.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．解析：以B 点为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，BB 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF ―→＝(0，－1,1)，BC 1―→＝(2,0,2)， ∴EF ―→·BC 1―→＝2，∴cos 〈EF ―→，BC 1―→〉＝EF ―→·BC 1―→|EF ―→||BC 1―→|＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°. 答案：60°12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________.解析：如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．设AE ＝a ，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1,0,3)，E (1,0，a )，∴OF ―→＝(－1,0,3)，DB ―→＝(0,23，0)，EB ―→＝(－1，3，－a )．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0，则y ＝0，令z ＝1，得x ＝－a ，∴n ＝(－a,0,1)， ∴cos 〈n ，OF ―→〉＝n ·OF ―→|n ||OF ―→|＝a ＋3a 2＋1×10.∵直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°， ∴|a ＋3|a 2＋1×10＝22，解得a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴AE ＝2.答案：2三、综合题（3个小题，共40分）13.（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AP ⊥AD ，AD ＝2BC ＝2AB ＝4，∠BAP ＝120°，DC ＝2 2.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)若P A ＝2，求二面角B -PC -A 的余弦值．解：(1)证明：取AD 的中点E ，连接CE ，所以AE ＝BC ＝2. 因为AD ∥BC ，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以CE ∥AB ，且CE＝AB ＝2.又因为DE ＝2，DC ＝22，所以DE 2＋CE 2＝DC 2，所以DE ⊥CE ，所以AD ⊥AB . 又因为AD ⊥AP ，AP ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB .又因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面P AB .(2)由(1)知AD ⊥平面P AB ，过点A 作AF ⊥P A 交PB 于点F ，以点A 为坐标原点，AP ―→，AF ―→，AD ―→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .则A (0,0,0)，P (2,0,0)，B (－1，3，0)，C (－1，3，2)，所以BC ―→＝(0,0,2)，BP ―→＝(3，－3，0)，AP ―→＝(2,0,0)，AC ―→＝(－1，3，2)．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ BC ―→·n ＝0， BP ―→·n ＝0，得⎩⎨⎧2z 1＝0，3x 1－3y 1＝0，取y 1＝3，得平面PBC 的一个法向量为n ＝(1，3，0)．设平面P AC 的一个法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧AP ―→·m ＝0， AC ―→·m ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2＋3y 2＋2z 2＝0，取y 2＝23，得平面P AC 的一个法向量为m ＝(0,23，－3)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1×0＋3×23＋0×(－3)12＋(3)2×02×02＋(23)2＋(－3)2＝217. 因为二面角B -PC -A 是一个锐二面角，所以其余弦值为217. 14.（14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE . (2)依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，进而可得NH ―→＝(－1，－2，h )，BE ―→＝(－2,2,2)．由已知，得|cos 〈NH ―→，BE ―→〉|＝|NH ―→·BE ―→||NH ―→||BE ―→|＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.所以线段AH 的长为85或12.15.（14分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，P A 是该四棱锥的高，PB 与平面P AD 所成的角为45°，F 是PB 的中点，E 是BC 上的动点．(1)证明：PE ⊥AF ；(2)若BC ＝2AB ，PE 与AB 所成角的余弦值为21717，求二面角D -PE -B 的余弦值．解：(1)证明：由题可知AD ，AB ，AP 两两垂直，且∠BP A ＝45°，∴AP ＝AB .以点A 为坐标原点，AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AP ＝AB ＝b ，BE ＝a ，则A (0,0,0)，B (0，b,0)，E (a ，b,0)，P (0,0，b )，F ⎝⎛⎭⎫0，b 2，b 2， ∴PE ―→＝(a ，b ，－b )，AF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，b 2，b 2. ∴PE ―→·AF ―→＝0，∴PE ⊥AF .(2)设AP ＝AB ＝2，则BC ＝4，故D (4,0,0)，B (0,2,0)，E (a ，2,0)，F (0,1,1)，P (0,0,2)，∴AB ―→＝(0,2,0)，PE ―→＝(a,2，－2)，AF ―→＝(0,1,1)．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB ―→·PE ―→|AB ―→||PE ―→|＝21717，得42·a 2＋8＝21717，解得a ＝3(负值舍去)，∴E (3,2,0)．设平面PDE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，又PD ―→＝(4,0，－2)，ED ―→＝(1，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD ―→＝0，n ·ED ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －2z ＝0，x －2y ＝0，令y ＝1，得n ＝(2,1,4)． ∵AF ―→·PB ―→＝0，∴AF ⊥PB . 又由(1)知AF ⊥PE ，PB ∩PE ＝P ，∴AF ⊥平面PBC ，即AF ―→为平面PBC 的一个法向量．设二面角D -PE -B 的平面角为θ，由图可知θ为钝角， ∴cos θ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AF ―→|n ||AF ―→|＝－1＋421×2＝－54242.。

