【最新】版高中全程复习方略配套课件：11.3利用空间向量求空间角(苏教版·数学理)
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高中数学苏教版选择性必修第二册章末复习课(课件)
于是 n＝(1，－1，－2)，P→A＝(1,1，－1).
设直线PA与平面EAC所成的角为θ，
则 sin θ＝|cos〈P→A，n〉|＝ 32， 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 32.
四、利用空间向量计算距离
1.空间距离的计算 →
(1)点到平面的距离 d＝|A|Pn·|n|. →
所以m为平面PAC的一个法向量.
设
n ＝ (x ， y ， z) 为 平 面
EAC
的
一
个
法
向
量
，
则
n·C→A＝0， n·C→
取x＝a， 可得n＝(a，－a，－2)，依题意得，
|cos〈m，n〉|＝||mm|·|nn||＝ 2·22aa2＋4＝ 33，
则a＝1(负值舍去).
(2)点到直线的距离：公式①d＝|A|Pn·|n|； 公式②d＝|A→P|sin〈A→P，e〉.
2.通过利用向量计算空间距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学
运算能力.
例4 在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD ＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离.
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×12＋21＋12＝6，∴|A→C1|＝ 6.
②求B→D1与A→C夹角的余弦值.
解 B→D1＝b＋c－a，A→C＝a＋b， ∴|B→D1|＝ 2，|A→C|＝ 3， B→D1·A→C＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈B→D1，A→C〉＝
→→ BD1·AC →→
＝
|BD1||AC|
6 6.
二、利用空间向量证明位置关系
高考新创新一轮复习理数江苏专版课件：第八章 第六节 利用空间向量求空间角
因为 AA1⊥平面 ABCD，所以 AA1⊥AE， ―→ ―→ ―→ 如图，以{ AE ， AD ， AA1 }为正交基底， 建立空间直角坐标系 Axyz. 因为 AB＝AD＝2，AA1＝ 3，∠BAD＝120°， 则 A(0,0,0)，B( 3，－1,0)，D(0,2，0)，E( 3，0,0)，A1(0，0， 3)，C1( 3，1， 3)． ―→ ―→ (1) A1B ＝( 3，－1，－ 3)， AC1 ＝( 3，1， 3)． ―→ ―→ 3－1－3 ―→ ―→ A1 B · AC1 1 则 cos〈 A1B ， AC1 〉＝ ＝ ＝－ . ―→ ―→ 7 7× 7 | A1B || AC1 | 1 因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 . 7
3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 是二面角 α lβ 的两个面内与棱 l ―→ ―→ 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈 AB ， CD 〉 ．
(2)如图②和图③，n1，n2 分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ＝〈n1，n2〉或 π－〈n1，n2〉 ．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求两异面直线所成的角
[ 例 1] (2018· 启东市高三月考)长方体
ABCDA1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2AD，E 为 CC1 的中点，求异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值．
[ 解]
设 AB＝AA1＝2，AD＝1，建立空间
直角坐标系，如图所示， 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， ―→ ―→ BC1 ＝(－1,0,2)， AE ＝(－1,2,1)， ―→ ―→ ―→ ―→ BC1 · AE 30 cos〈 BC1 ， AE 〉＝ ＝ . ―→ ―→ 10 | BC1 || AE | ―→ ―→ 记异面直线 BC1 与 AE 所成角为 θ， 则 cos θ＝|cos 〈 BC1 ， AE 〉 30 |＝ . 10 30 所以异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 . 10
《空间角的计算》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
空间向量法求两个平面所成角(即二面角): 两个平面的法向量的夹角与两个平面所成角(即二面角)相等或互补，即即
运用空间向量坐标运算求二面角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则.
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
空间向量法求直线与平面所成角: 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹角的补角互余，即
运用空间向量坐标运算求直线与平面夹角的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
空间向量ห้องสมุดไป่ตู้求异面直线所成角: 设空间两异面直线l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，则两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角或其补角，即
运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则；
运用空间向量坐标运算求空间里的角1.求异面直线所成角：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则 .
