空间向量在立体几何中的应用PPT课件
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321空间向量在立体几何中的应用3-PPT课件
E A 1 , 2 ， 1 ， ( 3 ) 解 ： E G 0 ,2 ， 0 ， 11
E G E A 0 1 2 2 0 1 4 , 1 1 | E G | 2 , | E A | 6 . 11 E G E A 4 6 1 1 c o s E G , E A . 1 1 x 3 26 | E G || E A | 1 1
变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1.
A
x
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点， zD F C 变式3: G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 试确定H点的位置. 1 H 解 ： 设 H 点 坐 标 为 ( 1 , 0 , a ) , 又 G 1 , 1 , , D 4 G Cy O 1 所以 GH 0, 1 ,a A B 4 x 1 又 D F 0 , ， 1 ， 且 G HD F 1 1 4 1 1 所 以 G H D F 0 - a 0 1 4 4 1 解得a , 2 即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点，求： BE1与DF1所成角的余弦值. (1) 建立直角坐标系，
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化， Oxyz ，则 A 1 3 (0,0,0), F 1 B ( 1 ,1 ,0 ),E , ,1 ,D 1 0, ， 1 1 4 4 3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1, 1 4 4
E G E A 0 1 2 2 0 1 4 , 1 1 | E G | 2 , | E A | 6 . 11 E G E A 4 6 1 1 c o s E G , E A . 1 1 x 3 26 | E G || E A | 1 1
变式2: F是AA1的一个四等分点， 求证：BF⊥DF1.
A
x
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点， zD F C 变式3: G是BB1的一个四等分点， E B H为AA1上的一点，若GH⊥DF1， A 试确定H点的位置. 1 H 解 ： 设 H 点 坐 标 为 ( 1 , 0 , a ) , 又 G 1 , 1 , , D 4 G Cy O 1 所以 GH 0, 1 ,a A B 4 x 1 又 D F 0 , ， 1 ， 且 G HD F 1 1 4 1 1 所 以 G H D F 0 - a 0 1 4 4 1 解得a , 2 即当H为AA1 的中点时，能使GH⊥DF1.
3.2.1空间向量在立体几何中的 应用
一、用向量方法证明平行
二、用向量方法证明两条直线垂直 或求两条直线所成的角
例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点，求： BE1与DF1所成角的余弦值. (1) 建立直角坐标系，
解：设正方体的棱长为 1，分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化， Oxyz ，则 A 1 3 (0,0,0), F 1 B ( 1 ,1 ,0 ),E , ,1 ,D 1 0, ， 1 1 4 4 3 1 B E 1 , , 1 ( 1 , 1 , 0 ) 0 , , 1, 1 4 4
空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
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设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
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题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
高三数学56空间向量在立体几何中的应用应用PPT课件
(C)80°
(D)90°
【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角 时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱 的垂线.
8
6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜 线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为
arcsin AB n ；B点到 AB
平面α的距离为___A__B_·_n__.
10
2.三条射线OA，OB，OC，若∠BOC=α, ∠COA=β, ∠AOB=γ，又α二面角B-OA-C的大小为θ，试证这些 角之间有如下关系：
coθscoαscoβscoγs sinβsinγ
【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1， OC=c=1，这样使过程更加清晰.
11
3.已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°. (1)求证BD⊥平面ADC； (2)若H是△ABC的垂心， 求证H是D在平面ABC内的射影.
且D1M=2，B1N=2，求BN与CM
所成的角.
【解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，在平行
六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心
体会.
返回 13
延伸·拓展
5. 四 面 体 ABCD 中 ， ∠DAC=∠BAC=∠BAD=60° ， AC=AD=2，AB=3. (1)求直线AC和BD所成角的余弦值； (2)求点C到平面ABD的距离.
【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角
时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱
的垂线.
返回
9
能力·思维·方法
1. 在 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中 ， AB=a ， BC=b ， AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
高考数学二轮总复习专题14空间向量在立体几何中的应用(共59张PPT)
=
=-1,a4 与 a 的夹角为 180° ,不合题意,故选 关闭
3
解析
答案
-4能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3
2.(2014 课标全国Ⅱ高考,理 11)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角 的余弦值为( ) A.