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的棱上到直线与的距离相等的点分别为，
的中点，的四等分点（靠近），
假设与重合，的中点为，的四等分点（靠近）为，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
∴
，
，
．
设平面
的法向量
，
则
，即
，取
，得
，
设直线与平面
所成角为，
则直线与平面
例 3：正四棱柱的中点，则二面角
A．
B．
中，底面边长为的余弦值是（）
，侧棱长为，，分别为棱，
C．
D．
一、选择题
1．如图，在三棱锥
中，
，
平面
，
，
，
，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．
B．
C．
D．
2．正方体
的棱上（除去棱）到直线与的距离相等的点有个，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为
，故选 A．
例 2：【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体
的棱长为，
则
，
，
，
∴
，
，
，，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，
设直线和平面
所成的角为，则
，
∴
，∴直线和平面
所成的角为．
例 3：【答案】C 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，则
，
即
，解得
，
，
所以
；
设平面
的一个法向量为
，则
，
即所以
，解得
，
，
，
所以
，
所以二面角
的余弦值是
．
一、选择题
1．【答案】B
【解析】以，，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
∴
，
∴异面直线与所成角的余弦值为
．
2．【答案】D
【解析】正方体
．
【解析】（1）由已知
，
，
，
，
，
，
．
（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系
，
设
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，得
或
∴面
的法向量为
，
又面
的一个法向量是
，
（舍），
∴面
与面
夹角的余弦值
．
8．【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图所示，以
；（3）存在，即为中点．为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
为等边三角形，
则
，
，
，
，
所以
，
，
所以
，
故异面直线与所成角的余弦值为．
6．【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体
的棱长为，
则
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量
，则
，
取
，得
；
平面
的一个法向量
，
设平面
和平面
所成二面角为，则
，
所以
．
三、解答题
7．【答案】（1）证明见解析；（2）
∴
，
．
设平面
的一个法向量为
，所以有
，
即
，解得
，∴
；
∵平面
的一个法向量为
，
∴
，
即平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为．
二、填空题
5．【答案】
【解析】取得中点，连接，，
因为
，所以
．
因为平面
平面
，平面
平面
．所以
平面
，
又因为
，所以
，
于是以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
结合
为等腰直角三角形，
所成角的正弦值为
．
3．【答案】B
【解析】以为原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
，
，
∴
，
，
，
，
．
设平面
的一个法向量为
取
，则
，
，则
∴
设直线与平面
所成角大小为，则
，
，．
4．【答案】B
【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
设棱长为，则ห้องสมุดไป่ตู้
，
，
，
，平面
平面
__________．
，
为等边三角形，
为等腰直角三角形，
，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
6．如图，在正方体
和平面
所成二面角的正弦值为
中，，分别为，．
的中点，则平面
三、解答题
7．如图，三棱柱
，
，
（1）求证：
（2）若是的余弦值．
，侧棱与底面垂直，分别是棱
上的点，
记这个点分别为，，，则直线与平面
所成角的正弦值为（）
A．
B．
C．
D．
3．已知长方体
中，
，
，为侧棱的一点，且
，则直线与平面
A．
B． C．
所成角的余弦值为（） D．
4．在正方体锐二面角的余弦值为（）
中，点为的中点，则平面
A．
B． C． D．
与平面
所成的
二、填空题
5．如图，在三棱锥
此
卷
只
装
订
不
密
封座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
【新高考】2021 届高三特前班精准提升数学专项测试题 16 利用空间向量求角
例 1：在三棱柱的中点，若
中，侧棱
底面
，
，点、分别是
、
，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．
B． C．
D．
例 2：在正方体
中，则直线和平面
所成的角为_________．
，
．
；
的重心，
面
，求平面
与面
所成角（锐角）
8．如图，直三棱柱
中，
的中点．
（1）求点到平面
的距离；
（2）求二面角
的平面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得
平面
在，说明理由．
，
．
分别为棱
？若存在，确定其位置；若不存
例 1：【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，设
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
由
，可得
，
，
，
，
．
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，得
，
即
，则取法向量为
，
则点到平面
的距离
．
（2）
，
，
可得
，
，
设平面故可令可得
的法向量为，，
，
，
，
，，
设平面
的法向量为
故可令即求二面角
，∴ 的余弦值为．
（3）假设存在点，坐标为
，则
，，
，
平面
，得
，即
，
∴
，即为中点．