2.求直线与平面夹角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
3.求二面角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则
如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A－PD－C的余弦值.
运用空间向量坐标运算求二面角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则.
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
空间向量法求直线与平面所成角: 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹角的补角互余，即
运用空间向量坐标运算求直线与平面夹角的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
空间向量ห้องสมุดไป่ตู้求异面直线所成角: 设空间两异面直线l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，则两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角或其补角，即
运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则；
运用空间向量坐标运算求空间里的角1.求异面直线所成角：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则 .
2.求直线与平面夹角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
3.求二面角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则
如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A－PD－C的余弦值.
全国通用2023年高考数学一轮复习专题34利用空间向量求空间角课件
B(
)
PC 3
（1）求证：CD⊥平面 PAD；
C(
)
（2）求二面角 F–AE–P 的余弦值；
D(
)
E(
)
F(
)
2.图 1 是由矩形 ADEB，Rt△ABC
和菱形 BFGC 组成的一个平面图 形，其中 AB=1，BE=BF=2，
A(
)
∠FBC=60°，将其沿 AB，BC 折 起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，
( , , )， 叫 横 坐 标 ， 叫 纵 坐 标， 叫竖坐标.
空间向量的直角坐标运算律
① 若 = ( 1, 2, 3)， = ( 1, 2, 3)，
则 + = 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3 ，
− = 1 − 1, 2 − 2, 3 − 3 ，
= ( 1, 2, 3) ( ∈ )，
② 若 1, 1, 1 ,
，M，N 分别为 BC, PC 的中点， ∠FBC=60°，将其沿 AB，BC 折和 CC1 的中点，D 为棱 A1B1 上的
PD DC, PM MD . （1）证明： AB PM ； （2）求直线 AN 与平面 PDM 所
成角的正弦值.
起使得 如图 2.
BE
与
BF
重合，连结
DG，点． BF A1B1
底面是矩形，PD 底面 ABC为D正，方形，PD⊥底面 ABCD．中设，侧面 AA1B1B 为正方形，
PD DC 1 ， M 为 点，且 PB AM ． （1）求 BC ；
（2）求二面角 A PM
弦值．
BCB的的平（（中正面12））P证已AD明知与：P平Dl⊥=面A平DP面=B1CP，的DQC交；为线（ 和 点 lA为上B1． C） lC．B1证BF的明 C中 ： 点 A21B， B， F1ED， 为FD棱分EA别； 1B为1
高二数学利用空间向量求空间角课件
|m||n|
l
m
n
α
β
巩固性训练3
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是
正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB,
z 求二面角B-PC-D大小. 解：以A为原点, 建立空间直角坐标系A-xyz。如图所示 设PA=1, 则B(1,0,0) C(1,1,0) D(0,1,0) P(0,0,1) P ∴ PB =(1,0,-1) PC =(1,1,-1)
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
B'
n ∴ BD • =-x+y=0 BE • n = - 1 x+z=0
A
2
令X=2得 y=2 z=1 .∴ n =(2,2,1)
l
m
n
α
β
巩固性训练3
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是
正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB,
z 求二面角B-PC-D大小. 解：以A为原点, 建立空间直角坐标系A-xyz。如图所示 设PA=1, 则B(1,0,0) C(1,1,0) D(0,1,0) P(0,0,1) P ∴ PB =(1,0,-1) PC =(1,1,-1)
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
B'
n ∴ BD • =-x+y=0 BE • n = - 1 x+z=0
A
2
令X=2得 y=2 z=1 .∴ n =(2,2,1)
利用向量法求空间角 ppt课件
（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
b
n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）
n2
n1
n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
高考数学第十一章第三节利用空间向量求空间角课件理苏教
第三节 利用空间向量求空间角
1.异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量
l1与l2所成的角θ
范围 求法
(0，］
_____2_____
ab
cos θ=|cos〈a,b〉|= _____a_b_______
2.直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，
【变式训练】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为CC1的中点，求异面直线BC1与AE所成角的余弦值．
【解析】由题意建立空间直角坐标系
如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，
B(1,2,0)，C1(0,2,2)，
BC1＝－1,0, 2，AE＝－1, 2,1，
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面
所成的角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是(0， ］,直线与平面所成角的范
A(0,- 3,0),C(0, 3 ,0),D(0,0,1),
则 AD 0, 3,1 .