不妨设 DC=DA=DD1=1,则 D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O 点 P(0,1,t)且 0≤t≤1. 则������������ = - , ,t , ������1 D=(-1,0,-1),������1 B=(0,1,-1).
2 2 1 1
1 1 2 2
, ,0 ,并设
解析:如图,以点 C1 为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
不妨设 BC=CA=CC1=1, 可知点 A(0,1,1),N 0, ,0 ,B(1,0,1),M
2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2
, ,0 .
������������ · ������������ |������������ ||������������ |
专题14
空间向量在立体几何 中的应用
-2能力目标解读 热点考题诠释
本部分主要考查利用空间向量工具解决立体几何中平行、垂直的证 明,距离的求解,空间角的求解,并且此类问题常以解答题的形式出现.若出 现在客观题中,一般以求线线角、线面角或距离问题为主. 对于立体几何中的平行、垂直的证明一般利用传统的几何知识和相 关的性质或定理进行证明,但如果所给的载体结构容易建系和求出相关点 的坐标,可选用空间向量证明. 对于距离的求解可以利用等体积法,也可以利用向量解决,对于空间角, 在大多数情况下,传统的几何法、向量法都可以解决,但首先应选用向量法, 这样降低了思维的难度,但对运算能力有较高的要求. 本部分主要考查学生的空间想象能力、化归能力、逻辑推理能力和 运算求解能力,预测在 2015 年的高考中,本部分内容仍以解答题形式出现, 难度中档,其中向量工具求空间角仍然是重点,对于探索类问题也要引起足 够的重视.
〖2021年整理〗《空间向量在立体几何中的应用》完整版教学课件PPT0
§8.6 空间向量在立体几何中的应用
a·b=a1b1a2b2a3b3;
co=②
a1b1 a2b2 a3b3
2已知A1,1,1,B2,2,a212,则a|22 a|=32 ③b12 b22 b3,2 或者dAB=| |其中dAB表示A与B两点间的距离,这就是空间两点的距离公
式
BA
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(1)证明: DE=(0,2,0), D=B(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则
n n
D即E
DB
00,,不妨22设xy z2=0z,1,可0.得n=(1,0,1).又
=(1,2,-1),可得MN
MN·n=0.
因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.
(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的
方法 2 利用空间向量解决垂直问题的方法
设不同直线,m的方向向量分别为a,b,不同平面α,β的法向量分别为u,v, 则⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0; ⊥α⇔a∥u⇔a=u,∈R且≠0; α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0 例2 2016河南洛阳二模,19如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形 ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2 1求证:AC⊥BF; 2在线段BE上是否存在一点, 使得平面AC⊥平面BCEF若存在,求 出 | B的P |值;若不存在,请说明理由
பைடு நூலகம்
10.5
21
所以,二面角C-EM-N的正弦值为 10.5
21
(3)依题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得
NH=(-1,-2,h),
a·b=a1b1a2b2a3b3;
co=②
a1b1 a2b2 a3b3
2已知A1,1,1,B2,2,a212,则a|22 a|=32 ③b12 b22 b3,2 或者dAB=| |其中dAB表示A与B两点间的距离,这就是空间两点的距离公
式
BA
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
(1)证明: DE=(0,2,0), D=B(2,0,-2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则
n n
D即E
DB
00,,不妨22设xy z2=0z,1,可0.得n=(1,0,1).又
=(1,2,-1),可得MN
MN·n=0.
因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.
(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x,y,z)为平面EMN的
方法 2 利用空间向量解决垂直问题的方法
设不同直线,m的方向向量分别为a,b,不同平面α,β的法向量分别为u,v, 则⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0; ⊥α⇔a∥u⇔a=u,∈R且≠0; α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0 例2 2016河南洛阳二模,19如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形 ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD=2 1求证:AC⊥BF; 2在线段BE上是否存在一点, 使得平面AC⊥平面BCEF若存在,求 出 | B的P |值;若不存在,请说明理由
பைடு நூலகம்
10.5
21
所以,二面角C-EM-N的正弦值为 10.5
21
(3)依题意,设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得
NH=(-1,-2,h),
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包括线在面内，面面平行包括面面重合.