显然向量k=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.
已知二面角C-AB-D为60°，故可取平面ABD的单位法向量 t=(l,m,n),使得〈t,k〉=60°，从而n= 1 .
2
由t⊥AD ,有 3 m+n=0,从而m=- 3 .
(2)①一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交 于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角 坐标系； ②如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的 直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立 时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上 选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
1.异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量
l1与l2所成的角θ
范围 求法
(0，］
_____2_____
ab
cos θ=|cos〈a,b〉|= _____a_b_______
2.直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，
【变式训练】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为CC1的中点，求异面直线BC1与AE所成角的余弦值．
【解析】由题意建立空间直角坐标系
如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，
B(1,2,0)，C1(0,2,2)，
BC1＝－1,0, 2，AE＝－1, 2,1，
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面
所成的角.( )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( )
(4)两异面直线夹角的范围是(0， ］,直线与平面所成角的范
A(0,- 3,0),C(0, 3 ,0),D(0,0,1),
则 AD 0, 3,1 .
显然向量k=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.
已知二面角C-AB-D为60°，故可取平面ABD的单位法向量 t=(l,m,n),使得〈t,k〉=60°，从而n= 1 .
2
由t⊥AD ,有 3 m+n=0,从而m=- 3 .
(2)①一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交 于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角 坐标系； ②如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的 直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立 时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上 选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
高中数学《空间角的计算》江苏课件(苏教版选修)
的关系。
工程学
在工程学中，空间角常用于描述机 械零件的形状和位置，以及进行相 关的计算和分析。
物理学
在物理学中，空间角常用于描述物 体的运动状态和相互作用，如力学 、电磁学等领域。
02 空间角的计算方 法
几何法
几何法是利用空间几何图形的性 质和定理来计算空间角的方法。
通过观察和构造空间几何图形， 利用三角形的边角关系、平行线 性质等几何知识，可以计算出空
坐标法
坐标法是通过建立空间直角坐标系， 将空间角转化为坐标系中的角度，利 用三角函数的性质来计算空间角的方 法。
坐标法需要掌握三角函数的基本性质 和运算法则，对于数学运算的要求较 高。
通过设定点的坐标和向量的坐标，利 用三角函数公式计算出空间角的大小 。
03 空间角的应用实 例
建筑学中的应用
建筑设计中的角度计算
高中数学《空间角的计算》 江苏课件(苏教版选修)
目 录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角的综合练习 • 空间角的常见误区与纠正方法 • 总结与展望
01 空间角的基本概 念
定义与性质
定义
空间角是指空间中两条射线或线 段在第三条直线的两侧无限延伸 后所形成的角。
整航天器的旋转角度时，需要考虑太阳、地球和其他天体的相对位置和角度关系。
04 空间角的综合练 习
基础练习题
01
02
03
04
总结词：巩固基础
基础练习题1：求两条异面直 线所成的角
基础练习题2：求直线与平面 所成的角
基础练习题3：求平面与平面 所成的角
提高练习题
01
02
03
04
总结词：提升解题能力
工程学
在工程学中，空间角常用于描述机 械零件的形状和位置，以及进行相 关的计算和分析。
物理学
在物理学中，空间角常用于描述物 体的运动状态和相互作用，如力学 、电磁学等领域。
02 空间角的计算方 法
几何法
几何法是利用空间几何图形的性 质和定理来计算空间角的方法。
通过观察和构造空间几何图形， 利用三角形的边角关系、平行线 性质等几何知识，可以计算出空
坐标法
坐标法是通过建立空间直角坐标系， 将空间角转化为坐标系中的角度，利 用三角函数的性质来计算空间角的方 法。
坐标法需要掌握三角函数的基本性质 和运算法则，对于数学运算的要求较 高。
通过设定点的坐标和向量的坐标，利 用三角函数公式计算出空间角的大小 。
03 空间角的应用实 例
建筑学中的应用
建筑设计中的角度计算
高中数学《空间角的计算》 江苏课件(苏教版选修)
目 录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用实例 • 空间角的综合练习 • 空间角的常见误区与纠正方法 • 总结与展望
01 空间角的基本概 念
定义与性质
定义
空间角是指空间中两条射线或线 段在第三条直线的两侧无限延伸 后所形成的角。
整航天器的旋转角度时，需要考虑太阳、地球和其他天体的相对位置和角度关系。
04 空间角的综合练 习
基础练习题
01
02
03
04
总结词：巩固基础
基础练习题1：求两条异面直 线所成的角
基础练习题2：求直线与平面 所成的角
基础练习题3：求平面与平面 所成的角
提高练习题
01
02
03
04
总结词：提升解题能力
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(1)求证：A1B⊥AM; (2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值.
【解题指南】建立空间直角坐标系，计算出 A1B、A的M坐标， 然后求出平面AA1B1B的法向量n， 利用向量夹角公式求解即可.
【规范解答】(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以分别以
CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
【即时应用】
(1)若一个二面角的两个法向量分别为 m=(0，0，3)，
n =(8,9,2),则这个锐二面角的余弦值为
.
(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD与平面B1BDD1所成的
二面角大小为
.
【解析】(1)设二面角为α，由题意可知
cos< m,n> n m 6 2 149 , n m 3 149 149
点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为
．
【解析】建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)， BC＝1 (－1,0,2)，
பைடு நூலகம்
A＝E (－1,2,1)，
∴ cos<BC1,AE>=
BC1 BC1
AE AE
=
30 . 10
答案： 30
10
2.直线与平面所成角的求法
∴cosα= 2 149 .
149
(2)如图所示，以D为原点建系， 易知 AC为平面B1BDD1的法向量， DD为1 平面ABCD的法向量. ∵ DD1 AC 0, ∴两平面所成的二面角为90°．
答案：(1) 2 149(2)90°
149
利用空间向量求异面直线所成的角 【方法点睛】
应用向量法求空间两异面直线所成的角 主要依据为向量数量积的运算，这样处理的优点在于不必作出 该角，而只需计算两直线方向向量所成的角，最后借助异面直 线所成角的范围下结论便可.
【例1】如图所示，在三棱柱 OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°, 且OB=OO1=2,OA= 3 ，求异面 直线A1B与AO1所成角的余弦值. 【解题指南】以O为原点建立空间直角坐标系求出 O1A，A1B 的坐标，根据向量夹角公式求夹角.
【规范解答】建立如图所示的坐标系， 则O(0,0,0),Ｏ1(0，1， 3)， Ａ( 3，0，0)，Ａ1( ,13, ), 3 B(0,2,0), ∴ A1B OB OA1＝( 3，1， 3)
第三节 利用空间向量求空间角
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内容 空间向量的应用
…………高考指数:★
要求
A
B
C
√
1.两条异面直线所成角的求法
设 a,b 分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a 与 b 的夹角β
范围 求法
(0，π ] 2 ab
求法cosθ= cos =
ab
(0，π)
cos a b
2
面α所成的角为30°.
答案：30°
3.求二面角的大小
(1)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异
面直线，则二面角的大小就是 向量AB与CD 的夹角或其补角(如 图①②). (2)设 n1,n2 分别是二面角α—l—β的两个面α,β的法向量， 则 向量 n1与 n2的夹角(或其补角)的大小 就是二面角的平面角 的大小(如图③④).