.
1
二、 用空间向量处理“垂r直r ”问
题设直线
l
,
m
的方向向量分别为
rr
a
,b，平面, Nhomakorabea的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 线面垂直
r r rr
l⊥m a⊥b ab 0；
rr r r
l ⊥ a ∥u a ku；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
|n||AC1|
∴|cos〈A→C1，n〉|＝12.
∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的
几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求
解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先
求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．
.
一、 用空间向量处理“平r行r ”问
题设直线
l,
m
的方向向量分别为
rr
a
,
b
，平面
,
的法向量分别为 u, v ，则
rr r r
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
r r rr
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
rr r r
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行
.
8
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0， 2a)， C1(－ 23a，a2， 2a)，
法一 取 A1B1 的中点 M，则 M(0，a2， 2a)，连结 AM、MC1，
有M→C1＝(－ 23a，0，0)，A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)．
解 (1)如图，建立空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得
.
6
∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°.
在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0，0，2 3)．
|a·n|
角
sin θ＝_|c_o_s_〈__a_，__n_〉__|_＝_|a_|·_|n__|
[0, ] 2
二面角
设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n1，n2，则|cos
θ|＝ |n1·n2|
__|c_o_s_〈__n_1，__n__2〉__|_＝__|n_1_||_n_2_|
.
[0，π]
3
题型一 求异面直线的夹角
【例1】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1 的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[思路探索] 可考虑建立空间直角坐标系，求出A→E，C→F的坐
标，利用坐标运算求所求角的余弦值．
解 不妨设正方体棱长为2，分别取 DA、DC、DD1所在直线为x轴、y 轴、z轴建立如图所示空间直角坐标 系，则
.
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2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
向向量分别为a，b，则cos|aθ·＝b|
_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__| _＝|_a_|·__|_b_|
范围 π
(0， 2 ]
直线与平 面所成的
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向 向量为a，平面α的法向量为n，则
∴M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0，
∴M→C1⊥A→B，M→C1⊥A→A1，
.
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则 MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又 AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面 ABB1A1.
∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1ABB1 所成的角．
由于A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，A→M＝(0，a2， 2a)，
A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)．
设侧面 ABB1A1 的法向量 n＝(λ，x，y)，
∴n·A→B＝0 且 n·A→A1＝0.
∴ax＝0 且 2ay＝0.
.
11
∴x＝y＝0.故 n＝(λ，0，0)．
∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，
∴cos〈A→C1，n〉＝
→
n·AC1
→
λ ＝－2|λ|.
12
.
4
A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，
则A→E＝(－1，0，2)，C→F＝(1，－1，2)
∴|A→E|＝ 5，|C→F|＝ 6.A→E·C→F＝－1＋0＋4＝3.
又A→E·C→F＝|A→E||C→F|cos〈A→E，C→F〉
＝ 30cos〈A→E，C→F〉
∴cos〈A→E，C→F〉＝
1300，∴所求值为
30 10 .
规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若
能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量
法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直
线所成角的区别．
.
5
【变式1】 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD， PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形 ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD ＝1，AD＝2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．
(2)由(1)得，P→A＝(2，0，－2 3)，B→C＝(－2，－3，0)， ∴co〈 s P→A，B→C〉＝2×（－2）＋0×（ 4×－31）3 ＋（－2 3）×0
＝－ 1133，
即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 1133.
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题型二 求线面角
【例2】正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2a， 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角． [思路探索] 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角 坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由 定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明 ∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平 面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
∴A→C1·A→M＝0＋a42＋2a2＝94a2，
|A→C1|＝ 34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
|A→M|＝ a42＋2a2＝32a，
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9a2
∴cos〈A→C1，A→M〉＝ 3a4×32a＝ 23.
∴〈A→C1，A→M〉＝30°，
即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
法二 A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)，