设面AA1B1B的一个法向量为n =(x0,y0,z0),
则
3x0 y不0 妨0取
6z0 0
n 1, 3,0 ,
设直线AM与平面AA1B1B所成的角为θ,
则 sin cos AM，n> AM n 6 ,
AM n 6
所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为6 .
6
【反思·感悟】1.计算线面角的关键在于求平面的法向量和直 线的方向向量. 2.在求出法向量同方向向量夹角的余弦值后务必注意审题： “看清待求结论是线面角的正弦值，还是余弦值”，以防出现 失误.
利用空间向量求线面角 【方法点睛】
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量, 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
【例2】(2012·徐州模拟)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6，M是棱CC1的中点.
则B(0,1,0), A1( 3,0, 6),A
3,0,0 ,M(0，0， 6 )， 2
所以
A1B
3,1,
6
, AM (
3, 0,
6 ), 2
所以 A1B A=M3+0-3=0,
所以 A1B AM,
即A1B⊥AM.
(2)由(1)知 AB 3,1,0 ,A1A 0,0, 6 ,
设直线l的方向向量为 a ，平面α的法向量为 n ，直线l与平面 α所成的角为θ, a 与 n 的夹角为β,则
sinθ=|cosβ|=
an .
an
【即时应用】 (1)思考：为什么用向量法求直线和平面所成的角时，其运算 必须加绝对值？ 提示：当直线与平面相交时，所成角的范围是 (0, π直]，线的方
O1A ( 3, 1, 3)
∴
cos< A1B,O1A>
A1B A1B
O1A O1A
3 1 3 1 , 77 7
又异面直线A1B与AO1所成角的范围为(0, π］.
2
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为 1 .
7
【反思·感悟】1.本题以面面垂直的性质为依据，结合空间直 角坐标系的特点，以点O为原点建系，方便快捷. 2.在用向量法求异面直线所成的角时注意分清角的范围.
ab
【即时应用】
(1)思考：异面直线a,b的方向向量 a,b 的夹角是异面直线所成 的角吗？
提示：不一定.由于向量之间的夹角的范围是[0，π]，而异面直 线所成角的范围是 (0两, π异], 面直线的方向向量的夹角或其补角
2
是两异面直线所成的角.
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中
2
向向量与平面的法向量的夹角与 π的差的绝对值即为直线与平
2
面的夹角，所以求直线与平面的法向量所成角的三角函数值 后，必须转化为绝对值后再计算.
(2)已知向量 m,n 分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，
若 cos〈m,n〉 1，则l与α所成角的大小为
．
2
【解析】由于 cos〈m,n〉∴ 1，=12〈0m°,，n〉所以直线l与平
【解题指南】建立空间直角坐标系，计算出 A1B、A的M坐标， 然后求出平面AA1B1B的法向量n， 利用向量夹角公式求解即可.
【规范解答】(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以分别以
CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
【即时应用】
(1)若一个二面角的两个法向量分别为 m=(0，0，3)，
n =(8,9,2),则这个锐二面角的余弦值为
.
(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD与平面B1BDD1所成的
二面角大小为
.
【解析】(1)设二面角为α，由题意可知
cos< m,n> n m 6 2 149 , n m 3 149 149
点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为
．
【解析】建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2)， BC＝1 (－1,0,2)，
பைடு நூலகம்
A＝E (－1,2,1)，
∴ cos<BC1,AE>=
BC1 BC1
AE AE
=
30 . 10
答案： 30
10
2.直线与平面所成角的求法
∴cosα= 2 149 .
149
(2)如图所示，以D为原点建系， 易知 AC为平面B1BDD1的法向量， DD为1 平面ABCD的法向量. ∵ DD1 AC 0, ∴两平面所成的二面角为90°．
答案：(1) 2 149(2)90°
149
利用空间向量求异面直线所成的角 【方法点睛】
应用向量法求空间两异面直线所成的角 主要依据为向量数量积的运算，这样处理的优点在于不必作出 该角，而只需计算两直线方向向量所成的角，最后借助异面直 线所成角的范围下结论便可.
【例1】如图所示，在三棱柱 OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°, 且OB=OO1=2,OA= 3 ，求异面 直线A1B与AO1所成角的余弦值. 【解题指南】以O为原点建立空间直角坐标系求出 O1A，A1B 的坐标，根据向量夹角公式求夹角.
【规范解答】建立如图所示的坐标系， 则O(0,0,0),Ｏ1(0，1， 3)， Ａ( 3，0，0)，Ａ1( ,13, ), 3 B(0,2,0), ∴ A1B OB OA1＝( 3，1， 3)
第三节 利用空间向量求空间角
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内容 空间向量的应用
…………高考指数:★
要求
A
B
C
√
1.两条异面直线所成角的求法
设 a,b 分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
l1与l2所成的角θ
a 与 b 的夹角β
范围 求法
(0，π ] 2 ab
求法cosθ= cos =
ab
(0，π)
cos a b
2
面α所成的角为30°.
答案：30°
3.求二面角的大小
(1)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异
面直线，则二面角的大小就是 向量AB与CD 的夹角或其补角(如 图①②). (2)设 n1,n2 分别是二面角α—l—β的两个面α,β的法向量， 则 向量 n1与 n2的夹角(或其补角)的大小 就是二面角的平面角 的大小(如图③④).
设面AA1B1B的一个法向量为n =(x0,y0,z0),
则
3x0 y不0 妨0取
6z0 0
n 1, 3,0 ,
设直线AM与平面AA1B1B所成的角为θ,
则 sin cos AM，n> AM n 6 ,
AM n 6
所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为6 .
6
【反思·感悟】1.计算线面角的关键在于求平面的法向量和直 线的方向向量. 2.在求出法向量同方向向量夹角的余弦值后务必注意审题： “看清待求结论是线面角的正弦值，还是余弦值”，以防出现 失误.
利用空间向量求线面角 【方法点睛】
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量, 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面 的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
【例2】(2012·徐州模拟)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1= 6，M是棱CC1的中点.
则B(0,1,0), A1( 3,0, 6),A
3,0,0 ,M(0，0， 6 )， 2
所以
A1B
3,1,
6
, AM (
3, 0,
6 ), 2
所以 A1B A=M3+0-3=0,
所以 A1B AM,
即A1B⊥AM.
(2)由(1)知 AB 3,1,0 ,A1A 0,0, 6 ,
设直线l的方向向量为 a ，平面α的法向量为 n ，直线l与平面 α所成的角为θ, a 与 n 的夹角为β,则
sinθ=|cosβ|=
an .
an
【即时应用】 (1)思考：为什么用向量法求直线和平面所成的角时，其运算 必须加绝对值？ 提示：当直线与平面相交时，所成角的范围是 (0, π直]，线的方
O1A ( 3, 1, 3)
∴
cos< A1B,O1A>
A1B A1B
O1A O1A
3 1 3 1 , 77 7
又异面直线A1B与AO1所成角的范围为(0, π］.
2
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为 1 .
7
【反思·感悟】1.本题以面面垂直的性质为依据，结合空间直 角坐标系的特点，以点O为原点建系，方便快捷. 2.在用向量法求异面直线所成的角时注意分清角的范围.
ab
【即时应用】
(1)思考：异面直线a,b的方向向量 a,b 的夹角是异面直线所成 的角吗？
提示：不一定.由于向量之间的夹角的范围是[0，π]，而异面直 线所成角的范围是 (0两, π异], 面直线的方向向量的夹角或其补角
2
是两异面直线所成的角.
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中
2
向向量与平面的法向量的夹角与 π的差的绝对值即为直线与平
2
面的夹角，所以求直线与平面的法向量所成角的三角函数值 后，必须转化为绝对值后再计算.
(2)已知向量 m,n 分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，
若 cos〈m,n〉 1，则l与α所成角的大小为
．
2
【解析】由于 cos〈m,n〉∴ 1，=12〈0m°,，n〉所以直线l与平